RIII_OCR[6]

4.23.

у

2

4.24.

~.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 о 1 г J 4- S 6 х

4.25.

				-1~о 1
	-6	-5r91-4- -3	-2			3Fi11- 5	6 х
					2
	I		I		I		I ...

4.26.

;]?NJy~;x

-1

4.27.

У1М м [у,.

-6 -5 -4 -) -2 -1 tl t гЗ4567х

112

4.28.

у

-6

7 х

4.29.

-6 -5 -4 -] -2 -' О	f 2 J	4 5 6	•
			х

4.30.

у

	3	4 5	х

5. Воспользовавшись разложением функции f(x) в ряд

Фурье в указанном интервале, найти сумму данного

числового ряда.

5.1. f(x) =	Ixl, (-л; л),			\' 1		. (Ответ:	Л2 .)
			L		(2n _1)2		в
			n=1
5.2. f(x) =	Isin xl, (-л;		л),		I 4n 21- 1	. (Ответ:	+-)
					n=1
5.3. f(x) = х2, [-л; л],		I00		(_1)n+ 17'(Ответ:			~~ -)

n=1

113

00

5.4.

f(x) =

х,

[О;

л],

по косинусам,

\'

1

(ОТ-

L.

(2n - 1/ .

"=1

л2

)

вет: в'

5.5.

{(х) =

{

Х',

-л:;:;;; Х :;:;;;0,

\'3 -

(_1)"

( Ответ:

х2jл

0< х:;:;;;

л,

L.

n2

n=1

~)

12 •

..,

- l

-л<х<О,

\'

(_1)"+1

5.6.

f(x) =

{

1:

0< х

<

л,

L

2n - 1 •

О,

х= -л, х=О, х=л, n=1

(Ответ: :-)

5.7. f(x)=

:'(О;

л),

\'(_1)"-1

(

.

л

)

L.

2n-1

•

Ответ.

4·

n=1

5.8.

Нх) = cos х,

[ О;

; ] ,

\'

(_I)k

+

1)·

(

Ответ:

L.

(2k _

1) (2k

2-; 11 -)

k=1

00

5.9.

f(x) =

х,

(О;

л),

\'

1 2. (Ответ:

1182.)

L. (2n -

.1)

n=1

5.10. f(x)=r, (-л;

л),

I00

~. (Ответ: ~2.)

n=1

00

5.11. f(х)=х(л-х), (О; л), по синусам	,	\'
		L.

(_1)"-1.

(2n _l}Э

n=1

(Ответ: ;;-)

5.12. f(x)=lsin xl, (-л; л),

n=1

(Ответ: 2; л .)

114

00

5 13

f(

Х

) ={о,

-3 < х:;:;;; о,

\'

I

(ответ. л2 )

••

х,

0<х<3,

L.

(2n-I)2·

•

В·

n=1

5.14. f(x) =

{

1

-1:;:;;; х< о,

Ioo

I

2·

(

Ответ:

л2 )

'

0--

-- 1

(2n -

1)

-8·

х,

~ х ~,

n=1

00

5.15. f(x) =

Ixl,

(-1;

1), \'

1 2' (ответ: Л2

.)

L.

(2n + 1)

8

n=О

00

5.16.

f(x) =

х2, (-л;

л), I

2

I

2·

( Ответ: -л8 .)

.

n=1

(2n -1)

5.17. f(x)= {

1, -1:;:;;;х<О, ~

1

.

2)

1/2,

х=о, L.

(2n-I)2·

(Ответ: ~.

х,

О<х:;:;;;I'n=1

						00
_{		1, О<х< 1,				\'
5.18. '(х) -	-1,			l<х<2,		L.
						,,=I
5.19. {(х)=		-х		-4 <х<о,
	{	1:		О	х=о,
		2	,			4
					<х<,

(_I)n	(о		. зt )
2n+l·		твет.		4·
Ioo	1
n=1 (2n - 1)2			•

(Ответ: ~2.)

				00					. n )
5.20. !(Х)'={	1,	0:;:;;;х<3/2,		\'	(-1)" (о
	-1,	3/2<х<3,		L.	2n+ 1			твет. 4·
				n=1
5.21. f(x} = {-IА:			-2<х<О, 00
			х=о,		\'	1
.	х/2,		О < х < 2,		L.	(2n -	1)2		•
					n=1
(ответ: ~2.)			-2<х<О, IOO
5.22. {(х)={ -2~:						------::-
			х =	о,
	4,		0<х<2, n=1			(2n-l/

(Ответ: !f.)

IIS

5.23. ,(х)=

(Ответ: ~2.)

5.24. '(х) =

(Ответ'	7л2 )
.	20'

5.26.f(x) =

5.27.f()х =

5.28.'(х)=

5.29.'(х) =

{х_ ?:	-л:;:;;;х<О,	L
	о:;:;;; х:;:;;; л,				(2n-I)2
		n=1
{-2х		00
	-л:;:;;;х:;:;;;о,	L		(1 -		(_I)n)
3х:	О<х:;:;;;л,
						n 2

n=1

			00					+.)
х sin х,		[- л; л],	L ~~~~ . (Ответ:
			n=1
О	-л:;:;;;х<о,		f	(_I)n+1 (			.	л)
{1:	О:;:;;;х:;:;;;л,		~	2n-I .		Ответ.		4'
			n=1
				00
	а -л:;:;;;х<о,			\'	(_I)n+1	(		.	л
{ ~,'		о ~ х:;:;;; л,		~	2n + 1	•	Ответ.		4.)
				n=О
Icos xl,		[-л; л],
			n=1

л-2 ) ( Ответ: -4~'

5.30. f(x)=lcos ~I, [-л; л],		\' (_I)n	2
		~ '-4n	'
		n=1
л-2	)
( Ответ: - 4 - '

Решение типового варианта

1. Разложить в рЯJI. Фурье периодическую (с периодом ro = 2л) функцию

116

f(Х)={Л+Х' -л:;:;;;х<О.

О. о:;:;;;х:;:;;; л.

~Вычислим коэффициенты Фурье:

о

(л+ x)dx = ~

1~n= +~2 =

ао=

~ ~

(л~х)2

; .

-п

о

аn =

~

~ (л + х) cos nxdx =

-п

-r=л+х'

du=dx.

-

dv = cos nxdx. v =

*' sin nх.

-

о

11

=+((л~х sinnx)l_n -+

~

sinnxdx)=

-п

=

1

10

= -(1 _(_1)n)=

2

•

- 2 COS nх

-п

л(2n -

1)2

лn

лn2

О

ЬN =

~

~ (л +х)sin nxdx =

-п

_

u=л+х.

du=dx.

dv =

sin nxdx. v =

-

-1

cos NХ

+((

n

=

- л~х cos nx)l_n + *-

~ cos nxdx) =

о

f}

-п

= -

1 (

л

1·

10)

1

- -

+ - 2

S1П nх

-п

= - - .

л

n

n

n

Ряд

Фурье

для данной

функции

запишется

в

виде

f(x) = ~ + ~

00

00

\'cos ((2n

- l)лх)

_

\' sin (nлх).

~

4

л

L

(2n -

1)2

L

n

n=!

n=!

2.

Разложить

в

ряд Фурье

функцию

f(X) =

8х/2• за­

.::;.анную в интервале (О; л). продолжив (доопределив) ее

четным и нечетным образом. Построить графики для каж­

дого продолжения.

117

~ Продолжим	данную	функцию		четным образом
(рис. 12.7). Тогда:
л			1" = _ 4 _ (8,./2_ 1),
ао = ~ r8x / 2dx = ~ .2.		8Ф
:rt )	:rt	In 8	о	:rt In 8

о

,.

аn =

~ ~ 8х/2 cos nxdx.

о

у

,

I

I

\

,

\

I

\

\

\

\ ,

\

I

\

-'"

I

I

\

/ I

\

/

\ ....

",

"- ....

"-

"

f

-Jтг

-2п

-д

О

л

2JТ

З:тr

х

Рис. 12.7

Найдем неопределенный интеграл ~ 8х/2 cos nxdx, вы·

полнив дважды интегрирование по частям:

r

u =

8х/2

du =

-.!.. •8х/2

In 8dx

8

х

/

2

cos nxdx =

'2'

-

)

cos nxdx,

1 .

.

.

dv =

V = -n SIП nх

=

-.!..

8х/2

sin nх -

~r 8х/2 sin nxdx =

n

2n )

=

8Х/2,

du =

-.!..

•8х/2

In 8dx,

8х/2.

+

-=

2

1

dv = sin nxdx,

~ cos nх,

= - '

sш nх

V =

-

n

I

+ 1п 8

• 8х/2 сos nх _

In2 8

r

8.1/2 cOS nxdx,

2n 2

4n 2

)

(

1+ In2

8 )r 8X/~os nxdx =

-.!.. •8х/2 sin nх+ In ~

Х

~

2

)

n

~

r8х/2 cos nxdx =

Х 8х/2 cos nх,

2

4n

2

2

(2. вх/2 sin nх+

J

4n

+ In

8

n

.

+ lп 8

.8.1/2 cos nх).

2n 2

118

·Вычислим коэффициенты аn :

			2	(-.!....	. 8xj2 sin nх + ~2	.8х/2 COs nх)Iл=
а,,=	л(4n	2	8n
			+(In 8)2)	n	2n	о
				_	4 In 8(8л /2 ( _ 1)" - 1)
				-	л(4n2 +(lп8)2)

Следовательно, разложение данной функции по кОси­

нусам имеет вид

8Х/2 = 2(8л/2 -	1) + 4 1: 8 \' 8'/2. ( - 1)" - I cos nх.
л 'П 8	"L 4n 2 + (In 8)2
	n=1

Теперь продолжим данную функцию нечетным обра­ зом (рис. 12.8). Тогда:

л

Ьn =

~

~ 8х/2 sin nxdx,

о

у

~.- / /

I I I

1)

~.- /

/ I I I

-2'ff

Jff х

-Jtr

-п-

О

ff

2п

.-

.-

.-

-1

, .-

/

/

/

/

/

/

I

I

I

I

I

I

Рис.

12.8

и = 8

х/2

du = -.!.... ·8х/2

fj 8Х/2 sin nxdx =

Iп 8dx

'2 . '

dv =

sin

nxdx,

v =

-

-.!....cos nх

n

= -

-.!.... 8х/2 cos nх+ ~f 8х/2

cos

nxdx =

n

2n j

и =

8х/2

du = -.!.... 8х/2

lп Мх

'2

'

dv == сos nxdx,

v = ...n!- sin nх

.Н9

= - ..!..	•8х/2	cos NХ+ ~2			.8Х/2 sin nх -
n				2n
	- ~f 8Х/2 sin nxdx
Ь,. =		4n 2 )		8х/2	,
	8n	( - ..!..			cos NХ+ ~ х
	2
л(4n2	+ (In	8)2)	n		2n2
Х 8х/2	sin nx)l" =		8n (8Л/2 (_I)n+1 + 1) •
		О		л (4n 2 +(ln 8)2)

Следовательно, разложение данной функции по сину­

сам имеет вид

3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом

ffi = 2) функцию
	1,	-1 ~x<O,
,(х) = {	0,5,	х = О,
	х,	O<x~ 1.

~Вычисляем коэффициенты Фурье:

6

1

+~II=I+~=2-,

йо= f

dx+f xdx=xl O

)

)

-1

2

О

2

2

-1

О

1)

1

йn =

~

cos (nлх) dx + ~ х cos (nлх) dx =

-1

О

и=х, du=dx,

dv = cos (nлх) dx,

v =

sin {nлх)

sin (nлх)Iе

лn

=

- 1

+ -1 х sin (nлх)11 -

лn

-1

nл

О

- -

1

~I

1

11

=

1

1)" - 1),

sin (nлх)dх =

- 2-2 cos (nлх)

22 (( -

nл

n л

О

n л

О

й

=-

-2

n

-л72(-2-n----:-1)~2 '

120-

о

1

Ьn =

~ sin (nлх) dx + ~

х sin (nлх) dx =

-1

t

u=х, du=dx,

dv = sin (nлх) dx,

v = ~ cos (nлх)

nл

= -

- 1 cos (nлх) 1о

-

~ cos (nлх)11 +

nл

-1

nл

О

1

+ _1_( cos (nлх)dх= - -1 (1

- ( - 1n - _1 (_1)n_

nл

J

nл

nл

t

1·

11

(_1)"

1

-

(_1\"

1

- -- , slП (nлх)

О

= -- - -

~

= - - .

n

2 л2

nл

nл

nл

nл

в итоге получаем следующий ряд Фурье:

1. _

~ \'

00

,(х) =

cos ((2n -

I)лх) _ ~

\' sin (nлх). ~

4

л2 L

(2n -

I?

л

L

n

n= I

n= 1

4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную гра­

фически (рис.

12.9).

l/,I.

-6 -5 -4 -} -2 -/ О 1 2 J 4- 5 6 Х

Рис. 12.9

~ Запишем аналитическое выражение данной

функции:

,(х)= {02,5х2 + 1,	-02 < х:5 2°'	(t) = 4.
,	<х",=::: ,

Вычислим коэффициенты Фурье:

о ' 2

ао= +~ (+ х+ 1) dx + +~ 2dx = +(~2 +х)1~2 +

- 2		Q
2	1	5
+ х о = -	"2 (1	- 2) +2 == "2'
1

121