Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RIII_OCR[6]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

6.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 297 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	аn =	1	1	.
поэтому	аn =	-" -		.
		n	(п + 1)'
Найдем сумму первых n членов ряда:
S" = 1 - 4			+ 4	- !) + !) -			16 +... +
		1	I	1		1	1
+	1,		1, +~_			1,	=1-	1
	(11-1)"		п-	п-	(11+ 1)-			(11+ 1)"
далее вычислим сумму ряда:
	S =	lim S" =		lim (1 -		1	) =	1
		11-00		11_00		(п +	1)'	'

т. е, ряд сходится и его сумма S = 1. ~

Исследовать на сходимость указанные ряды с положи-

тельными членами.

2.\'~,

L nn

,,=I

Воспользуемся

признаком

Д'Аламбера.

Имеем:

п!

lim~=lim

(n+I)'I1"

tl-----;;;-'

п _ 00

art

11 _ 00

+ 1)"

+ t n!

lim _-,-(n_+-,--I,-)fl_"_ =

lim (_п_)n =

11-00

(n + I)"(п + 1)

11_00

f! + 1

=Iim

(1 + I/п)"

=J....<I,

11-00

т. е. данный

ряд сходится.

(n+I)'"

п"'.з"·

п=3

Согласно

радикальному

признаку Коши, имеем:

а _

"Г-

(n+I)'"

n - -".-,-/1'

1т

·Van

1т

rl!

n -

n·3

п_оо

П---+ОО

n·3

(п + 1)"

1 .

(

1 )"

= -

< 1

= 11т

• 3

= -

11т

1 + -

n_оо n

п--оо

т. е,

исходный ряд сходится.

4. \'	n
L	21/<
n=)

~ Воспользуемся интегральным признаком Коши.

Для этого исследуем несобственный интеграл:

			в						в
(	x~x =	lim	(X.2~X2dx= lim					(_~( 2~X2d(_X2))=
) 2		~-> 00 )					li-> 00	2	J
J	lim (_		J		)I~ =	lim (_		1	J
=	lim (_	L 2-		Х	)I~ =	lim (_		1	+ _1_) =_1_
				Х
	~~OO	2	1п2		1	~->oo	2Iп2·2~		4ln2	41п2

Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и иссле

дуемый ряд. ~

5. \' tg2	Л _.
L	4-r;;
tl=J

~ Исследуем данный ряд с по~ощью предельного признака сравнения, который состоит в следующем. Если

lim ~ = k, k Е R, k =1= О, то ряды с такими общими чле-

n~OO ЬN

нами ведут себя одинаково в смысле сходимости: или оба

сходятся, или оба расходятся. Имеем аn = tg 2 ~. В ка-

4-r;;

честве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд,

возьмем гармонический расходящийся ряд с общим чле ном ЬN = Ijn. Тогда

<, л

tg ---

lim~= lim	4-[,:
lim~= lim
"--+ 00 b/~ tl--+ 00

(Здесь мы использовали первый замечательный предел.) Итак, исследуемый ряд раСХQДИТСЯ. ~

ti=J

• Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов (1 im аn = О) не выполняется. Действительно,

n~OO

6з

lim	аn = liт (1 - sin J.-) = 1 =1= О,
Il--+OO	п___ оо	n
т. е. исходный	ряд расходится.	~

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

знакочередующиеся ряды.

7.	I	(_1)"+1
	I	n . 7"

~Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем:

1	.	r
ап = -- ,	11т	-- =0,
n . 7"	п_оо	n· 7n

т. е. данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин

членов исходного ряда:

I n·7"

(1)

n=1

Применим признак Д'Аламбера:

lim

а"+1

= lim

n . 7"

---- " - 1

1т

-- =

П_оо

аn

П_ОС

(n+I)·7 +

n~OO

n+1

т. е. ряд (1) сходится. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится. ~

п=1 tl=l п=1

~ Для ряда	I	n
~ Для ряда		(_1)" выполняется признак Лейб
	п=1

ница. Ряд I -* - гармонический (расходящиЙся). То-

п=1

гда ряд I (-nl)n сходится условно. Сумма сходящегося

п=1

и расходящегося рядов представляет собой расходящийся

ряд. Значит, исследуемый ряд расходится. ~

ИДЗ-12.2

Найти область сходимости ряда.

1.1. L )~I . (Ответ: [ -

-4-; -4-].)

'\"' nхn - I

1.2. L.. 2n-l. ЗN • (Ответ: (-6; 6).)

п=1

1.3. L00 ~nn' (Ответ: (-2; 2).)

п=1

1.4.'\"'~ (Ответ: [-2; 2).)

L.. n· 2" .

п=1

	00
1.5.	L'\"'.. х"n •		(Ответ: [ -1; 1).)
	00
1.6.	'\"'~			(Ответ: [-1;	1).)
1.6.	L..	2n +	1 .	(Ответ: [-1;	1).)
	n=l
1.7.	'\"'	2П х"		(Ответ: [ -	-4-; -4-).)
1.7.	L..	2n -	1	(Ответ: [ -	-4-; -4-).)
	n=l
1.8.	L(ln х)п. (Ответ: (+;				е).)
	n=l
1.9.		х"		(Ответ: [-1; 1].)
1.9.		---		(Ответ: [-1; 1].)
	L n(n+ 1)
	п=1
	00
		х3n
1.10.	L вn(n2 + 1) . (Ответ: [-2; 2].)

n=l .

1.11. L(n(n+ ')х". (Ответ: (-1; 1).)

"=1

3-357

l.i2. I хn tg ;n· (Ответ: (-2; 2).)

n=l

1.13. L\'I';;;'О"х" ( Ответ:

n=l

[1 11)

- то; то ...

1.14. \' п!х". (Ответ: (-е, е).)

L п"

n=l

1.15.(Ответ: [~5; 5).)

	00
1.16.	\'	х"	(Ответ: [-1;			1].)
1.16.	L7'		(Ответ: [-1;			1].)
	n=l
1.17.	I00	(O,1~nx2n. (Ответ: (-{IO; {IO).)
	n=
1.18.	I (Igx)n. (Ответ: C~; 10)-)
	11=1
1.19.	I00	~:.	(Ответ: (-5;			5).)
	n=l
1.20.	~		5"х"		(ответ' [_ -{3. -Fз] )
	n~l (2п + l? ~ .					.	5' 5 .
	00
1.21. n~I:J;' (Ответ: [-1; 1].)
	00				[1	1)
	\'	2"х"	(	Ответ:	[1	1)	-)
1.22. n~l		- ';;;'		Ответ:	- 2; 2		-)

1.23.(Ответ: [-1; lJ.)

n=1

00				[1	1)	)
\'	3n х"	(	Ответ:	[1	1)	)
1.24. L	--:;-;:.		Ответ:	- 3";	3" .
n=l	V;

х"

1.25. I ~. (Ответ: [-2; 2).)

2" 3n - 1

n=l

1.26.L~·\' 2"х" ( Ответ: [1 1 ) )

-2; 2·

n=l

1.27.	\'	(n + I)2	х" .		(Ответ: ( - 2;			2).)
1.27.	L	2"			(Ответ: ( - 2;			2).)
	00					[6		~ ).)
1.28.	\'	5n х"	(	Ответ:		[6
	L	6" V;;.		Ответ:		-	5;
	n=l
1.29.	\'	xntg~. (Ответ: [-1;						1).)
	L	f!
	n=l
1.30.	f (n: 1 )"2				~:. (Ответ: (-5е; 5е).)

n=l

00-v;;х"

2.1.I n'

n=l

2.3.Е; Iп"х .

2.2.	I	nn/2 хn
		(n + I)!	.
	п=1
2.4.	I	(nх)П.

	n=l				n=l
	I				00
2.5.		(х -	3)"	2.6.	I	(x-I)"
2.5.		n!		2.6.	I	(n + I)!
	n=l				n=l
2.7.	I00	-1 n+l		х2n -I
2.7.	I00	-1 n+l		х2n -I
		(	)	(2n - 1) (2n - I)! .
	n=l				I
2.8.	I	.	х	2.9.		е-n'х.
2.8.		SIП-.		2.9.		е-n'х.
			2"
	n=l				n=l

6.7

2.10.	I	tg 2..-.
	I	2"
	f1=1
	00
2.12.	I~'х"
	n=1
2.14.	I
2.14.	I	n (х -	2)"
	n=1
2.16.	I	(х + 1)"

		2"
	n=1
2.18.	I	(n~)"'
	n=1
2.20.	I	sin (2n - 1) х

		(2n-l?
	ll=l
2.22.	I~'х"
	n=1
2.24.	I n!хn•
	n=1
2.26.	I	sin 2nх	•
		n
	n=1
2.28.	I	nх
		-;;;--
	n=1
2.30.	I	cos nх
		n~ .

n=1

2.11. I х"

n=1

2.13. ~IJ;;'

2.15. I	(_1)"

	х" n Iп n
n=2

2.17. I

х"

З"~'

n=1

2.19. I - 1

n=1

2.21. I 2n sin 2..-.

n=О

2.23. I

nix"'

n=1

2.25. I~·n"

n=1

2.27. I е-n'2х •

n=1

2.29. I+'-·

n=1

		3
3.1. I	(х - 4)2"-1	(Ответ:	3~x<5.)

	2n - 1
	2n - 1

n=1

	00
3.2.	~	(х-2)"	(Ответ: I < х < 3.)
	L	n"ln(I+I/n)

п=1

3.3.\'(х- 2)" (Ответ: 0< х < 4.)

L..2"

п=1

1.4. (Ответ: 0< х < 2.)

п=1

3.5. (Ответ: -9::::;;; х::::;;; -7.)

п=1

3.6. L(2+х)П. (Ответ: -3<х< -1.)

п=1

3.7.\' (x-I)" (Ответ: -1 ::::;;;х<3.)

L..2"(n + 3)

п=1

3.8.	L		(х+ 5)"	(Ответ: -6::::;;;х::::;;; -4.)
	п=1	Vn + 1.-Vп2+I
3.9.	L2,,2 (х + 2)П'.			(Ответ:	-2,5 < х < -1,5.)
	п=О
	00
3.10.	L		(x-I)"	(Ответ:	-1 ::::;;;х<3.)
3.10.	L		2" Iп (n + 1)	(Ответ:	-1 ::::;;;х<3.)

n=l

	00
3.11.	L	n'(х+ 10)"			(Ответ: -е-10<х<е-10.)

			n"
	п=l
3.12.	L	(х+5)n'		(Ответ:		-6::::;;;х::::;;; -4.)
		(n + 1)"
	n=о
	f -			(х+ 1)n.		(Ответ: О::::;;;х<2.)
3.13.			Vln~~i 1)

п=О

	00
3.14.	L(2 _х)n sin ;..				(Ответ: 0< х < 4.)
	n=О
	00
		(3 - 2х)"	(О			1		---- 2 )
3.15.	L n _ln 2 n			твет:			<Х:::::::;.
	n='
	00							1 ~ Х < 5.)
3.16.	\'(3n - 2)(х - 3)"				(Ответ:			1 ~ Х < 5.)
3.16.	L	(n + 1)22"+ I
	n=О
	00
3.17.	L (х-;/)"		(Ответ:			1 ~x~3.)

n=1

3.18.\' (х- 2)" (Ответ: О ~ х < 4.)

L (2n-I).2"

n=1

00:J~

3.19.\' (_l)n -уn+2 (х-2)n. (Ответ: 1 <x~3.)

L n+1

n=О

	00
3.20.	\'	(X+5)2"-1		(Ответ: -7 < Х < ~3.)
3.20.	L	2n· 4"		(Ответ: -7 < Х < ~3.)
	n=1
	00		I)"(x + 1)" (Ответ: -2<х<О.)
3.21.	\'	(2n _	I)"(x + 1)" (Ответ: -2<х<О.)
	L	2"	I n•
	n=1
	00
3.22.	\'	(х+3)"		(Ответ: -4 ~'x~ -2.)
3.22.	L	n 2
	n=1
3.23.	\'	(х+2)"'		(Ответ: -3~x~ -J.)
	L	n"
	n=1
	00
	\'(- l)n - I			(х -2n2)2n. (О	твет:	1 ~ ~ 3	•	)
3.24. L					твет:	-.::: Х -.:::	•
	n='
	00
3.25.	\'(х- 1)2"			(Ответ: 2<Х<4.)
3.25.	L	n·9"		(Ответ: 2<Х<4.)

n='

326 '( 1)"+1

.. L -

n=1

, (х-З)"

3.27.L n·5"

n=1

3.28. , (_ 1)" + 1

n=l

(х-2)"	(О	твет:	1	-3)
(n+I)ln(n+I)·		твет:		<х""",.

(Ответ: -2 ~ х < 8.)

(2n - I )2n (х _ 1)"	(Ответ: - ~ <
(Зn _2)2"

IЗ )
<х<т·
(х-З)2"
3.29. L (n + 1) 'П (n + 1)	(Ответ: 2 < х < 4.)
n=1

3.30. '(_1)"-1(х-5)n. (Ответ: 2<x~8.)

L n·Зn

n=1

Разложить в ряд Маклорена функцию {(х). Указать

область сходимости полученного ряда к этой функции.

(-I)" • 52n х2n

)

4.1. f(x)=cos5x. (Ответ: I

(2n)!

Ixl <

00.

1/=\1

(_I)n-'x 2n +2

4.2.

f(x) =

arctg

х.

(

Ответ:

)

2n _

,1 хl ~

n=1

•

2 (

Ответ:

\' (_I)n-'x'''-2

' Ixl<

)

4.3. f(Х)=SIПХ.

(2n-I)!

00.

n=1

1.)

4.4.

f(x) =

_х2 _. (Ответ:

\' (_I)"x n+2,

Ixl <

·I+x

n=О

4.5.

f(x) =

2х3

(

Ответ:

(_I)n. 2n x 6

,1 хl

)

cos -з-'

з2"(2n)!

00.

n=О

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 297 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.2019371.71 Кб26R1.doc
#
21.02.20165.71 Mб132readmsg.docx
#
21.02.2016109.57 Кб54refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб21ReportLab3TPR.docx
#
21.02.2016463.98 Кб19RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб43RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб65RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб30Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб54RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб26ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб10ROZDIL_1.doc