RIII_OCR[6]

о

2

а" =

+~ (+ х+ 1) COS

п;х

dx + ~ cOs

Il;X

dx =

-2

О

и=х/2+ 1, du=(1/2)dx,

dv = cos IlЛХ dx

v = 2. siп

IlЛХ

2

'

IlЛ

2

х/2 + 1

о

о

SI, П --nлх d Х +

-

s"п --IlЛХ 1

- -

1

~

пл

2

- 2

2пл

2

- 2

2

'

плх 12

=

1

2

ПЛХ 1о

=

+ -SIП--

2

пл

2

о

-- COS --

-

п л

2

2

-

I ((

1)" + I

+ 1) _

2(2

2

1)2 '

- - 2-2

-

-

Л

п-

ПЛ

о

+ 1)

,

2

' плх

Ь" =

1 ( (1

плх

d

х

+ f

d

Х =

2') 2'х

SIП

-2-

)

SIП

-2-

-2

х/2 + 1,

"

1=

_

u =

du =(1/2)dx,

.

ПЛХ d

х,

V =

-

2

ПЛХ

d и = S1П

--

-

cos -2-

2

пл

х/2 + 1

плх jО

о

= -

1

~

cos~dx-

--'---'cos-- --

+ --

nл

2

-2

2пл

2

-2

_ ~ « _ О" -

1) -

~ cas

flЛ./С

j

2 = _ -' +

пл

пл

2

111

пл

+

о

~(-l)"+ _2_ =

_1_. siп плх 1

_

п2л2

2

-2

ПЛ

пп

= _1__ ~(-l)" =

(1 +2(-1)"+1) .

пл

пл

пл

Следовательно, искомый ряд Фурье

00

+

{(х) =

~ + ~ \'COS ((2п -

l)лх/2)

4

;\2

L

(2ц -I?

11=1

+ 2.. f'(1 +2(-1)"+1)

.

плх ...

л;

L

n

S1П-Г'

,,=,

	5. Разложить в		ряд	Фурье		по	косинусам функцию
		НХ) = {х,			О ~ х ~ ],
			2-х, 1 <x~2
на	отрезке	10; 2]	(рис.		12.1 О)	и	найти сум.му ряда
I	(2n ~ 1)2	•
n=О				у
				2

4 х

Рис. 12.10

~ Продолжим функцию четным образом и вычислим

коэффициенты Фурье:

I 2 I 2

ao=~xdx+~(2-x)dx= ~lo+(2X- ~2)11=

о		I
		= ~ +(4 - 2) - (2 -	~) = ],
	I	2
аn = ~ х cos n;х dx+ ~ (2 -			x)cos n;х dx =
о		I
_		и=х, du=dx,		1+
		dv=cos~dx, и= ~ sin~
		2	nл	2

+и=2-х, du= -dx,

dv =

nлх d

х,

2· nлх

cos -

v = -

Sln -

2

nл

2

nлх I

I

nл;х d

=

2х .

-

-

2 ~ .

х+

- SIn --

о

nл

sln--

nл

2

2

о

2

2

+ 2(2-х) sin nлх I + ~ (sin ~ dx=

nл

2

I

NП

J

2

I

- ~

с: ~

sin

Е.:!. + _ 2

2

~I

I

sin

~

-

nп

2

4_ cos

2

о

nп

2

n п

IJЗ

__4_COS~1 2 = _		4
n2л2	2 1	л2 (2n + 1)2 •

СлеJJ.овательно,

f(x) = ..!...	_ ~ \'cos(2n + I)лх
2	л2 L (2n + 1)2
	n=о

Полагая х = о, получаем:

0 - 1	4 \'	1
- 2 -	~ L (2n	+ 1)2 '	8

n=о

Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сум­

му числового ряда. ~

12.7.ДОПОЛНИТЕЛЬНblЕ ЗАДАЧИ к ГЛ. 12

1.Найти сумму ряда

L (n + I)(n + 2)(~n+ I)(2n + 5) n=1

(Ответ: 1/90.)

2. Исследовать на сходимость ряд

	1	3		+		(	5	)3/2	+... +	(2n _ 1 )n/2	+...
	"2	+ 7"					10			2n + 1
(Ответ: сходится.)
3.	Показать,			что если					ряд ~	а,. абсолютно сходится,
то ряд L n ~ 1 а,.									n=1
							также абсолютно сходится.
	n=!
4.	Исследовать на сходимость и аБСОЛЮТhУЮ схо......и-
		L	(-		1)"+1			3"	(Ответ: абсолютно сходится.)
мость	ряд						+	' .
				(2n				1)"

n=1

124

5. Показать, что ряд, полученный при перемножении

							00			1 +
двух	расходящихся			рядов:		1 -	L (-%-)n И
							n=1
00
+ L (~),,-1 (2" + 2-(n+ 1)),					абсолютно сходится.
n=1
6.	Сколько членов			ряда	\'(-1)"+ 1-1- нужно взять,
					L		n·2"
					n=1
чтобы абсолютная погрешность при замене суммы S этого
ряда	его n-й	частичной суммой				S"	не	превышала а =
= 10-3, т. е. чтобы			IS-S"I = Ir,,1 ~a?					(Ответ: n~7.)
7.	Сколько членов			ряда	\'	(_ 1)" +1 2n -			1	нужно
					L			n 2
					n=1
взять, чтобы вычислить его сумму с							точностью		до 0,01?
(Ответ: n = 200.)
8. С помощью почленного дифференцирования и инте­
грирования		найти	сумму		ряда		1 -	3х2 + 5х4		+ ... +

+(-I)n-I(2n_l)x2"-2. (Ответ:

	00
9. Доказать, что	L	cos nх
		n 2
	n=1

~х~л.

S(x) =	2	,lxl<I.)
	l-x
(l+r)2
_ Зх2 -	6лх + 2л2

----- ' --- , О ~

12

10. Подобрать два таких ряда, чтобы их сумма была

сходящимся рядом, а разность - расходящимся.

11. Доказать равномерную сходимость функциональ-

ного ряда Lсо (- 1У- I :гп на отрезке [О; 1].

12.		,,=1
	Исследовать на сходимость ряд с общим членом
I!n . ;;			(Ответ: сходится,	и" ~		-k.)
и" = r		2 xdx .
)•	х	+ I			00	3n
13.	Показать, что функция у =				L	х2n
						~ является ре-
						2nnl

n=о

шением дифференциального уравнения 1/ - ху = О.

125

13. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

13.1. ДВОИНblЕ ИНТЕГРАЛbI И ИХ ВblЧИСЛЕНИЕ

На плоскости Оху рассмотрим. некоторую замкнутую область D. ограниченную замкнутой линией L. Пусть в D задана функция z = = '(х. у). Произвольными линиями разобьем D на n элементарных

областей Si. площади которых I1Si (i =~) (рис. 13.1). В каждой

области Si выберем произвольную точку Pi(Xi, у;). диаметром di области Si иазывается длина наибольшей из хорд, соединяющих граничные точки Si.

Выражение вида	n

/n = Lf(Xi, y;)I1Si	(13.1)
i=1

называется n-й интегральной суммой для функции z = f(x, у) в области D.

Вследствие произвольного разбиення области D на элементарные области

S, и случайного выбора в них Т04ек Р; можно составить беС4исленное·

множество указанных сумм. Однако, согласно теореме существовании

и	единственности, если функция z = '(х, у)' например, непрерывна
8	D и линия L - KYC04ho-гладкая, то предел всех этих сумм, найденных

при условии di-+O, всегда существует и единствен.

ДВОЙНЫМ интегРаАОМ функции z = '(х, у)			по области D называется
предел lim /n,	обозна4аемый \\ '(х,	y)dS. Таким образом,		по опреде-
d.-O	о
лен ию		"
	\\f(x, y)dS = lim		Yi)I1Si.	(13.2)
		~ '(х;,

оd,~Oi=1

Здесь и далее будем предполагать, что функция z = '(х, у) не­

прерывиа в области D и линия L - кусочно-гладкая, поэтому указан­

ный в формуле (13.2) предел всегда существует.

Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометри­

ческий	и физический смыслы.
1.	\\ dS =	So, где So -	площадь		области интегрироваиия D.
	D			функция z = '(х, у) = J.I(x,
2.	Если подынтегральная							у) - поверх­
ностная плотность материальной пластины,						занимающей		область	D,
то масса этой пластины O/Iределяется					по формуле		,
				\\/t(x,
			т =		y)dS.			(13.3)
				D
В этом заключается физический СМЫСА двойного интеграла.
3.	Еслн Нх. у) ~ О в области D, то двойной интеграл							(13.2)	чнс­
ленно	равен	объему '"	к.илиндрического			тела. находящегося			над

126

плоскостью Оху, нижним основанием которого является область D, верх­ ним - часть поверхностн 2 = '(х, у), проектирующаяся в D, а боковая

поверхность - цилиндрическая, причем ее прямолинейные образующие

параллельны OCII 02 и проходят через границу L области D (рис. 13.2). Если '(х, у)';;;; о в области D, то двойной интеграл численно равен

		z			z=ffx,y»O
у
	S,
					У>О
	)(
		О			у
	х
Рис.	13.1		Рис.	13.2
объему цилнндрического тела,		находящегося под			плоскостью Оху
(рис. 13.3),	взятому со знаком	«-»	(-и). Если	же	функция {(х, у)

в области D меняет знак, то двойной интеграл числен'ио равен

разности объемов цилиндрических тел, находящихся над плоскостью

Оху и под ней, т. е.

)\ '(х, y)dS = VI - и2	(13.4)
D

(рис. 13.4). Это свойство выражает геометрический СМЫСА двойного

интеграла.

z

Z= f(x, yl<O

р н с. 1&3

Рис. 13.4

127

4. Если функции z = ЫХ, у) (j = т,kj непрерывны в области D, то

верна формула

k	k
~~ (Lfi(X, у))dS =	L.~~fi(X, y)dS.
о j=1	j=1 О

5. Постоянный множитель С подынтегральной функции можно вы­ носить за зиак двойного интеграла:

\\ Cf(x, y)dS = С \\ [(х, y')dS.

оо

6. Если область D разбить на конечное число областей D 1, D 2, ••• , Dk, не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области D равен сумме интегралов по областям Dk:

\\ {(х, y)dS =	\\ {(х,	y)dS + \\ {(х,	y)dS +... + \\ [(х, y)dS.
о	о,	О,	О,
7 (те о р е м а о	сред н е м). Для иепрерывной функции z = [(х, у)

в области		D,	площадь	которой S о, всегда	найдется	хотя	бы	одна
точка	Р(6,	1']) Е D, такая,		что
			\\	[(х, y)dS = [(6, I'])So.
			D
Число	[(6,	1'])	называется средним значением		функции	z =	[(х,	у) в

области D.

8. Если в области D для непрерывных функций [(х, у), [1 (х, у), [2(Х, у) выполнены неравенства [1 (х, у) ~ [(х, у) ~ [2(Х, у), то

		\\[I(X,	y)dS<		\\[(х, y)dS< \\Нх, y)dS.
		о			о	о
9.	Если	функция	z =	[(х,	у) =1= сопst и непрерывна в области D,
М =	тах	{(х, у), т =		тiп	[(х,	у), то
(К. У}ЕО			(к. у)ЕО
			mSo <		\\ [(х,	y)dS < MS o.
					о

3 а м е ч а н и е. Так как предел п-й ннтегральной суммы /n (см. фор­

мулы (13.1), (13.2)) не зависит от способа разбиения области D на

элементарные области Si (теорема существования и единственности), то в декартовой системе координат область D удобно разбивать на эле· ментарные области Si прямыми, параллельными осям координат. Полу­ чениые при таком разбиении элементарные области Si, принадлежащие области D, являЮТСя прямоугольннками. Следовательно, dS = dxdy и

\\ [(х, y)dS = \\ [(х, y)dxdy.

оо

Область интегрирования D называется правильной в направлении оси Ох (оси Оу), если любая прямая, параллельная оси ОХ (оси

Оу), пересекает границу L области D не более двух раз (рис. 13.5, а).

Область D считается также правильной, если часть ее границы или вся граиица L состоит из отрезков прямых, параллельнык осям координат

(рис. 13.5, б).

126

РассмОТрим методы вычисления двойного интеграла по областям,

правильным в направлении координатных осей; так как практически

любую область можно представить в виде объединения правильных

областей (рис.

13.5, в), то, согласно

свойству 6 двойных интегралов,

эти методы ПРИГОQНЫ дЛЯ их вычисления по любым облI'СТЯМ.

Q

О

8

у

у

у

~1II11I11~

Х

а

·1

х о

х О

х

Рис.

13.5

Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать по­ дынтегральную функцию z = {(х, у) по одной из переменных (в пределах

ее изменения в правильной области D) при любом постоянном значении

другой переменной. Полученный результат проинтегрировать по второй

перемениой в максимальном диапазоне ее изменения в D. Тогда все

произведения {(х, y)dxdy в двойном интеграле (предел суммы (13.2»

будут учтены при суммировании точно по одному разу, и мы избавимся

от лишних, не при надлежащих области D,	произведений.
Если область D, правильная в направлении оси Оу,		проектиру­
ется на ось Ох в отрезок [а; Ь], то	ее граница L	разбивается

на две линин: АmВ, задаваемую уравненнем у =!рl (х), И АпВ, зада­

ваемую	уравнением у = <Р2(Х) (рис. 13.6). Тогда область D опреде­
ляется	системой неравенств:

D:а ~ х ~ Ь, <рl (х) ~ У ~ <Р2(Х)'

идвойной интеграл вычисляетСя по правилу (внутреннее интегрироваиие

-ведется по переменной у, а внешнее -		по переменной	х)
		'l'2(Х)
~~{(х, y)dxdy =	~ dx	~ {(х, y)dy.	(13.5)
D	а	'I',(х)

Если область D, правильная в направлении оси Ох, проектируется на ось Оу в отрезок [с; d], то ее граница L разбивается на две линии:

CpD*,	задаваемую уравненнем	х = '1'1(у),			И	CqD*, задаваемую	урав­
нением	х = 'l'2(У) (рис. 13.7). В		этом	случае		область D определяется
системой неравенств:
и двойной интеграл вычисляется			по правилу (внутреннее интегриро­
ваиие ведется по переменной х,		а	внешнее -			по переменной у)
			d	ф2(У)
	\\ {(х, y)dxdy =		\ dy	\	{(х, y)dx.		(13.6)
	D			Ч"(У)

129

Выраж~ния, стоящие в правых частях равенств (13.5), (13.6),

называются повторными (илн двукратными) интегралами. Из равенств (13.5) и (13.6) следует, ч:го

ь	'I',(x)	d	~),(y)
1dx	\ [(х, y)dy =	\ dy	\	{(х, y)dx.	(13.7)
а	Ф,(х)		ф,(у)
Переход от девой части равенства (13.7)				к правой его части и обрат-

110 называется изменением порядка интегрирования в повторном иН­

теграле.

у

п

у

d

А

В

С

т

О

а

х

Ь

х О

Рис. 13.6

Рис. 13.7

Пример 1. На плоскости Оху построить область интегрирования D

по

заданным

пределам

изменения

переменных в повторно:>! интеграле

4

э.j.'

J =

\ dx

~

dy. Изменить порядок интегрироваНJlЯ и вычислить ин-

О:i\L/R

lеграл Ilpll заданном и изменеllНОМ порядках интегрирования.

	~	Область интегрирования D раСПО,lОжена		между прямыми х = О
и	х = 4,	ограничена	снизу параболой у = 3х2/8,	сверху параболой у =
=	3 --r.;	(рис. 13.8). Следовательно,
		4	4

1= \ (yl:,'!:s)dx= \ (з-Vx-3х2/8)dХ= (2X)/2_X]/8)1~=8.

u

о

С другоii стороны, область интегрирования D раСПОJlожена между прямы ми у = о и у = б. а переменная х изменяется в данной области при

каждом фиксированном значении у от точек параболы х =!l/9 до точек

параболы Х= -V8y/3,	т. е., согласно формуле (13.7), имеем
6	уГSуlЗ	6
J = ~dy	~	dx = ~(.pj _~2)dy =
о	у'/9	О

130

Пример 2. Изменить !юрядок интегрировання в повторном НН-

теграле.

I 2-х

\ dx \ [(х, y)dy.

ох'

~	Область		интегрирования	D ограничена ЛИНИЯМИ х = О,	х =	1,
У = х'	и	у = 2 -	х (рис. 13.9). Так как правый участок границы об·
ласти	D	задан	двумя ЛИНИЯМК,	то прямая у = 1 разбнвает	ее	Hd

области D 1 : О ~ У ~ 1, О ~ х ~ -JY и D,: 1 ~ У ~ 2, О ~ х ~ 2 - у.

в результате получаем

х

"2

х

Рис.

13.8

Рис.

13.9

!

2-х

I

-/!i

2

2-у

\ dx

\

[(х, у) dy =

\ dy

\

[(х,

у) dx + \ dy

f (х,

у) dx. ~

о

х"

о

о

I

Пример

3,

Вычислить ДВОЙНОЙ

интеграл

у

\\ (х + у + 3) dxdy,

,

2

D

у=2-х

если область D ограиичена ЛИНИЯМИ

х + у =

D

=2 х=о у=О

'~ Об~асть и'нтегрироваиия D ограничена

О

2', , х

ПРЯМОЙ

у =

2 - х

И

осями

координат

(рис. 13.10). Следовательно,

Рис. 13.10

2

2-х

\\(x+y+3)dxdy= \ dx

\ (x+y+3)dy=

D

О

о

2

(х + у + 3)21"~2-Xd

2

(+ з)2)d

(

=

1 ((2'

х =

)

2

y~O

х

"2)

0 -

х

О

О

1 (

25х

-

(х + 3)") 12 =

26

~

="2

3

о

З'

Пример 4, Найти среднее значение функции

z =

х + бу в треуголь­

инке, ограниченном

ПрЯМЫМИ

у = х,

у =

3х, х =

2.

131