RIII_OCR[6]

2.26. Ш (х +уг) dxdydz, и: О ~ х ~ 1, -1 ~ у ~ 4, o~ v

~г~2.

2.27. ~~~(X+y2_Z2)dxdydz, и: -2~x~O, 1 ~y~2, v

O~г~5.

2.28. Ш (х + у + г2) dxdydz, и: - 1 ~ х ~ О, О ~ У ~ 1, v

2~г~3.

2.29.Ш(х+у2-2z)dхdуdz,v: 1 ~x~2, -2~y~3, v

O~z~l.

2.30. Ш (х -

у -

г) dxdydz,

и: О ~ х ~ 3,

О ~ у ~ 1,

v

-2~г~ 1.

3. Вычислить тройной интеграл с помощью цилиндри­

чеСких или сферических координат.

3.1. Ш (х2 + у2 + z2)dxdydz,

и: х2 + y~ + г2 =

4,

х> О,

v

y~O, г~O. (Ответ: 16лj5.)

3.2. Ш У',/х2

+ у2 dxdydz, и: г> О, z =

2, у> +х, г2 =

v

= 4(х2 +у2). (Ответ: ~jIО.)

+ у

сп 2

dxdydz,

и:

1 ~ х

2

2

~ 36, у> х,

х> О,

3.3. Ш z

v

z ~ о. (Ответ:

1555лjI2.)

rп

.

2

+ у

2

+ z

2

=

2

=х

~

2

, у> о.

3.4. Ш ydxdydz, и. х

32, у

+z

v

(Ответ: 128л.)

= у2 + г2, х> о.

3.5. Ш xdxdydz, и: х2 + у2 + г2 = 8, х2

v

(Ответ: 8л.)

3.6. ~~~ ydxdydz, и: 4 ~х2 +у2+г2 ~ 16, у~~х, у>О,

v

z ~ о. (Ответ:

15лj2.)

3.7. ~~~ ydxdydz,

и: z =-V8 -

х2 -

у2,

Z =-У

х2 + у2,

V

У ~ о. (Ответ: 8(лj2 -

1).)

172

+ у2 + Z2 ~ 36. ( Ответ: ~~(2л + 3-Vз)-)

3.9. ~~~\'	-J(x2 +у2)'\	,	и: у ~			,	у ~ vиХ,
y2zdxdydz					О		- (:;3
z= 3. (Ответ: 3( 4л -			3-у3) /20.)
)))V	2						х2 +у2 + Z2 = 16, z ~ О.
	*2+ у2 +Z2)'			и:
3.10. (((	x dxdydz		,

(Ответ: 16л/3.)

3.11. ((( xzdxdydz, и: z=2(X2+y2), y~O, y~~x,

	)))	~Х2 +у2						-Уз
	V
z= 18.	(Ответ: 81.)
3.12. (((		xydxdydz	,	и: z = х2 + у2, У ~ О, У ~ х, z = 4.
	)))	-J(x2 +у2)'
	V
(Ответ: 4/3.)
3.13. (((		zdxdydz,		и: х2 +у2=4У,		y+z=4,		z~O.
	)))	-Jx2 + у2
	V
(Ответ: 1472/45.)
3.14. (((		ydxdydz,		и: х2 + у2 =	2х,	х + z =	2,	у,? О,
	)))	-Jx2 +у2
	V
z> О.	(Ответ: 4/5.)			и: х2 +у2 =		У + z =
3.15. (((		Xd~dYdZ	,		16у,		16,	х ~ О,
	)))	-Jx- +у2

V

z> О. (Ответ: 2048/5.)

3.16. ~~~-vx~ + y 2 dxdydz, и: х2 +у2 = 2х, х + z = 2,

v

z> О. (Ответ: 128/45.)

3.17. ~~~xydxdydz, и: 2 ~х2 +у2 + Z2 ~ 8, Z2 = х2 + у2,

V

х>о, y~O, z;::o. (Ответ: 31(4-Y2-5)/15.)

17З

~~~

-ух2 + у2

2 +

2

2 +

4

----

О

3.18.

ydxdydz

•

х

у

2

=

х

у

2

=

,

_г:;---:--;'

и.

у,

у,

Х-;:::::-

V

Z ~ О, z = 6. (Ответ: 24.)

з.19.)П.Jх2 + у2 +

z 2dxdydz,

и: х2

+

y~ +

г2 = 36, у~

v

~ О, z ~ О, У ~ -х. (Ответ: 81л.)

. 3.20. (се

XdXdYd~ ,

и: х2 +у2 =

2х,

х2

+ у2 =

4х,

z ~ о,

Ч) -УХ'+у2

z = 4, у ~ О, У ~ х. (Ответ: 10-{2.)

3.21. ссс

zdxdydz

,и:

1 ~ х2

+у2 + Z2 ~ 9,

у ~ О,

)))

-Ух2 + у' +

г2

v

У ~_I- Х, Z ~ О. (Ответ:

13л/8.)

-гз

з.22.~~~.J

и:

х2

-2х+у2=0,

y~O,

х2+у2dХdуdz,

v

z~O, х+г=2. (Ответ: 64/45.)

3.23. ~~~X2dXdYdZ,

и:

1 ~ х2 +

у2+ г2 ~ 16,

у ~ О,

v

y~x, г~O. (Ответ: 341(л+2)/20.)

3.24. (се	dxdydz	,	и:	х2	+ у2 = 4у, у + z = 4, z	~ О.
)))	-Ух2 +у2
V
(Ответ: 64/3.)					4 ~ х2 +y~ + Z2 ~ 16,
3.25. ссс	ydxdydz ..		,	и:		у ~
J))	-Ух2 + у2	+ г2
v

~.fix, у ~ О, Z ~ О. (Ответ: 7л/3.j

3.26. )~~ z.J х2 + y 2dxdydz, и: х2 + у2= 2х, у ~О, z ~О, v

г=3. (Ответ: 8.)

3.27. ссс		xdxdydz , и: 1 ~ х2		+у2 +Z2 ~ 4, х ~ О,
)))	х2		+ у2 + г2
v	-У

У ~ х, у ~ О, Z ~ О. (Ответ: 7-{2л/24.)

174

(П

и: х

2

= 2(у

2

2

),

х

= 4,

х ~ О.

3.28. ))) xdxdydz,

+ z

v

(Ответ: 32л.)

3.29. (С(

xdxd!Jdz

,

и: 1 ~ х2

+у2 + Z2 ~ 9, у ~ х,

))) -V

+ у2 + г2

X2

v

У ~ О, z ~ О. (Ответ:

1з-{iЛ/2.)

з.30.1))xdxdydz,

и: z =-У18 -

х2

-

у2,

Z =-v

х2 + у2,

v

1)-)

х ~ О. (Ответ: 821 (;

-

4. С помощью тройного интеграла вычислить объем те­

ла, ограниченного указанными поверхностями. Сделать

чертеж.

z2=4-x, х2

+у2=4х. (Ответ: 512/15.)

4.1.

4.2.

z = 4 -

у2,

х2

+у2 = 4,

z> О.

(Ответ: 12л.)

4.3.

х2 +у2 = 1,

z =

2 -

х -

у,

z> О. (Ответ:

2л.)

4.4.

z = у2, Х ~ О, z ~ О, х + у =

2.

(Ответ: 4/3.)

4.5.

у>О,

z~O,

z=x, x=-V

9

у2, х=.уГ----2•

(Ответ: 98/3.)

25

у

4.6.

х2 + у2 = 4,

z =

4 -

х -

у,

z ~ О. (Ответ:

16л.)

4.7.

z>O,

z=x2

,

х-2у+2=0, х+у=7.

(От­

вет: 32.)

х ~ О,

z ~ О,

z = у,

х =

(Ответ:

4.8.

4,

У =-V25-x2.

118/3.)

z =4 -

х =2..уу,

У =2';-;.

4.9.

z ~ О,

х,

(Ответ:

176/15.)

4.10.y~O, Z>O, 2х-у=0, х+у=9, z=x2. (От­

вет: 1053/2.)

4.11.у>О, z~O, х=4, у=2х, z=x2. (Ответ: 128.)

4.12. х> О, z ~ О, У = 2х, У = 3, z =..уу. (Ответ: rл[з/5.)

4.13.у>О, Z>O, х=3, у=2х, Z=y2. (Ответ: 54.)

4.14.Z> О, у2 = 2 - х, Z = 3х. (Ответ: 32-У2/5.)

4.15.z>O, y=-V9 х2, z=2y. (Ответ: 36.)

4.16.х>О, y~O, Z>O, х+у=2, Z=X2+y2.

(Ответ: 8/3.)

175

4.17.z~O, х2 +у2=9, z=5 - x - y (Ответ: 45л.)

4.18.z~O, z=x, x=-J4 у2. (Ответ: 16/3.)

4.19. y~O, z~O, х+у=2,	2	(Ответ: 4/3.)
	z=x.

	4.20. У ~ О, z ~ О, У = 4, z = х, х=-J25- y 2.								(Ответ:
	118/3.)		222
	000 4.21. z~O, х +у			=9, z=y. (Ответ: 81/8л.)
	4.22. х ~ О,		z ~ О,	У ~ х, z =	1 - х	~	-	2	(Ответ:
								у.
	л/16.)
	4.23.	z~O, х2 +у2=4, Z=X2ty2. (Ответ: 8л.)
	4.24.	z~O, у=2, У=Х, z=x. (Ответ: 4/3.)
	4.25.	z~O, y+z=2, х2 +у2 =4. (Ответ.• 8л.)
	(Ответ: 1/162.)				+	у =		2,	4z = у2.
	4.27. x~O, y~O, z~O, 2х+у=2, Z=y2. (Ответ:
	2/3.)			х=2у2+ 1,	z= 1 _у2.
	4.28.	z~O,	х=у2,						(Ответ:
	8/5.)			z ~ О, У = 3 -				9 -	2
	4.29.	х ~ О,	У ~ О,		х, z =
									х. (От-

вет: 135/4.)

4.30. х ~ О, z ~ О, х +у = 4, z = 4-{У. (Ответ: 512/15.)

Решение типового варианта

1. Расставить пределы интегрирования в тройном ин­

теграле Ш f(x,	у,	z)dxdydz,		если область V ограничена по­
v
верхностями х =		1, У = х,	z =		О, z =	у2. Начертить область
интегрирования.
~ Согласно формуле			(13.23),			имеем:
				I	х	y~
Ш f(x,	у,	z) dxdydz =		~	dx ~ dy ~ f(x, у, z)dz.
v				u	u	u
Область интегрирования изображена на рис. 13.37.....
2. ВычислитьШ(3х + 2у -					z3)dxdydz, если V: О ~ х ~ 1,
		\'
и~y~2, 1 ~z~3.
~ Для данной области V (рис. 13.38) на основании
формулы (13.24)		получаем
~~ (3х + 2у -				123
	zЗ)dхdуdz =			~ dx ~ dy ~ (3х + 2у - z3)dz =
V				•	Q	I
17бi

,	2		3'	2
= ~	dx ~ (3xZ +2yz -		:4) 1,dy = ~	dx ~ (6х+4у- 20)dy =
(1	U	,	(1	, (1
	=	~ (6ху +2у2 -	20Y)I~dx =	~ (12x - 32)dx =
		о		(1

= (6х2 - 32x)l~ = -26. ~

z	z
f

х
	х
Рис. 13.37	Рис. 13.38

3. Вычислить тройной интеграл ССС	2xZdx~Ydz, по об-
)))	х + у - R"
v

ласти, расположенной в первом октанте и ограниченной

плоскостями Х = О, У = О, z =	h и конусом z	2	=	fl'	(х	2	'
				Jf2			+y~),

спомощью цилиндрических координат.

~На рис. 13.39 изображена область интеГРИроваНII:1 V и ее проекция D на плоскость Оху.

Перейдя к цилиндрическим координатам р, ЧJ, z по

формулам ( 13.26), в которых для данной облаС;':l

	О ~ z ~ h, О ~ qJ ~ л/2,			о::::;;: р ::::;;:					R, получим:
			Z2 = h2 p2/R 2 ,			Z =			hp/R,
	ССС	xzdxdydz		=	ссс	ре cos q;zdq;dpdz =
	)))	х' +у2 - R'			)))				р' -	R'
	v				v
		л/2		R	(12					h
	=	~ cos qJd<p~							dp	~ zdz=
					р' -	R"
									/11'/R
		(1		(1	,
		л/2		R					,	/1
		•~	CoS qJdqJ~
	-								-=---1	dp =
				•	р	R'
					р2 _				2	hp/ R

177

	,,/2	R				(2		2)	_
1	r	r	р2	р2	R2		11"
="2	J	COS qJdqJJ		_		h	- ? р		dp-

оо

л/2

R

I

Л /2

31

R

~

COS qJdqJ

~

p

2

dp = -

12

sin

qJ

=

_1_,

• ~

2R-

о

3

о

()

z

z

ух

х

Рис. 13.39

Рис. 13.40

4.С ПОМОЩЬЮ тройного интеграла вычислить объем

тела, ограниченного указанными поверхностями: х = о,

у=о, z=O, х+у=2, 2Z=X2+y2.

~ Уравнение 2z = х2 +у2 определяет параболоид

вращения, остальные поверхности - плоскости. Искомое

тело изображено на рис. 13.40. Его объем v вычисляем в соответствии с формулами (13.21) и (13.23):

			2	2-х	(х'+у')/2
V =	Ш dxdydz =		~ dx	~ dy	~	dz =
	v		о	о	о
2	2-х	(х'+у')/2		2	2-х
= ~ dx ~		zlo	dy=+ ~ dx ~			(X 2 +y2)dy=
о	о			о	о
	2				2

=+~(x2y+ ~З)I:-Хdх=+~(х2(2_Х)+

оо

++(2-Х)3) dx = +~2 (2х2 _х3 + +(2-Х)3)dХ=

	х3 х'	о	4) 12 4
I (2		I
="2 з	- 4	-12(2-х)	0=3' <l1li

118

ИДЗ-13.3

1. Вычислить массу неоднородной пластины D, ограни­

ченной заданными линиями, если поверхностная плотность

в каждой ее точке ft = ~t(X, у).

1.1.	D: у2=х, х=3, ft=X.			(Ответ: 36-/3/5.)
1.2: D: х=О, у=О, х+у= 1,					ft=x 2. (Ответ: 1/12.)
1.3. D: х=О, у=О, 2х+3у=6, ft=y2/2. (Ответ: 1.)
1.4.	D: х2	+ у2 = 4х, ft = 4 -		х. (Ответ: 8л.)
1.5. D: х=О,у= l,y=x,ft=x					2+2y 2. (Ответ: 7/12.)
1.6.	D: х2	+ у	= 1, ft = 2 -	Х -	у. (Ответ: 2л.)
1.7.	D: х2	+ у2 = 4у, ft =.)4		у. (Ответ: 256/15.)
1.8.	D: у=х,		у= -Х, у= 1,		ft=~. (Ответ:
8/15.)	D: Х = О, У = 2х, Х + У =			2,	ft = 2 -	х -
1.9.							у. (Ответ:
4/9.)	D: Х= 1,		х=у2, ft=4-x-y.			(Ответ: 68/15.)
1.10.
1.11.	D: у=О,		х2 = I-у,	ft=3-X-Y.			(Ответ:
14/5.)

1.12.D: y=X2,X=y2,ft=3x+2y+6. (Ответ: 11/4.)

1.13.D: у = х2 , У = 4, ft =2х+5у+ 10. (Ответ: 752/3.)

1.14. D: х=о, у=О, х+у= 1, ft=2x 2+y2. (ОТ- вет: 1/4.)

1.15.D: х=о, у2= I-x, ft=2-x-y. (Ответ:

32/15.)

1.16.D: у=Ух, У=Х, ft=2-x-y. (Ответ: 51/60.)

+2у2 + 1. ( ОТ-

вет: 264-{i/35.)			У=Х, ft=x 2 +2y 2+ 10.
1.18.	D: Х= 1,	у=О,		(ОТ­
вет: 65/12.)
1.19.	D: у=О, у=2х, xt y =6, ft=x 2. (Ответ: 104.)
1.20.	D: x~O,	y~O,	х +у2=4, ft=4-x 2.	(ОТ­

вет: 3л.)

1.21.D: у=х2, у=2, ft=2-y. (Ответ: 32-{i/15.)

1.22.D: х=о, у=О, х+у= 1, ft=x 2 +у.2 (Ответ:

1/6.)

1.23. D: у=х2 + 1, х+у=3, ft=4X+5y+2. (ОТ­

вет: 351/6.)

1.24. D: y=x2 _1, х+у= 1, ft=2x+5y+8. (ОТ­ вет: 45.)

179

1.25.	D: х =	О,
(Ответ:	118/3.)		у = х,		у = 3х,		2х2 +у2.
1.26.	D: х =	2,				ft =		(Ответ:
152/3.)	D: у =				ft = 2х +3у.			11/30)
1.27.		х,	у =	х2 ,			(Ответ:
1.28.	D: х =	О,	х	+ 2у + 2 = О,		х	+у = 1,	ft = х .
(Ответ:	32/3.)		у = О,		х + 2у = 1,		ft = 2 -	(х2 + у2).
1.29.	D: х =	О,
(Ответ:	43/96.)		У = О,		х +у = 2, ft = х2 + у2.
1.30.	D: х =	О,						(Ответ:
8/3.)

2. Вычислить статический момент однородной пластины

D, ограниченной данными линиями, относительно указан­

ной оси, использовав полярные координаты.

2.1. D: х2 +у2-2ау=0, x-y~O, Ох.
2.2.	D: х2 + у2 -	2ах = О, х + у ~ О,		Оу.
2.3.	D: х2 + у2 +2ау = О, х - у ~ О,			Ох.
2.4.	D: x~ +у2 + 2ах = О, х + у? о,			Ох.
2.5.	D: х2 +у2 + 2ах ~ О, х2 + У		+ 2ау ~ О, х ~ О, Ох.
2.6.	D: х2 + у2 -	2ау ~ О, х2 + y~	+ 2ах ~ О, у ~ О, Оу.
	+ у2 - 2ау ~ О, х2 + у2 - 2ах ~ О, х ~ О, Ох.
2.8.	D: х2 + у2 -	2ах ~ О, х2 + у2	+ 2ау ~ О, у ~ О, Оу.
2.9.	D: х2 + у2 -	2ах ~ О, х2 + у2	+ 2ау ~ О, х ~ О, ОХ.
2.10.	D: х2 +у2 +2ах ~ О, х2 +у2+2ау ~ О, у ~ О, Оу.
2.11.	D: х2 +у2 -	2ау ~ О, х2 +у2	+2ах ~ О, х ~ О, Ох.
	+у2 - 2ау ~ О, х2 +у2 - 2ах ~ О, у ~ О, Оу.
	+у2 + 2ау = О, х2 + у2 +ау = О, х ~ О, Ох.

2.14.D: х2 +у2-2ах=0, х2 +у2_ ах =0, y~O, Оу.

2.15.D: х2 +у2+2ау=0, х2 +у2+ ау =0, x~O, Ох.

2.16.D: х2 +у2-2ау=0, х2 +у2_ ау =0, x~O, Ох.

2.17.D: х2 +у2-2ау=0, х2 +у2_ ау =0, x~O, Ох.

2.18.D: х2 +у2 +2ах = О, х2 +у2 +ах = О, У ~ О, Оу.

2.19.D: х2 +у2-2ах=0, х2 +у2_ ах =0, y~O, Ох.

2.20.D: х2 +у2 +2ах = О, х2 +у2 +ах = О, У ~ О, Оу.

2.21.D: х2 +у2+2ау=0, x+y~O, х;?::О, Ох.

+у2 - 2ау = О, у - х ~ О, х;?:: О, Ох.

+у2 + 2ах = О, у - х;?:: О, У ~ О, Оу.

+у2 - 2ау = О, х + у ~ О, х ~ О, Ох.

2.25.	D: х2		+ у2 + 2ах =		О, х + у ~ О, У ~ О, Оу.
2.26.	D: х2		+у2 -	2ах =	О, у -		х ~ О, У ~ О, Ох.
2.27.	D:	х2	+у2 -	2ах = О,		у -	х ~ О,	х +у ;?:: О,	Оу.
2.28.	D:	х2	+у2-2ау=0,			y-х;?::О,		х+у;?::О,	Ох.

'НО

2.29.	D:	х2	+ у2 + 2ах = О,	х + у ~ О,	У - х ~ О,	Оу.
2.30.	D:	x~ +у2 + 2ау = О,		У - х ~ О,	х +у ~ О,	Ох.

3. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную указанными

поверхностями.

3.1.

V:

X=6(y2+ Z2),

y2+ Z2=3, х=о.

(Ответ:

(6, О, О).)

= 36, у =

•

_ / '2

'2

х

2

'2

•

(О,

3.2.

V: у = 3 ух

+Z ,

+ Z

О. (Ответ.

27/4, О).)

3.3.

V: X=7(y2+ Z2),

х=28.

(Ответ:

(56/3,

О,

О).)

3.4.

V:

Z = 2..jх2 +у2,

Z =

8.

(Ответ: (О,

О, 6).)

3.5.V: Z = 5(х2 +у'2), х2 + у'2 = 2, Z = О. (Ответ: (О, О,

10/3) .)

3.6.V:X=6..jy2+ Z'2,y2+ Z2=9,x=0. (Ответ: (27/4,

О, О).)	Z=8(X 2+y2), z=32. (Ответ: (О, 0,64/3).)
3.7. V:
3.8. V:	у=3-vХ2 +Z,2	у=9. (Ответ: (О, 27/4,	О).)
3.9. V:	9у = х2 + Z2,	х2 + Z2 = 4, У = О. (Ответ:	(О,
4/27, О).)

3.10.V: 3Z=#+y2, х2 +у2=4, z=O. (Ответ: (О,

О, 1/4).)

3.11.V:X 2+z2=6y,y=8. (Ответ: (О, 16/3,0).)

3.12.V: 8X=..jy2+ Z2, Х= 1/2. (Ответ: (3/8, О, О.)

+Z2, у2 + Z2 = 4, Х = О. (Ответ: (2/3,

О, О).)

3.14. V: 4y=..jx2+z'2, x 2+z'2= 16, у=о. (Ответ:

(О, 3/8, О).)

3.15. V: y2+ Z2=8x, х=2. (Ответ: (4/3, о, О).)

3.16. V: z=9..jx2 +y'2,			z=36. (Ответ: (О,		о, 27).)
3.17. V: z=3(X2+y2),			х2 +у2=9,	z=O.	(Ответ:
(О, о, 9).)
				х=о.	(Ответ:
3.18. V: x=2..jy'2+ Z2,			y2+ Z2=4,

(3/2, о, О).)

3.19.V: X2 +z2=4y, у=9. (Ответ: (0,6, О).)

3.20.V: X=5..jy2+ Z2, х=20. (Ответ: (15, о, О).)

+Z2, х2 + Z2 = 10, У = О. (Ответ: (О,

10/3, О).)

181