RIII_OCR[6]

									АЗ-12.6
	1. Разложить в ряд Фурье функцию
			f()					х	при -	л < х ~ О,
					=	{ 2х при				О < х <	л,
			х
!!меющую период 2л.										"'3L (-1)«-1 --о
(ответ: -л		-	-2 L cos(2n-l)x,
				00
											SiIlIlX)
	4		п					(2n -1)'			11
			/1=1							п=!
	2. Разложить в ряд Фурье функцию
		f(х)={л+2х при -л<х~О,
						-		л	при	О < х ~ Л.
( Ответ:		;т	+ 2 \'				(		2	cos (2n -	I)x- -'-sin nх).)
		2			L			л(211-1)'			11
					11=1
	3. Разложить				в	ряд			Фурье	периодическую функцию
(с периодом			w =		4). если
		f(x) = {					1 + х при			-2 < x~O.
					-1				при	O<x~2.
	Ответ: -	I			2	I(			2	соsп(2n-l)х_
(		-	+-						л(21l-1)'		2
		2			л
						11=1

- 1 . ЛnХ))

-sJП--.

11 2

4. Найти разложение в ряд Фуры~ функции у = х2 на

отрезке [ - л; л]. Построить графики функции и суммы ря-

да. (Ответ: ~2 + 4 I00 (_I)n CO::IX .)

п=l

Самостоятельная работа

1. Найти разложение в ряд Фурье функции f(x) = - х.

на отрезке [ - 2; 2]. Построить графики данной функции

и суммы ряда. (Ответ: 2 I (--;/)" siп nх.)

n=!

42

2.Найти разложение в ряд Фурье функции

	{(х)={-2 при -л<х~О,
			1 при	О < X~ Л.
Построить	графики		данной	функции	и	суммы		ряда.
(Ответ: -	1 + ~	I	:!n ~ I sin (2п - 1)Х.)
З. Разложить в ряд Фурье функцию
	[(х)={-Х при -л<х~О,
			О при	О < X~ Л.
Построить	графики		данной	функции	и	суммы		ряда.
(Ответ.' ~	..,	((~,~~l!--:с,,~"--=--' cos ПХ + -('~l~ -
	+ I					SII1	ПХ .	)
4					1)".		)
			Шl-

I1~!

АЗ-12.7

1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию {(х) = х2

В

интервале

(О;

л).

Построить

графики данной

функции

00

и

суммы

ряда. (Ответ: ~

\' (_l)n--I(~ + ~((-I)"-

3

~

n

n

n=t

-l))sin пх)

2. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг

функцию

у =

sin Х

на отрезке [О;

л].

(Ответ: ~ +

+ \'cos 2nх

.)

L

1 ~ (2n)2

n=l

3. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг

функцию

{(х) =

1 -

х/2

на

отрезке

[О;

2].

(Ответ:

2

\'

1

i

лnх

)

-;

~ n

SП -2-'

п=1

43

4. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг

функцию	{(х) =	1 - 2х на отрезке [О; 1]. (Ответ:
00
~ \' cos л(2n -		')Х .)
л2 L	(2n -I?

	5. Пользуясь разложением в ряд Фурье по синусам
кратных дуг функции {(х) = I на отрезке [О; л], найти сумму
ряда		1 - --} + +-		++'"+(- 1)n- I 2n			~ 1	+... (ОТ­
вет: л/4.)
			Самостоятельная работа
	1.	Разложить в		ряд	Фурье	по косинусам			кратных
дуг	функцию		f (х) =	1 -	х на	отрезке	[О;	2].	(Ответ:
	00
8	\'	1	.cos (2n-I)л х.)
л2	L	(2n - 1/		2

n=1

2. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг

функцию f (х) = л - х на отрезке [О; л]. (Ответ:

2 L siпnnх -)

п=!

3. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных

дуг	функцию		{(х) = 2 -	2 на отрезке [О; л]. (Ответ:
	f		4	Х
2		cos ((2n -	')Х) .)
л	L	(2n-I?

n=1

12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 12

ИДЗ-12.1

1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.

1.1. L n(n~2)' (Ответ: S= ~-)

1i=1

44

1.2.	L3nI~n4n. (Ответ: S =								~ .)
	n=)
1.3.	L(2n + 5/(2n + 7) .							(Ответ: S = I~.)
	n=О
1.4.	L 2nI~n5". (Ответ:							S =	~ .)
	n=)
	00
1.5.	\'	(n+	5 \	n+б)			. (ответ: S =			-51 .)
	L		)
	n=о
1.6.	L 5"I~n2". (Ответ:							S =	~ .)
	n=)
1.7.	L(2n+7/(2n+9)' (Ответ: s= '~.)
	",\О
1.8.	\'	4"-3". (Ответ: s =							~.)
	L	'~							б
	n=)
1.9.	L(n + б/(n+ 7) .						(Ответ:		S = +.)
	n=)
1.10.	L 3nl~,,5".				(Ответ: S =				~ .)
	n=!
1.11. L(n+9)~n+IO)							. (Ответ: s= /0.)
	n=)
1.12.	L	15"		.	(	Ответ: S =			т·
	\'	5" -	3"						1 )
	n=!
1.13.	L(n + 7/(n + 8)						. (Ответ: S =			~.)
	n=)

45

1.14.	L	2" +7"	· (Ответ: S = ~.)
		14"
	f!=l
1.15.	n~OL (n + 2)\n + З) . (ответ: S = +.)
1.16.	L	7" - 2"	· (ответ: s=~.)
		14"

n~l

1.17.	L (n + З)\n+ 4) . (Ответ: S =
	п=О
1.18.	L	4" + 5"	· (Ответ: S = 172.)
		20"
	tl=l
1.19.	L (n+4)\n+5). (Ответ: S=
	n~l
1.20.	L	20"	· (Ответ: S = 1~ .)
		5" - 4"

п=[

+.)

+.)

1.21.	L (2n + 1)\2n + З) . (Ответ: S= +.)
	n~O
	00
1.22.	L 7"2~"З" .					(Ответ: S =			~ .)
	n~l
	00
1.23.	L(2n +З)1(2n + 5)·						(	Ответ:	S=~)
	n=\!					(Ответ: S = +.)
	n~lL		21"	З"	·
1.24.			7" -
1.25.	L (Зn-l)\зn+ 2)						. (Ответ: S = f)
	n~l

46

1.26.	L	3" + 8"			(Ответ: S = ~.)
		24"
	11=1		1) (:3Гl + 4) . (Ответ: S =
1.27.	L (3n +						/2.)
			1
	1/=1				(Ответ: S = -f4.)
1.28.	L	24"	3"
		8" -
	1l=1
1.29.				1		• (Ответ: S =	/5 .)
	L (Зn +2)(Зn +5)
	n=1
1.30.	L	9" -	2"		(Ответ: S = ~ .)
		18"

ti=l

Исследовать на сходимость указаННblе рЯДbl с положи­

теЛЬНblМИ членами.

							2
2.1.	L		3"(n + 2)!			(Ответ: расходится. )
			n 5
	11=1
2.2.	L		7n - 1			(Ответ: сходится.)
			5"{Ir+ 1)!
	n=l
2.3.	00		(78 )n(n )7.			(Ответ: сходится.)
	L\'
			1
	11=1
2.4.	L(2n + 1) tg					; .	(Ответ: сходится.)
	n=1
	00
2.5.	L		nn/2. (Ответ: расходится.)
			3"
	n=1
	00		4·5· 6···(n + 3).
2.6.	\'						(Ответ: сходится.)
	L		5·7· 9···(2n + 3)

n=1

47

2.7.

n~1L

( 9)n

7

(Ответ: сходится.)

10

n.

2.8.

L

1·7·13···(6n-5)

(Ответ: расходится.)

2·3·4···(n+l)

n~1

2.9.

L

3n(n +

1)

(Ответ: сходится.)

5"

n~1

2.10.

n~1L

(n

+

2)!

(Ответ: сходится.)

N"

2.11.

2л

(Ответ: сходится.)

SIП-.

Ln .

3"

n~1

(n

+

1)n/2

(Ответ: сходится.)

2.12.

L

n!

n~1

2.13.

L

n!

(Ответ: сходится.)

5n(n + 3)!

n~1

2.14.

n~1L

1.6·11···(5n-4)

(Ответ: расходится.)

3·7·11···(4n-l) .

2.15.

L

n"

(Ответ: расходится. )

.

(n

+3)!

n~1

2.16.

Ln3 tg

~~

. (Ответ: сходится.)

n~1

(n 2 +

3)

(Ответ: сходится.)

2.17.

L (n+ 1)'

n~1

n

(Ответ: сходится.)

2.18.

n~1L (2n+3)1·

41

2.19.	\'(n+I)'				(Ответ: расходится.)
	L	n!
	n~1
2.20.	\'2·5·В"'(3n -					1)	(Ответ: сходится.)
	L	3·7 . 11 ... (4n -				1) .
	n=1
2.21.	L(3n -			1) sin :.,			(Ответ: сходится.)
	n~1
2.22.	\'	n + 2.		(Ответ: сходится.)
	L	n!
	n=1
2.23.	\'	3n - 1 . (Ответ: сходится.)
	L	.y;:::i.
	n~1
2.24.	\'	1·5· 9"'(4n -				3)	(Ответ: расходится.)
	L	1· 4 . 7··· (3n -				2)
	n~1
2.25.		5"	(Ответ: сходится.)
		- .
	n~1L4n!
2.26.	\'	1·3·5 ···(2n -				1)	(Ответ: сходится.)
	L	2·7·12···(5n-3)
	1l=1
2.27.	\'	n'			(Ответ: расходится.)
	L	(n+I)!'
	n=1
2.28.	\'	(2n -	1)'		(Ответ: сходится.)
	L	(2n)!
	n~1
2.29.		2"
		--- (Ответ: сходится.)
	L 5"(2n -			1)
	n~1
2.30.	\'	2n+1			(Ответ: сходится.)
	L.;;::2n
	11=1

49

					3
3.1.	/~I (~)"			(Ответ: расходится.)
3.2.	I	(5n5~ 1 у/.		(Ответ: сходится.)
	fI == I
3.3.	I00	(aгctg 2n ~ 1 ) n.			(Ответ: сходится.)
	n=1
3.4. \' ---				(Ответ: сходится.)
	L	(In(/l+2))"
	11=)
3.5. f (aгcsin-ь-уn. (Ответ: сходится.)
	n~1
	00		2 +25/l + 8 )n. (Ответ: сходится.)
3.6.	\'	(n
	L		3n - 2
	n=1
3.7.	I00	(aгctg -Ь-)n. (Ответ: сходится.)
	п=1
	I		2"
3.8.		(/l/(n+ 1))'"		(Ответ: сходится.)
	n=1
3.9.	\'		1	(Ответ: сходится.)
	L	(ln(n+I)/"
	n~1
3.10. f (tg ;. )зn. (Ответ: сходится.)
	11=1
3.1 1.	\'		1	(Ответ: сходится.)
	L	(ln (n +3))"
	n=1
3.12.	~ (зn:+ 4n + 5 )"2.				(Ответ: сходится.)
	L	6n - 3n - I

n~1

50

3.13.	I	(2n2~ 1)"'						(Ответ: сходится.)
	11=1
3.14.	f (sin				:3)2n.				(Ответ: сходится.)
	n -= I
3.15.	f (п~ I					)Зn.		(Ответ: сходится.)
	n=1
3.16.	I		((Il +		4"				(Ответ: расходится.)
					I)jn)"
	,,=1
3.17.	I								(Ответ: сходится.)
			(11l(1l+1))'
	п=1
3.18.	f (зпз~I / .								(Ответ: сходится.)
	11=1
3.19.	f (aгcsin+)".									(Ответ: сходится.)
	п=1
3.20.	f (пiz I					)n'.	(Ответ: сходится.)
	n~1
3.21.	f (зп				2 -	n-	I		) n	(Ответ: сходится.)
				2
				7п	+3п+4 .
	n~1
3.22.	f (3n~т)n. (Ответ: сходится.)
	n~1
	00					I		2"
3.23.	I	(aгcsin~)						.		(Ответ: сходится.)
	n~1
3.24.	I00	(Iliz I				уn.		(Ответ: сходится.)
	fl=1

bl