RIII_OCR[6]

•	~ / _2	~	х	2	=z	2	=	16,	у=О. (Ответ:
3.22. V.	у=3 у х	+z,

(0,9/2, О).)

3.23.V: y2+ Z2=3x, х=9. (Ответ: (6, О, О).)

3.24.V: y=--Vx~+z~, у=4. (Ответ: (0,3, О).)

3.25.V: x=y'2+ z'2, y2+ Z2=9, х=О.

(Ответ: (3, О, О).)

О, х + у + z = 3.

3.26. V:

х = О, У =

О,

z =

(Ответ:

(3/4,3/4,3/4).)

3.27. V:

,_1'2

2

х

2

+у

2

=9,

z=O.

(Ответ:

z=2yx

+у,

(О, О, 9/4).)

х2 + у2 =

3.28. V:

2z, z = 3.

(Ответ: (О, О, 2).)

3.29. V: z=--VХ2+у2, z=4. (Ответ: (О, О, 3).)

3.30. V:

z = х2 + у2,

х2

+ у2 = 4,

z =

О. (Ответ: (О, О,

4/3) .)

4. Вычислить момент инерции относительно указанной оси координат однородного тела, занимающего область V,

ограниченную данными поверхностями. Плотность тела 8

принять равной 1.

4.1.	V:	y2=X	2 +Z 2, у=4,	Оу.	(Ответ: 512л/5.)
4.2.	V:	х = у'2	+ Z2, Х = 2,	Ох.	(Ответ: 4л/3.)

4.3.V: y2=X2 +Z2, у=2, Оу. (Ответ: 16л/5.)

4.4.V: х = у2 + Z2, Х = 9, Ох. (Ответ: 243л/2.)

4.5.V: X2=y2+ Z2, х=2, Ох. (Ответ: 16л/5.)

4.6.V: y=X2+Z2 , у=2, Оу. (Ответ: 4л/3.)

4.7.V: X2 =y2+ Z2, х=3, Ох. (Ответ: 243л/10.)

4.8.V: х = у2 + Z2, Х = 3, Ох. (Ответ: 9л/2.)

4.9.V: у = 2";х2 + Z2, У = 2, Оу. (Ответ: л/5.)

4.10.V: y=x2 +z'2, у=3, Оу. (Ответ: 9л/2.)

4.11.V: X2 =y2+ Z2, y2+ Z2=-1, х=о, Ох. (Ответ:

2л/5.)	+ Z2, у2 + Z2 7-= 1, х = О,
4.12. V: х = у2		Ох.	(Ответ:
л/3.)	2+y2, z=3, Oz. (Ответ: 243л/10.)
4.13. V: Z2=X
4.14. V: Z=X 2+y2, z=3, Oz. (Ответ:		9л/2.)
	+ Z2, х2 + Z2 = 4, У = О,	Оу.	(Ответ:

64л/5.)

4.16.V: 2if = х2 + Z2, У = 2, Оу. (Ответ: 16л/3.)

4.17.V: х =y2+ Z2, х=2, Ох. (Ответ: 16л/5.)

4.18.V: 2z = х2 + у2, Z = 2, Oz. (Ответ: 16л/З.)

182

4.19. V: X~=y2+Z2, y"+z:!=4, х=о,		Ох.	(Ответ:
б4л/5.)	+ у2 = 4, z = о,
4.20. V: 2z = x~ +у2, х2		Oz.	(Ответ:

32л/3.)
4.21. V: z=2(X 2+y2), z=2, Oz. (Ответ: л/3.)
4.22.	V:	х = 1 -	у2 -	z:!,	Х = о,	Ох.	(Ответ: л/б.)
4.23.	V:	у = 4 -	х:! -	Z2,	У = о,	Оу.	(Ответ: 32л/3.)
4.24.	V:	X=3(y2+ Z2), х=3, Ох. (Ответ: л/2.)
4.25.	V:	z = 9 -	х:! -	у2,	Z = о,	Oz.	(Ответ: 243л/2.)

4.26.V: z=4v1x:!+y~, z=2, Oz (Ответ: л/80.)

4.27.V: z=3(X 2 +y2), z=3, Oz. (Ответ: л/2.)

4.28.V: X=2-.Jу2+ Z:!, х=2, Ох. (Ответ: л/5.)

4.29.t/: у = 3(Х" + Z2), У = 3, Оу. (Ответ: n/2.)

4.30.V: z = 3 - Х:! - у:!, Z = о, Oz. (Ответ: 9л/2.)

	Решение типового	варианта
1. ВЫЧИСЛИТЬ массу l7l неоднородной (lластины D, огра­
ниченной ЛИНИЯlVI!I у = 2х - х:!, У =		х, если поверхностная
ПЛОТНОСТЬ в	каждой ее точке fJ, =	х2 + 2ху.
~ Для	вычисления массы т	плоской пластины за­

данной поверхностной плотностью [t воспользуемся фи­

зиЧеским смыслом двойного интеграла (см. § 13.1, свойст-

во 2) и формулой 117 =)) (x~ + 2ху) dxdy, где область

D

интеr'рирования D изображена на рис. 13.41. Это позволит

легко представить записанный двойной интеграл в виде

повторного:

	I	~,~ -x~	(х:! + 2ху) dy =	I	2.~.-x!
т =	~ dx	~		) (х2у	+ ху2)1 dx =
	()	х		tJ·<
	I		х4 - х3 + 4х3 -	4х4 + х" - хз) dx =
= ~ (2хЗ _
= ~	u	Бх4	+ 4xJ )dx =( Х6"	- х5	+х4)1~=+.....
	(х5 _
I

о

2. Вычислить статический момент относительно оси Оу

однородной пластины D, ограниченной линиями х2 + у? -

-2ах=0, х2 +у2_ ах =0, у-х=о, у+х=о (рис.

13.42), использовав полярные координаты. Поверхност­

ная плотность пластины fJ, = 2.

183

у

Рис. 13.41

Рис. 13.42

~ Статический момент относительно оси Оу данной пластины определяется по формуле (13.17). В полярной

системе координат область D преобразуется в область D';

acos«p~p~2acos«p,

-л/4~«р~л/4.

Тогда

л/4

2а cos (Р

Му =

~~

2р cos «р. pdpd«p = 2

~ cos «pd«p

~

p 2dp =

О'

-л/4

а cos tp

= 2

л/4

J 12а со''р

d«p =

7 з

л~/4

cos

4

«pd«p =

~

cos «р . .L

2 . _а_

3

а со. 'р

3

-,,/4

-,,/4

,,/4

(1 + C~S 2'1'/d«p =

=

2з8

аЗ

~

о

л/4

=

;

аЗ ~ (1

+2cos2«p+cos22«p)d«p= 7;3

((«р+

О

+ sin 2«р)1:

/4

+

,,/4

(-} + -} COS 4«р) dp) =

~

u

3. Вычислить координаты центра масс однородного

тела, занимающего область V, ограниченную поверх-

ностями у = +-.Jх2 + Z2, У = 2.

~ Данное тело	симметрично относительно оси Оу
(рис. 13.43), поэтому xc=zc=O, а
Ус =	Ш ydxdydz/ Ш dxdydz.
	v	v

184

z

-4

х

Рис. 13.43

Переходим к цилиндрическим координатам по форму­ лам, аналогичным формулам (13.26): х = р COS «р, Z =

= р sin «р, у = у. Тогда

			2"		4	2
Ш ydxdydz =		Ш ypdpdqJdy =		~	dqJ ~	pdp ~	ydy =
v		V'		о	о	р/2
= -} 2"~	dqJ ~4 р(4 -	+р2)dp = -} 2"~ ( 2р2-				i~)1:dqJ =
о	о		о
		= -} . 16tpl:"	=	16л,
			2"		4	2
	Ш dxdydz =	Ш pdqJdpdy =	~	dqJ ~		pdp ~	dy =
	v	V'	о		о	р/2

2"	4	+р)dp =		2л	4
= ~	dtp ~ р(2 -			~	(р2- {- рЗ)1оdtp =
u	о			о
		2:1	16		32
	=чJ 1о 'Т = Т Л.

Следовательно,

16л·3 3

YC=~-2

ицентр масс С(О, 3/2, О).....

4.Вычислить момент инерции относительно оси Оу

однородного тела (плотность 8 = сопst), занимающего

область V, ограниченную поверхностью у = 5 - х2 - z~

И плоскостью у = 1.

~Согласно формулам (13.18), искомый момент

инерции

185

Iy = ш 8(х, у,	z) (х2 + Z2) dxdydz =
l'
= 8 Ш (x~ + Z2) dxdydz.
l'
(Область V изображена	на рис. 13.44,)

z

-2

Рис, 13.44

Переходим к цилиндрическим координатам по форму­

лам х = р cos ер,			z = р sin (р,		у = у' Тогда
					2.'1	2	5~p~
I y	= 8 Ш p"pdpdepdy = 8 ~					dep ~	p:3dp ~ dy =
		v			(1	11	1
1п	2	yl	[") ~ р2		2.'1	2	pJ(5_ p2_I)dp =
= 8 ~	dqJ ~			.p:Jdp = 8 ~ dep ~
о	u		1		U	U

13.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( r Л. 13

1. Доказать равенства:

~~ x 2dxdy =	~~ y 2dxdy =	~~~ (х2 + у2)dxdy,
D	D	LJ

если область D определяется неравенствами х > О, у> О, x~ + у2 < а2•

2. Использовав полярные координаты, вычислить

~~.Jа2 - х2 - у2dxdy,

D

186

где область D -

лепесток лемнискаты (х2

+ у2)2 =

а2 (х2 -

-

2

),

х ~ о.

( . (:l

16 -fi- 20) а

)

у

Ответ.

3 -

9

2'

3. Построить область, площадь которой выражается

интегралом

,,/2

ull+ros'f)

~

dqJ

~

pdp.

-л/2

а

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

х2

у" ) 2

=

х2

у!

.

( 4

+ 2

4

-

Т· (Ответ.

6.)

5. ВblЧИСЛИТЬ площадь фигуры, ограниченной кривыми

(х2 + у2 _

ах)2 =

а2(х2 + у2)

И х2

+ у2 =

ау-{3.

( Ответ:

за2-{3/2.)

гиперболоид х2 + у2 _

6.

В

каком отношении

Z2 = а2

делит

объем

шара

х2

+ у2 + Z2 ~ 3а2?

(Ответ:

з-{3-

-2/2.)

7.Доказать, что объем тела, ограниченного поверх­

ностями z = О и z = е-х'-У', равен л.

8.Вычислить координаТbI центра масс однородной

+COS qJ).пластины

(Ответ: (~ а, о).)

9. ВblЧИСЛИТЬ момент инерции относительно оси Ох

однородной пластины, ограниченной кривой х4 + у4 =

=х2 + у2. (Ответ: Зл/(2-f2).)

10.ВblЧИСЛИТЬ

2	~2x-x2	а
~ dx	~	dy ~ Z-V		dz,
			х2 + у2

Оо о

преобразовав его предварительно к цилиндрическим коор­

динатам. (Ответ: 8а2 /9.)

11. Вычислить

преобразовав его предварительно к Сферическим коорди­

натам. (Ответ: 4лR5 /15.)

187

12. Вычислить массу тела, ограниченного прямым

круглым цилиндром радиусом R и высотой Н, если его плотность в любой точке численно равна квадрату рас­

стояния			от	этой точки до		центра основания		цилиндра.
(Ответ:			Л~2Н (3R 2 +2Н2).)
13.		Вычислить координаты центра масс однородного
тела,	ограниченного				поверхностями		у = -j;,	у = 2-j;,
z = О	и		х +z = б. (Ответ:			(14/15, 2б/15, 8/3).)
14.		Вычислить координаты центра масс однородного
тела,	ограниченного поверхностями х2 + у2 = Z							И Х +у +
+z=o. (Ответ: (-1/2, -1/2, 5/б).)
15.		Найти момент инерции относительно начала коор­
динат		однородного			тела,	ограниченного конусом Z2 =
= х2	_		у2	И сферой	х2 + у2 + Z2 = R2		(Ответ: 2л(2-

- -/2) R5 /5.)

16. Найти момент инерции относительно диаметра

основания круглого конуса, высота которого Н, радиус

основания R и плотность l'= сопst. (Ответ: луНR 2(2H 2 +

+ 3R2)/БО.)

17. Показать, что сила притяжения, действующая со

стороны однородного шара на внешнюю материальную

точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить

вего центре.

18.Дано однородное тело, ограниченное двумя кон­

центрическими сферами. Доказать, что сила притяжения

данным сферическим слоем точки, находящейся во вну­

тренней полости тела, равна нулю.

19.Вычислить массу полушара радиусом R, если плот­ ность распределения массы в каждой его точке пропор­

циональна (k - коэффициент пропорциональности) рас­

стоянию От нее до некоторой точки О на границе основа­

ния полушара. (Ответ: 4kлR4 /5.)

20.Вычислить объем V общей части шара радиусом R

икругового цилиндра радиусом R/2 при условии, что

центр шара лежит на поверхности цилиндра. (Ответ:

~RЗ( ~ - ~))

21.Вычислить площадь части сферической поверхности радиусом R, которая высекается круговой цилиндриче­ ской поверхностью радиусом R/2 при условии, что центр

сферы лежит н а цилиндрической поверхности. (Ответ:

2R2 (л - 2).)

14.КРИ ВОЛИ НЕЙ НЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

14.1.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги). Пусть

в пространстве RJ задана гладкая дуга L AB кривой L, во всех точках

которой определена непрерывная функция и = {(х, у, г). дугу L AB про·

ИЗВQ.1ЬНЫМ образом разобьем на

Z А

у

х

Рис. 14.1

n частей li длиной дl, (i = т:ti). в каж-

дой элементарной части li выберем

произвольную точку Mi(Xi, Yi, Zi)

(рис. 14.1) и составим интегральную

сумму

n

l n = ~ f(Xi, Yi, г,) bli. i=!

Тогда предел lim l n всегда суще-

Ы,~O

ствует, называется криволинейным

интегралом первого рода или кри­ волинейным интегралом по длине

дуги L AB от функции {(Х, У, г) и обо-

значается \ {(Х, У, г) dl.

LAB

Таким	образом,	по определению
				n
	\ {(Х,	у, z)dl =	lim	~	f(Xi,	Yi, г,) bli.
	LAB		mах Л{,---+О	i= 1
Если кривая L лежит в плоскости Оху и вдоль этой кривой задана
непрерывная функция {(Х, у),			то
	\	{(Х, y)dl =	lim	~	{(х"	у,) д/;.		(14.1 )
	LAB		lТJax ~{,-+O	[= 1
в случае, когда гладкая кривая L задана в пространстве R3 па­
раметрическими уравнениями			Х = x(t),	У =	y(I),	z = z(l) и		параметр	t
изменяется монотоНно на отрезке [а;				13J (а < 13) при			перемещении		IJQ
кривой L	ИЗ точки	А в точку В, верна			формула		для	вычисления
криво.1инеЙного ИIlтеграла
\ {(Х,	у, z)dl=	~
		\f(x(t), y(t), z(I)) ,/(x'(t))"+ (y'(I))" + (z'(1))2dl. (14.2)

"

lR9

В случае плоской кривой формула (14.2) упрощается.

	~		.
\	{(к, у) d/ = \	((K(I), Y(I))-J(Х'(t))'+ (y'(I))'dl.		(14.3)
Если уравнение плоской		кривой Р = p(!jJ)	задано в полярных ко­
ор,щнатах р, Ч"	функция p(!jJ)	и ее ПРОflЗводная	р' = dp/d!jJ	непрерывны,

то имеет место частный случай формулы (14.3), где в качестве пара­

метра	1 взят	полярный	угол ЧJ:
			(1'1$
	\	f(x, y)d/=	\ f(p(!jJ)cos!jJ, Р(!jJ)SiП!jJ)-JР'+Р"d!jJ	(14.4)
			{Г.l
(tpA If	!jJ1J -	знаЧСНIfЯ	!jJ, опрсделяющие на кривой ТОЧКИ А	и В).
Если ff.nо(кая кривая задана flспрерывной и непрерывно дпффе­
ренцируемоii		на la; 1)1 функцией у = у (х), где а и Ь - обсциссы		точек
А If В,	то
				(14.5)

Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов пер­

вого рода	сводится к вычислению определеfiНОГО интеграла (см. гл. 9
во второй	части настоящего пособия).

Пример

1.

Вычислнть

1 =

\ (2г - -{) + у') dl,

где

L -

первый

,-

виток конической винтовой ЛННflИ

Х = 1 cos 1, У = 1 siп 1, Z = 1,

О ~ 1 ~

~ 2л.

~ Находнм

d/ =

-J(X' (1))'+ (y'(t))' + (z'(I))' dl =

= -J(cos t

- t siп

1)' + (siп

t +

t cos t)' +

1 dl = -.J2 +

l' dl.

Тогда

2л

(21 - 1).,)2 + t2

2л

1 =

\

dl =

\ 1..)2 + t' dl =

о

о

1

+ t')'I'

I'Л

=

2-J2

+ 2л')JJ' -

1).....

= з(2

О

- 3 - ((1

Пример

2. ВЬf'IИС'nИТЬ

1 = )

d/

'

где L -

отрезок

прямой

2

L

Х+ у+5

у=2х-2,

зак,nючснный между

точками

А(О,

-2),8(1,

О).

~Находим

d/ = ~dx = -{l+4dx = ~dХ.

190

Следовательно,

•./5		1'.J5
= ~ Iп 15х + 11		0=	-5-lп 6.....
Так как, согласно формулам	(14.2) -		(14.5), криволинейный инте­

грал lIepBoro рода выражается через Оl1ределенный интеграл, то укажем только те его свойства, которые обобщают своиства Оl1ределенного

интеграла.

1.	\	dl =	1. ,IJ ,	где	IАН -- длина		дуги АВ	(геометрический смысл
	LAB
криволинейного интеграла первого рода).
2.	ЕС.1И f(x, у,			z) =	6(х, у,	z) -	линейная	плотность материальной
дуги L ..,H ,		то ее	масса т		ВЫЧИС.lяется по формуле
					m=	\ 6(х, у, z)dl		( 14.6)
						LAB

(механический смысл криволинейного ИNтсграла первого рода).

3. Координаты центра масс материальной дуги L AH , имеющей линеii­ ную плотность 6 = 6(х, ч, z), 0I1реде.1ЯЮТСЯ 110 формулам:

хс =	~ ~ х6(х, у,	z)dl, y,=~ ~ у6(х, у, z)dl,
	LAH		LAH
	zc = ~	~ z6(x, у,	(14.7)
			z) dl,
		LAB
где т - масса	дуги L AB .

4. Моменты инерции относительно начала координат О, осей КООр­ дннат Ох, Оу, Oz и координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz мате­

риальной ДУ"и L,'B, имеющей линейную			плотность			6 = 6(х, у,	z), вы­
числяются соответственно по формулам:
10 =				\	(у2+ zz) 6dl'!
l-AB				LAB
\	(х" + zz) 6dl,	lг =	\	(х2	+у") 6dl,		(1Н!)
/.,.18			LAB
lху =	~	y2(jdl,		1уг = \		x 26dl.
	L АВ				LAB

Моменты инерции связаны следующими соотношениями:

21 о = 1х +1у +1г, 10 = 1ху +1хг +1уг.

Если дуга L AB лежит в плоскости Оху, то рассматриваются только мо­

менты 10, lх, lу (при условии, что z = О).

191