RIII_OCR[6]

в точке М (х, у, г) Е V по х, у,	z соответственно. Тогда	дивенгенцuей
IJ:I!И расходимостыо векторного	поля а(М) в точке М,	обозначаемой

div а(М), называется величина, равная сумме указанных частных произ­

водных, вычисленных в точке /\11, т. е. по определению

	dlva(/vl)=.	(-дР	+dQ- +dR)_ I			.	(! 5.22)
		дх	ду	дг	м
С.,физическоЙ ТОЧIШ зрении div а(М) хар;жтернзует плотность I1СТОЧ­
НИI{QВ	ИJIИ стоков векторного ноля а(М)			в точке М. Если div а (М) > О,
то точка М юзляется 11СТОЧIIИКОМ,			еСJIИ div а(М) < О -			стоком. В СJIучае,
когда	div а(М) = О, в точке	М нет ни источников,				НИ	стоков.

ПереЧIIСЛИМ осно[шые свойства ДlIвснгеНЦIIИ векторного поля:

1)	div(a + Ь) = cliv а + div Ь;
2)	div с = О,	есл"	с -	ПОСТОЯНIIЫЙ вектор;
3)	div(fa) =	{tJiv а	+ а· gгad {,		ГJ\e	r= {(х, у,	2) - СI<аJIярная
Функция.
Из	формул	(1.5.21)	и	(1.5.22) СJlедует, что
		п = \\ а . nOdS =			\\\div	a(M)dxdYli2,	(1.5.23)
		s			v
т. е. поток П векторного поля а(М)					через замкнутую поверхность 5 во

внешнюю ее сторону численно равен тройно,uу интегралу от дивергенции

этого поля по области У. ограниченной поверхностью S.

Пример 1, ВЫЧИCJIИТЬ дивергенцию векторного поля а(М) = (х2 +

+y)i+(y2+ Z)j+(Z2+ X )k в точке Мо (!, -2,3).

~Согласно формуле (15.22),

.	дР	dQ	dR		2х + 2!} + 22.
dlv	а(М) = 7iX	+ ду	+ dZ =
в точке МО	имеем (Iiv а(Мо) =		4 > О, т. е.		точка МО	является источ­
ником ПОJIЯ .....						2yj + zk через
Пример 2. Вычисю!Ть поток векторного ПО.1Я а = xi -
верхнюю часть IIЛОСКОСТИ х		+ 2у + 3г - 6 =		О,	расположенной в первом
октанте.
~ Из уравнения плоскосТl! находнм z =					1	2
				2 - "3 х -		"3 у. Нормаль-

ным вектором к этой плоскости, составляющим острый угол с осью Ог, является n = (1/3,2/3, 1). Тогда из формул (15.20) и (15.16) следует, что

	П =		\\ а, поdS = \\ а . n dxdy =
=)) ~			s	О,
	(х-	4у+ 3z)dxdy = +)) (6 - 6y)dxdy =
0.'				D.
:)	б-'2!}			3
=2\dy \			(1 -y)dx=2\(! -y)(6-2y)dy=
о	о		n	u
				Ву + 6)dy = 36.....
	=	2 \ (2у2 -

о

242

f,lример 3. Вычислнть поток ~eKTopHOГc:, 1l0Л~	а(М) = xz'i + yx"j +
+ zy~k чере:: ПОВl'рхность шара ,Г + у- + г = а-	во ВllеlllНЮIO <'го сто­

рону.

~ Tal( как дзнная поверхность - замкнутая, то поток П вектор­

ного поля а(М) через поверхность шара во внешнюю сторону находим

по формуле (15.23):

П = \\ а· по d5 =	\\\ div а(М) dXllydz =
S	l'

=\\\(г" + х' + y')dxdYl/Z. v

дЛЯ ВЫ411СЛСНIIЯ получеllНОГО TpoilHOrO Ilнп'грала IIсрейдем к сфе­ рическнм координатам по ФОРМУЛ3М:

х = р sill О cos ер, у = р sill					О siп	(р. z = р cos е;
dx{[ydz = !,'	sin Odpdrpdft. О ~ r			~ а, О ~ '1' ~ 2л. О ~ О ~ Л.
Тогда
			а				2:r
П = ~~) 1"	sil1 Odpd'f.dO = ~ p'llp ~				siп Ос/О ~
v			о	о
Пример 4. HaiiTH ноток П Э,1ектростатическоrl) НОЛЯ точечного
заряда q, IlOмеЩСННОl'О в центр сферы					.1" +	у' + г' =		R'.
~ Известно, что поле точечного				заряда			задается	вектором НаПрЯ'
женностн			+yj		+ zk.		Находим		напраВЛЯЮllще
косинусы				+ у' +			г' = R':
	nO=n/lnl, п=(2х, 2у. 2г),
Inl =.y4x'+4y'+4z'=2R, n"=(x/R, y/R,									z/R),
т. е. COS IX = х/R, cos f3 =		у/R,	cos у =		г/R.		Поэтому	на	сфере
Е· по =(q/lгl ')(г· п(') =		~(xiJ	+yj + zk)· (~i +..1.... j + -=-- k)
		R					R	R	R
q х' + у' + г'				q	R'		q
R'		R	=R"		R	=т =COllst.
Следовательно,
			-с;, d5 = ~ 4nR' =					4лq....
			R'		R-
5		S

Пример 5. Найти поток векторного поля а(М) = xi + yj + zk через

поверхность прямого ЦИJlНlщра 5 радиусом R и высотой Н, ОСЬ которого совпадает с осью Ог, а нижнее ОСllOвани<с находится в плоскости Охц.

Нормаль наrrравлена во внешнюю сторону цилиндра.							'
~ Как	видно	из рис.	! 5.8, ДJlЯ	боковой		повеРХIIОСТИ	ЦИЛИllдра
5, справеДJlИВО равенство			а· п? = "р ,,1		а = R.	На верхнем	ОСljоваllИИ
цилиндра 52	имеем	а· п~ =	пр ".; а =	Н,	а на	ннжнем его	основаНИII
5, - а . пз =	О. Поэтому

243

п = \\ а· nOdS =	\\ а . n?dS +	\\ а . n~dS + \\ а . n~dS =
5	5,	5,	s.,

= \\ RdS + \\ HdS + \\ OdS = R· 2.-с,RН + НлR.' = ЗлR'Н.

51	SJ	SJ
			Вычисления можно значительно
		сократить, воспользовавшись фор­
		му.10Й		Остроградского -		Гаусса
		(15.18).		Так	как объем	цилиндра
			v = \\\		dX1iydz = лR'Н,
				v
		имеем
		п =	ш (1 + 1+ l)dхdуdz=ЗлR2н. ....
		у	~ .

Рис.

15.8

АЗ-15.4

1.

Вычислить дивергенцию векторного поля а(М) =

=

(ху

+ Z2) i +(yz

+ х2) j

+ (zx + у2) k

в точке М(1, 3,

-

5).

(Otbet:-l.)

2.

Вычислить

поток

векторного

поля

а(М) =

(х­

-

Зz) i + (х

+ 2у + z) j

+ (4х + у) k

через верхнюю

часть

плоскости х

+ у + z =

2,

лежащую в первом октанте. (От­

вет: 26/3.)

2xi +Y.i

+

3.

Вычислить поток векторного поля а(М) =

+ 3zk через часть поверхности

эллипсоида

r'

у'

+

~ +

""9

+

г'

= 1, лежащую в первом октанте, в направлении

16

внешней нормали. (Ответ: 24л.)

(х -

4.

Вычислить

поток

векторного

поля а(М) =

-

у) i

+(х +у) j + z2 k через поверхность цилиндрического

тела,

ограниченного поверхностями

х2 +у2

= 1, z = О

и

z =

2,

в направлении внешней нормали. (Ответ: -4л.)

5. доказать, что поток П радиуса-вектора r =

xi +yj

+

+ zk

через внешнюю сторону поверхности, ограничиваю­

щей тело V объемом и, равен 3и.

6. Вычислить дивергенцию вектора напряженности

магнитного

поля

Н =

(21/г) (- yi + xj), создаваемого то-

244

ком 1, проходящим					по	бесконечно			длинному		проводу.
(Ответ: div Н = О.)
	7.	Найти	поток П векторного поля а(М) = x:Ji +yjj +
+ z3 k через поверхность шара х2								+ у2	+ Z2 =	R2	В направ­
лении		внешней нормали.				(Ответ:		12лR,i /5.)
	8.	Вычислить		поток		П	векторного			поля	а(М) =
=	8xi	+ 11 yj + 172k через часть плоскости х + 2у + 32 =
=	1, расположенной				в первом		октанте. Нормаль состав­
ляет острый угол с осью 02.							(Ответ:		1.)
	9. Найти поток П вектора а = xi -								2yj -	2k через замк­
нутую		поверхность		S, ограниченную					поверхностями 1 -
-	z =	х2 +у2, Z =		О,	в	напраВJ1ении			внешней		нормали.
(Ответ: -л.)					П вектора а = x 2i + 2 2j через часть
	10.	Найти	поток
поверхности			22 = 4 -		х -	у, лежащую в первом					октанте,

и части координатных плоскостей, отсекаемых этой поверх-

ностью, в направлении внешней нормали. (Ответ: 19 15О35 -)

Самостоятельная

работа

+

1.

1.

Найти дивергенцию поля grad и, если u =

'п (х2 +

у2 + Z2).

поля а(М) =

2.

Вычислить

поток

П

векторного

= xi +3yj + 22k через верхнюю часть плоскости х +у +

+ z =

1,

расположенную в первом октанте. (Ответ: 1.)

2.

1.

Найти

дивергенцию

векторного

поля

а(М) =

=

xy2 i + x 2yj + zзk

в точке М (1,

- 1,

3).

2.

Вычислить

поток

векторного

поля

а(М) = 3xi -

-

yj -

2k через поверхности 9 -

z = х2 +

у2, Х = О, У = О,

z =

О,

ограничивающие некоторое тело,

в

направлении

внешней нормали. (Ответ: 81л/8.)

3.

1.

Найти

div (grad -Vх2 + у2 + Z2).

2.

Найти

поток векторного

поля а(М) = 2xi + zk в

направлении внешней нормали к пове~хности тела, ограни­
ченного	поверхностями 2 = 3х2 + 2у-,	х2 + у2 = 4, z = О.
(Ответ:	20.)
	15.5. ЦИ РКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.
	РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пусть	l'- замкнутая KYC04ho-гладкая кривая в пространстве
R3 и S -	гладкая поверхность, краем которой	служит кривая Г	За
положительное направление обхода кривой r		принимается такое	на-

245

правление, при котором об.lасть, ограниченная этой кривоii, будет

оставаться слева на положительной стороне поверхности 5, т. с. на

стороне, И3 точек которой ВОССТавлен еДННИЧflЫЙ вектор нормалн "О '=

=(С05 а, СО5 (), С051') поверхности 5. ПУСТЬ, ДJлее, в окрестности 110-

верхности 5 задан вектор а = (Р, Q, Я), КООРДИНаТЫ которого Р, Q, R

z

s	у
~--------------------	~~

оу

х	х
Рис. 15.9	Рис. 15.10

являются непрерывными функциями от х, у, z вместе со своими пер­

выми частными ПРОИЗВОДНblМИ. Тогда нмеет место формула Стокси.

СВЯЗЫВаЮЩаЯ КРИНО,1ИНСИШ,1Й и 1I0ВСРХНОСТНЫЙ интегралы (pIIC. 15.9):

ф Pdx + Qdy + Rdz =

	~~s
	dR
=	((--ду	-

г

d Q )

--

дг

cos а +	( дР	d R	)	_	+
	-- - --			СОБ (j
	дг	дх

+ (	d Q	дР)	cos у	)	d5,	(15.24)
	-- - --
	дх	ду

где направление обхода по замкнутой кривой Г выбираСТС51 положи­

TeJlbIlbIM.

Формула Грина (14.14) 51вляется		чаСТНblМ СJ'lучаем формулы Сто!{­
са, когда I<ривая	/' н nOBepxflOcTb 5	лежат в П.l0СКОСТН Оху.
Отметим, что	фОРМУjlа (TOI\Ca	(15.24) спраВt'длива для любой

поверхности 5, если ее можно разбить на части, урuвнешш которых

имеют вид z =				[(х, у).
	Пример 1.			ВЫЧИС1НТЬ
			f = ф (г2 - х') dx + (х" _ у2) dy + (у2 - г2) dz
					Г
ПО	контуру			х2	+ у2 + г2 = 8,	х2	+ у" = г2,	г> О,	«пробегаемому"
по	ходу	часовой			стрелки с точки		зрения наблюдателя, lIаходящегося
в начале координат О.						Г -- окружность х2 + у2 =
	~	Контур интегрирования								4, леЖ<Jщая
в	плоскости		z =		2, полученная	в	результате	пересечения		сферы х2 +
+у2+ г2=8 с					конусом х2 +у2=г2 (рис. 15.10). В				качестве ПОIЗерХ-

246

ности	s возьмсм	круг	С краем ['; х' + у2 ~ 4, z = 2. Далее, Р = г2"_
_X'l,	Q = х2 _ у",	R =	у' - г2,

.!!!l _	dQ = 2	~ _	.!!!l = 2г	dQ -	~ = 2х	.
иу	дг	у, дг	дх	'дх	иу

Тогда в соответстВlШ с формулой Стокса и условием задачи возьмем n u = (О, О, 1) (этим обеспечивается [lOложителыюе направление движе­

ния по [' (см. рис.	15.10)). Имеем	I=
1 = С( 2xdxdy = Iх = р COS <[!, dxdy = pdpd<jJ,
))	у = Р sln <р, О ~ <р ~ 2;t, О ~ Р ~ 2

D

2л 2

= 2 \ cos 'Pd<p \ p2dp = о. •

оо

Если задано векторное поде а(М) = (Р, Q, R) и иекоторая за-мкну-'

тая кусочно-гладкая кривая Г в пространстве R", то криволинейныii

интеграл

с =

фа. ;Odl =

Ф Pdx + Qdy + Rdz

(15.25)

['

['

иазывается циркуляцией векторного поля а(М) вдоль контура

['о Здесь

;0 _ единичный

вектор,

направленный по касательной к кривой [' и

указывающий направление обхода по контуру.

Если з- вектор силы, то циркуляция

([5.25)

равна

работе этой

силы вдоль замкиутой кривой Г.

Пример

2.

Вычислить

циркуляцию

векторного

поля

а\М) =

= xi -

2z'j + yk

вдоль

линии

l'пересечения

цилиндра х2 /16

+ у /9 =

= 1 с плоскостью z =

х

+

2у + 2 в положительном

направлении обхода

относительно

нормального

вектора

плоскости

n =

( -

1,

-

2,

[).

~

Параметрические

уравнеиия

цилиидра

х2/ [6 +

у2/9 =

1 имеют

вид х =

4 cos (,

У =

3 sin (.

Тогда

параметрическими

уравнениямн кри­

вой

['

(эллипса

в

'плоскости

сечения)

будут

х =

4 cos (,

У =

3 sin 1,

z =

4 cos 1 +

6 sin t

+ 2.

Поэтому циркуляция векторного поля вдоль эл­

лнпса в ПОJюжительном

направлении

обхода вычисляется

по

формуле

2z 2dy + ydz =

211

С =

Ф xdx -

\

(4 cos t (- 4 sin tdt) -

г

+

"

о

4 sin t + 6 cos ()

-

2 (4 cos t + 6 sin t

2)2 3 cos tdt + 3 sin t ( -

dt) =

2"

=

\ ( - [6 cos t

sin t

- 96 cos 3 t

-

2 [6 sin 2 t cos t

-

24 cos t

-

о

12 sin' t +

-288 cos2 t

sin t

-

96 cos t

t -

[44 cos 1 sin t

-

+ 18 cos t sin ()

2л

(96 cos 2 t + [2 sin 2 1) dt =

dt =

-

\

о

2л

2"

\ 48 ([ + cos 21) dt -

6 \

(1

-

cos 21) =

-

48 . 2" -

6 . 2" =

оо

=-108л. •

247

Ротором ИЛИ вихрем векторного поля а(М) = (Р, Q, R) называется

вектор

rota(M)=(aR _	aQ)i+(aP _ aR)j+(aQ_ aP)k,			(15.26)
ду	az	az дх	дх ду

Используя понятия ротора и ЦИРКУЛЯЦИИ, формулу Стокса (15.24)

можно заllисать в векториой форме:

с = фа. ;Odl =	\\ rot а . nOdS,	(15.27)
]'	S

т. е. циркуляция векторного 110ЛЯ а(М) вдоль залtкнутого контура l' равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность

S. краем которой является Г. Направление обхода по Г и СТОРОllа

поверхиости S одновременно или положительные, или отрицате,lьные.

Число	С(iИ) =	npn'rot а(М)

называется плотностью циркуляции векторного поля а(М) в точке М

в направлении вектора по Плотность достигает максимума в направле­

нии rot а(М) и равна тах С(М) = Irot a(M)I.

Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
1)	rot (а + Ь) = rot а		+ rot Ь;
2)	rot С = О,	если С -	постояиный	вектор;
3)	rot (<ра) =	<р rot а + grad <р' а,		где <р(х, у, г) - скаляриая

ФУНКЦИЯ.

Если rot а =1= О, ТО это свидетельствует {) вращении векторного

поля а(М).

Пример 3. Найти ротор вектора линейной скорости v = Ш' г

(г = (х, у, г), Ш = (Шх, Шу, Шz)) любой точки М (х, у, z) пространства.

~Имеем

	у
По определению ротора находим
		rot v =	(2шх, 2шх, 2шz) = 2ш.	•		yi +
Пример	4.	Вычислить	циркуляцию векторного		поля а(М) =
+ x 2 j _ zk	по	окружности	Г: х2 + у2 = 4, z = 3	в	положительном	на­

правлении обхода относительно единичиого вектора k двумя способами:

1) исходя из определения ЦИРКУЛЯЦИИ (15.25); 2) с помощью поверх­ ностного интеграла, использовав формулу Стокса (15.27).

~ 1. Так как при возрастании пара метра t от О до 2л движе­

ние по окружности происходит против хода часовой стрелки относитель­

но единичного вектора k =		(О, О.	1), то	пара метрические уравнения
ориентированной кривой	r	имеют	вид	х = 2 С05 "	У = 2 sin (, z = 3
(t Е [О; 2лJ). Тогда
с =	ф ydx + x 2dy -			zdz =
2л	"
\ 2 5in t (- 2 5in tdt) + 4 С052				( . 2 cos tdt -	3 . 0=

о

241'1

2л

2л

2л

= 8

\

COS J tdt - 4

\ sin 2 tdt = 8

\ (1

- sin 2 t) d (sin t)

-

о

u

о

2л

- 2

\ (1- cos 2t) dt =

-4л.

о

2. В качестве поверхности 5, краем

которой является кривая Г, возьмем

круг r+y2':;;;4, г=3 (рис. 15.11).

Тогда

по =

k.

далее,

rot а =

(2х­

-

l)k

и

С =

\\ rot а . n"d5 =

\\ (2х - 1) dxdy =

S

D

=

\\ (2р СОБ 'Р -

!) pdpd<p =

D

у

2л

2

=

\ d<fJ

\ (2р cos <р -

1) pdp =

о

о

-4л. •

Рис.

15.11

=-2л. LI =

2

2

х

2

о

АЗ-15.5

1.

Найти

[>отор

векторного

поля а(М) = xyzi +(х +

+y+z)j+(X2+y2+ Z2)k в точке M(I, -1,2). (Ответ:

rot а(М)= -Зi -

Зj - k.)

2. С помощью формулы Стокса преобразовать интеграл

ф (у2 + Z2) dx + (х2

+ Z2) dy +(х2 + у2) dz,

r

где Г -

замкнутый

контур, в

интеграл по

поверхности,

«натянутой» на этот контур.

а(М) = yi -

3.

Найти

циркуляцию

векторного поля

-

2zj

+ xk вдоль эллипса, образованного сечением одно­

полостного

гиперболоида

2х -

у2

+ Z2 = R

2 плоскостью

У = х.

Результат проверить с помощью формулы Стокса.

(Ответ: +ЗлR2 .)

4.

Вычислить циркуляцию

векторного

поля а(М) =

=

zi + xj + yk вдоль контура Г: х2

+у2 = 4, z =

О в поло­

жительном направлении обхода относительно орта по = k

непосредственно и с помощью формулы			Стокса. (Ответ:
4л.)				z2 i +
5. Найти	циркуляцию	векторного поля а(М) =
+ x2j +y2 k	по сечению	сферы х2 + у2	+ Z2 = R2	плос­
костью Х +у + z = R в положительном			направлении об­
хода относительно вектора n = (1, 1, 1).			(Ответ: ЗлR4 /2).

249

6. Найти циркуляцию		векторного поля а(М) = y2j +
+ xyj + (х2	+ у2) k по контуру, вырезаемому в		первом
октанте из	параболоида х2	+ y~ = Rz ПJJОСКОСТЯМИ	Х = О,

У = О, z = R в ПОJJожительном направлении обхода отно­ ситеJJЬНО внешней нормали поверхности параболоида. (ОТ­

вет: RJ /3.)

7.'

Вычислить

циркуляцию

векторного поля а(М) =

=

zy2j

+ xz 2j

+ yx

2k по контуру пересечения параболоида

х = у2

+ Z2 С плоскостью Х = 9 в положительном направле­

нии обхода отНосительно орта по =

j.

(Ответ: 729n.)

8.

Вычислить

циркуляцию

векторного

поля

a(MJ =

=

-у; + 2j

+ k

по линии

Г

пересечения

конуса х

+

+у2':"'" Z2 =

О

С

плоскостью

z =

1

в

положительном

на­

правлении обхода

относительно орта

п

и

= k. (Ответ: n.).

Самостоятельная

работа

t.

Вычислить

циркуляцию

векторного

поля

а(Л'Ч =

=

yi -

xj + zk вдоль линии Г пересечения сферы х2 + У

+

+ z

2

=

_~')

z в положительном направ~

4 с конусом -v х +у- =

лении

обхода относительно орта

п

и

=

k.

2.

Вычислить

циркуляцию

векторного

поля

а(М) =

=

yzi + 2xzj

+ y2k по линии

r

пересечения ПОJJусферы

z =у25 - х2

-

у2 С цилиндром х2

+ у2 =

16 в ПОJJожитеJJЬ­

ном направлении обхода отноСитеJJЬНО орта ПО =

k.

3.

ВЫЧИСJJИТЬ

циркуляцию

векторного

поля

а(М) =

=

(х -

у) i + xj -

zk вдоль JJИНИИ Г пересечения ЦИJJиндра

х2

+

у2 = 1 с

ПJJОСКОСТЬЮ Z =

2, если

по = k.

15.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

кЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕй

Дифференциальные операции. Введенные выше осНОвНые понятия

векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор - удобно описывать

спомощью дифференциального оператора, который обозначается

символом \1 (читается «набла»):

д .+	д.	д k
\1=-1	- J+ -
дх	ду	дг

и называется оператором Гамильтона,

Выразим основные дифференциал ьные операции с помощью опера­

тора \1:

ди. + ди. + ди

\1 и(М) = ах I ау J 7iZ k = grad и(М),

250

	иР			cJQ	дR .
v . а(М) = -и			+ -- + --					=	(II\'а(М),
		х		ИУ	иz				.
					k
v Ха(М)=		и		д	rJ		=		rot а(М).
		дх		иу	7ii
		р		Q	R

ОпераЦИII нахождения граДllента, дивеРГ"IJЦИИ, ротора наЗLJВ<JIOТСЯ дифферощиаЛЬНblми Оllсрацuяю; первого порядка.

.	ПереЧI1СJlIJМ	основные		свойства			rJuфференциаЛЬNЫХ		операций
второго порядка:
	div grad и(М) =			д'и		д2 и	д'u	tlu(M),
				--., + --, + --, =
				дх'		ИУ'	rJz'
	д2	д'	д2				v 2 наЗЫВ<Jется
где д= -- + --2			+ -- = v' =						оператором
	дх'	иу	дz'
Лапласа;
		rot	j.!rad tt (М) =		(v . v) u (11,1) =			О,
		dlv rot а(М) =			v	. (\1 Х а(М)) =		И,
		grad div а(М) =				v (v . а(М)),
	rot rot а(М) =		v Х (v Х а("'1))=				grad div а(М) - Да(М).

Соленоидальное векторное поле. Векторное поле а(М) называется

СО!II!ноидаЛЬНbtм ИЛИ Tpy6'laTblN в области пространства V, если в каждой

точке этой области

div а(М) = О.

Так "ак (Iiv rot а(М) = О, то поле ротора любого векторного

поля а(М) ЯВ.~яется СОЛСНОИ;J.альным.

Поток солено'идаJIЬНОГО векторного поля а(М) в направленнн его

векторных лнннй через каждое сечеНllе векторнон трубкн, согласно формуле Остроградского - Гаусса, однн н тот же. Трубчатое поле не

имеет источников и стоков.

ДЛЯ К<JЖДОГО со,1еноидclлыIгоo поля а(М) существует векторное

поле Ь(М), такое, что а(М) = rot Ь(М). Вектор Ь(М) называетсн век·

ТОРОМ'потенциало,и данного ПО,lЯ а(М).

Потенциальное векторное поле. Векторное поле а(М) = (Р, Q, R)

называется потенциаЛЬНbtм или 6езвихревbtм в односвнзной области

пространства V, если в каждой точке этой области rot а (М) = О.

Согласно ОПРС;J.СIIIIЮ ротора, Ilсобходимыми и достаточными УСЛОВI1НМИ

потенциа:IЬНОСТИ lIо.~я a(AJ) =		(Р,	Q, R)	ввляются	равенства:
		дР	dR		дР
					(15.28)
Так	как rot grad и (М) =	О, то	поле	градиента	любого скалнрного
поля и =	и(х, У, "') - потенциалЬНое. Для того чтобы поле а(М) было по·

тенциальным в области V, необходимо и достаточно, чтобы существо· вала дважды непрерывно диференцируемая скалярная фунция и = и(х,

у, "')' Т3I{ая, что а = grad и(М), которая называется потенциальной функ· цией (потенциалом) ПОJlЯ а(М).

251