RIII_OCR[6]

!'Овальны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного поля и(М)

(или z(M».

Дифференциальные уравнения для определения векторных ли­

ний grad u(М) имеют вид

(15.10)

Пример 2. Найти векторные линии поля grad и, еС,lИ u = (х" +

+уС + z")/2 .

•Согласно определению (15.8), grad u = xi + yj + zk, а из формул

(15.1 О) следует, что векторные линии этого поля удовлетворяют си­

стеме дифференциальных уравнений

dx dy dz

ху z

Находнм решения этой системы:

dx dy

- = - , In Iyl =In Ixl +Iп С" у=С,х,

ху

dz z

		Полученные				решения у = С,х, z = С2х можно представить в	виде
х	=	у	=	z	2' т.	е. векторные линии заданного поля grad u (М)
т		с;		С			вред-

ставляют собой совокупность ПРЯМblХ, проходящих через начало ко­
ординат и ортогонаЛЬНblХ множеству	поверхностей уровня х' + у2	+
+ Z2 = 2С (сфеРbl) данной функции.	<IIIi

АЗ-15.2

1. Записать уравнения и построить поверхности уровня

скалярных полей, определяемых следующими функциями:

а)	u = arccos	z ; б) u = In(x 2 + у2 + Z2);
	I/x2	+ у"
в)	u = z/(x2 +у2).

2. Построить линии уровня плоского скалярного поля

z=xy.

3. Найти градиент скалярного поля u = С· г, где с -

постоянный вектор; г - радиус-вектор точки М(х, у, z).

Записать уравнение поверхностей уровня Этого поля и

выяснить их расположение относительно				BeKTo~a		с.
4. Найти производную скалярного поля u = х					+ у2 -
--VX2 +Z2 В точке М(-3, О,		4)	в направлении		нормали
к поверхности	2х2 + 12х + 5у2	+ Z2 - 3z -		58 =	О,	обра­
зующей острый	угол с осью Oz.		(Ответ:	-4/5.)

232

5. Найти векторные линии векторного поля а(М) =

=шуi+шхj, где шЕR, ш=l=-О. (Ответ: X 2 _ y2=C J ,

Z= С2.)

6. Найти векторные линии векторного поля, если:

а) a(M)=5xi+10yj; б) a(M)=4zj-9уk.

(Ответ: а) x 2 =C J y, z=C 2; б) 9 y 2+4z2=Cr, х=С2.)

7.	Найти векторные	линии поля	grad и, если u =
= х2 -	2у + Z2. (Ответ:	х = С/е-У, z =	С2е-У.)

Самостоятельная работа

1. 1. Найти векторные линии векторного поля а(М) =

= (х + y)i - xj - xk. (Ответ: х2 + у2 + Z2 = С§, у - z =

=C J . )

2.Вычислить координаты единичного вектора,

+у2 В точкеперпендикулярного

Мо(-I, 1,2) и образующего с осью Оу острый угол. (ОТ­

вет: (-2/3,2/3, -1/3).)

2. 1. Найти векторные линии поля grad и, если u =

-:-х+у2. (ответ: x=-}lпу+СJ, Z=C2.)

2.Вычислить координаты единичного вектора пО,

перпендикулярного к поверхностям уровня скалярного

поля u = 2х - 3у + 6z - 5 и образующего с осью Oz тупой угол. (Ответ: по = (-2/3, 317, -617).)

3. 1. Найти векторные линии векторного поля а(М) =

=	2xi + 8zk. (Ответ: z = CJx4 , У =	С2.)
	2. Записать единичный вектор пО, ортогональный к
поверхностям уровня скалярного		поля	u = х2 +у2 +
+	Z2 + 4. (Ответ: по = (x/l/x 2+ у2 + Z2,		Y/VX2 + у2 + Z2,

zrJ х2 +у2 + Z2).)

15.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть f(x, У, 2~ - непрерывная функция в точках некоторой глаДКО!"1

поверхности 5 Е R. С помощью кусочно-гладких линий разобьем по­

верхность 5 на n элементарных площадок 5"		площади которых обозна­
чим через fl,.5; (i = т-n), а диаметры -	через	10 5,. На каждой площаДJ,е
5, выберем ПРОИЗВQЛьную точку Мо(Хо, Уо, 2о),		вычислим f (х;, У" 2i) и со­
ставим интегральную сумму
n
I n = ~ f(Xi,	Уо, 2i)fI,.Si.
i~J

233

Тогда сущеСТБуЕ'Т предел ЭТОЙ интеграоlЬНОЙ суммы, который называется

поверхностны,',! интегралом первого рода от фуикции {(х, у' z) по [юверх­ ности 5 и обозначаЕ'ТСЯ

\\{(Х, у, z)dS =	liП1L {(х" у" z,)~S,.	(15.II)
s	CS,~O i= I

Поверхностные ннтегралы первого рода обладают свойствами ли­ нейности. аддитивностн, для ннх справедлива теорема о среднем, их

IJc-личина не зависит от выбора стороны поверхности.
Очевидно. что	интеграл \\ dS равен	площади поверхности, а	\\ 6(х.
	s		s
у. z)dS, где 6(х, у. z) - поверхностная плотность поверхности 5, -			массе
поверКliOСт.и S.	О поверхности 5
Если проекция		на плоскость Оху однозн.ачна.

т. е. всякая прямая, параллельная оси Oz. пересекает поверхность 5

лишь в одной точке, то поверхность можно задать уравнением z =

= Р(х, у) и справедливо равенство. с помощью которого вычисление

поверкностного иитеграла первого рода сводится к вычислению двойного

интеграла:

	у.					dxdy. (15.12)
\\f(X.		z)dS = \\ {(х, у). Р(х, y))-JI + (Р:)" + (р;)2
S		D
Пример	1.	Вычислить \\-Vx" + у" dS.		где	5 - часть конической
		s
поверхности	х" +у2 = Z2. расположенная		между		плоскостяМи z = О и

z=2.

~Из уравнения данной поверхности иаходим. что для рассматри'

ваемой ее части z = -Jx" +у2 И проекцией ее на плоскость Оху является
~;pyг х2	+ у" ~ 4. Так как
	p~ =	x/-Vx' + у", Ру =			y/-Vx' + у2.
то ИЗ формулы (15.12)		получим
								х" +у'
								2	-, dxdy =
	s	s						х	+у-
			I Х = р cos qJ					I = -J2ff p"dpdqJ =
= -J2П -Jx2 + y'dxdy =
	))		У =	Р SП1			qJ		))
	D									D
	2"	2		2л·	~			Iбз-J2л....
	= -J2~ drl'}p2dP = -J2.						=

оIJ

Сторона гладкой новерКlЮСТИ 5, из каждои точки которой вос­

ставлен вектор нормали п, называется положительной, а другая ее

сторона (если она существует) - отрицательной. Если, в частности, поверхность 5 является замкнутой и ограничнвает некоторую область

пространства V, то положительной или внешней Стороной поверхности

234

называется	та	се сторон;]. НОРМ<1,1ЬНЬН' векторы	KOTOpoii	направлс]:ы
от uБJlасти	V,	а ОТРИЦ<Jтu]ьнuii и,']и внутренней -	сторона,	!lOрмаm,]]ыс

векторы которой направлены IЗ 06JlacTb V. Повсрхность, у которой су­

щсствуют пuложи ГС.1ЬНiiЯ (ЕНСll:НЯЯ) и отрицатеЛi>l]ая (внутрснняя)

СТОРОIIЫ, называется двухсторонней. двухсторонние поверхностн харак­

теризуются следующим CBOIkTBOM: еС,1И основание вектора норма,,]]! n

Рис. 15.4

Рис. 15.5

непреРЫВIIО персмещать по .lюбому замкнуто.~у контуру L, Jlежзщую ]]3 'Г'акой поверхности, то пр]] ВОЗВР3ЩС]iИ]! В ПСХОДНУЮ точку направ.lt'IlИС n совПадст с исходны~! (рис. 15.4). Двухсторонними поверхностями

являются ПJlОС]{ОСТII, ВСС поверхности второ]-о lIоряд!-;а, тор и многие

лругие.

ДЛЯ ОДНОСТОРОНIJИХ HOBCpXHocTeii указанное перс-меЩN]ие нормат]

n ври возвращении в исходную точку приводнт К «антннормалн», Т е.

к вектору -11. Классическим примером односторонней J!оверх]юсг!!

является ЛI]СТ Мёбиуса (рис. 15.5i.

ПОВl'рхность S L выбра]iНОЙ c-rороноii называется oРllеНТЩJOваЮlOlf.

ЕСJIИ !lOBCPXHOCTb S заД<J~J уравнеШ]ОI z = f(x, у), то ]юрмаЛ],lIыii

вектор п, образующий с осью Oz острый угол У, опредс.~яется СJlСДУ]СЩfР'.1 образом: n = (-f~, -f~, 1), а КООРДИ]]JТЫ еД]jl1ИЧIlОГО вектора H0[1'IHl,']1]

ПО равны его нанраВЛЯЮЩIIМ КОСl1нусам, Т. е.

с

(

-

(;

[:,

I \ _ '

)

11

=

'ТПТ' -

'ТПТ'

'ТПТj -

(С05 а, cos [>, COS у),

lпl

= -Уl + [~' -1- у{

Если

поперх]IOСТЬ

S задана

уравнением

F(x,

у, z) =

о,

[: '1~

О, то

ПО =

± R;rac] F /1 grad

FI,

1'де знак

«+»

берется

I3 с.~учае,

KOГ~ca угол

У -

острый,

а

зн3J(

«-»

В случае,

КОГДа

у - ТУI]ОЙ.

Пусть

В области

V Е R' определена

вскторная функция

а =

Pi +

+ Qj + Rk,

где Р = Р(х, у, z), (,1 = Q(x, у,

z),

R =

R(x, у, z) -

ФУНКllli]],

непрерывные в об~lасти V. jJaJICC,

пусть S _.- неl(оп>рая глаДК:l51 поверх­

]lOсть, лежаща51

в области

V, с

выбранной

1l0,10ЖНТСЛЫЮЙ

CTopOl!oii,

т. е. выбранным наПР<Jвлением вектора по. Разобьем повсрхность .s JlР]]­

надлежащими сй кусочно-глаДI<ИМИ ЛI1]]ИIlМИ на э"н,мснтарные площадк]]

S" площади КОТОРЫХ i'l.S,(i = Тn), и выберем в каждой из НИХ ПРОIIЗВОЛl,­

ную точку М,(х;, у" z,). Тогда существует предел

235

	n
lim	2: а(х" у" z,)· по (х" у., z,)i'l.5"	(15.13)

0AS,~O ;= I

который называется noaepXHOCТHblM интегралом второго рода от функции

а по поверхности 5 и обозначается \\а . по d5. Таким образом, по опре­ s

делению
\\а. по dS =	\\(Р cos а + Q cos В + R cos y)dS.	(15.14)
s	s

Поверхностные интегралы второго рода обладают СRойствами ли­

нейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на про­ тивоположную, т. е. при замене по на -пО, интеграл (15.14) измеН5il'Т

знак.		cos ad5 = dydz, cos Bd5 = dzdx, cos yd5 = dxdy,
Так как				то ИН­
теграл (15.14)		моЖно записать и в виде
		\\a.nod5= \\Pdydz+Qdxdz+Rdxdy.		(15.15)
		s	s
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интегра.lа
(15.14)	к вычислению двойного интеграла:
		\\а - nOd5 = \\ а(х, у, г)· п(х, у, z)dxdy,		(15.1б)
		s	й,
где область О, является			проекцией поверхности 5 на плоскость Оху;
n = ±	grad(z - tз(х, у»;		поверхность 5 задается функцией z = tз(х, у).

в дIюйном интеграле переменную z следует заменить на tз(х, у). При­

ведем еще две формулы, которые можно применять для вычисления

поверхностного интеграла второго рода:

\\а - nOd5 = \\ а(х,		у, z). n (х,	у, z)dydz =
S	й.
=	\\а(х, у,	г)·п(х, у,	z)dzdx,	( 15.17)
	й,

где области ОХ и Оу - соответственно проекции поверхности 5 на

плоскости		Огу	и Охг; !lоверхность 5 задается функциями			х = " (у, г)
и у =	'2(Х, г). В двойном интеграJlе по области ОХ следует в подынтеграль­
ном выражении :Jаменить х функцией ,,(у,					г) и принять n =	±grad(x-
- "	(у, z»,	а в двойном интеграле по Оу -			заменить у функцией '2(Х, г)
и взять n =		±	grad (у- '2(Х, г». Отметим,		что в выражениях для n знак
«+»	или «-»		ставится	в зависимости от выбранной ориентации (сто­
роны) поверхности 5.					(15.14) и (15.15)
	Интегралы		в правых	частях формул		рассматри­

вают как сумму трех интегралов, д.~я вычисления каждого из которых

можно применить одну из формул (15.16) или (15.17).

Пример 2. Вычислить

		1 =	\\	zdydz -	4ydzdx + 8x2dxdy,
			s
где	5	- часть поверхности z =			х2 + у" + 1, отсеченной ПЛОСКОСТhЮ
z =	2,	если нормаль n	к	поверхности 5 составляет с осью Oz тупой
угол	у.

236

~с помощью градиента находим вектор норма.~и к выбранной

стороне данной

поверхности:

n =

(2х,

2у,

-

1), так как cos у < о.

По условию а =

(г, -4у, 8х'), 1I0ЭТUМУ, сuгласнu формулам (15.15),

(15.16),

IIMQCM

(рис.

15.6):

/ =

\\ а . nJxdy =

\\(2xZ -

8u' -

8x')dxdy =

D,

LJ,

8(х' + y2))llxdy =

=

\\(2х(х2 + у' + 1) -

LJ.

х =

р cos ,{,

О ~ '~ ~ 2:т, d

d

d

i

\=

IУ =

Р sin '[,

О ~ Р ~

1,

х

у = р

'Н 'р

=

\\(21' cos '1 (,,' + 1) -

8( 2)pl/plj<p =

D,

I

:2л

cos 'р(р2 + 1) -

I

=

\ pdp \ (21'

8( 2)d'p=

-

\ 16прЗdр = -4п. ...

()

о

()

z

у

Рис. 15.6

Пример 3. Вычислить

/ = \\ xdydz + dxJz + xz2dxdy, s

где 5 - внешняя сторона части сферы х' + у2 + г2 = 1, расположенной

впервом октанте.

~Если обозначить проекцни поверхности 5 на координатные пло­

скости Оуг, Охг и Оху через D x , D y и D, соответственно, а данный

интеграл / рассматривать как сумму трех интегралов:

/, = \\xdyJz,	/2	= \\dxdz,	/3 =	\\xz2dxdy,
s		s		s
для нервого из которых Р =	х,	Q = R =	О, для	второго Q = 1, Р = R =

= о и для третьего Р = Q = О, R = хг2 , то, применнв к каждому из них фОРМУJIУ (15.16) или (15.17), получим

/, = \\ ,)1 - у2 _ z 2 dydz, /2 =	\\ dxdz, /3 =	\\ х(1 - х2 - y2)dxdy
D x	D,	D x

237

Област!! ОХ, Оу и Ог являются четвертям!! кругов единичного ра­

диуса, расположенными в соответствующих координатных ПJlОСКОСТЯК,

поэтому интеграл 12 = SD, = л/4 (площадь четверти круга). Для вы­

числения интегралов 1, If 1, перейдем к полярным координатам, ноложив

y=pcos'l', z=рsiп'l',			dydz=pdpd<p			для	1" x=pCOS(r,		y=psio'l',
dxdy =		pdpd'l' для 1з. В	обоих		случаях О ~ 4'~ л/'2. О ~ р ~ 1. Тогда
					лj2	,
	1, = ~~ ~pdpd'l' =			-	~ d'l'	~ (1_,,2)'1'. +d(l _ p2)=
		О.			о	о	1: =
		= _	~	~	(1 _ (2)'!~			~ ,
	л/2	I				jл/2	(Р\	5 )1'	2
1з=	r	(
	J	d(jl<JРСQSЧ'{-l-рZ)рdр=SiПЧ'о					. т-у ()=15'

о(). ,

Следовательно,

	1, + 12 + 1з =	л	л	2	5л	2
1 =		6'"+"4 + 15 = 12 +				15' ....
Если 5 - замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая об­
ласть V. и Р =	Р(х, у, z),	Q =	Q(x, у,	г).	R = R(x,	у, г) - ФУНКЦIIИ.

непрерывные вместе со своими частными производными первого по­

рядка в замкнутой области V, то Сr1раведлива формула Остроград­ екого - Гаусса

			~~ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy =
			s		+ ~~		+ ~;)dxdydz
		=	~~H ~~						(15.18)
			v
или	в другом	виде
		\\(Р cos а + Q cos ~ + Rcos y)dS =
		s	ссс ( дР				aR).
		=			+	JQ			(15.19)
			JJJ	дк		ду	+ дz	dxdYllz,
			v
где	cos а. cos~. cos у -			направляющие косинусы внешней					нормали
к r10верхности		S.
	Формула Остроградского -					Гаусса ПОЗВО.1Яl'Т УПрОСПIlЪ вычисление

многих lIоверхностных интегралов.

Пример 4. Вычислить

1 = \\ (х + y)dydz + (у + z)dxdz + (г + x)dxdy. s

если 5 - внешняя сторона поверхности тела. ограниченного плоско­

стями х = О, У = О. z = О. х + 2у + Зz = 6.

238

~

Из

формулы

(15.18) следует, что

1 =

\\\( 1 + 1 + I)iixdydz = 3 \\\i[xdydZ =

18,

v

v

так как

последний

тройной

интеграл

равен

объему· теlраэдра

(рис. 15.7) ....

z

г

у

Рис. 15.7

АЗ-15.3

1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

)~.Jx~ + у2 dS,

если

S -

часть

поверхности

конуса

s

_

х2

у2

г2

асположенная между ПЛОСКОСТЯМИ 2 = О

16 +

16-9' Р

И

2 =

3. (Ответ: 160л/3.)

2.

Вычислить

поверхностный

интеграл

первого

рода

~~

xyzds,

где S -

часть плоскости х +у + z = 1, лежащая

s

в первом октанте. (Ответ: -JЗ/120.)

z =F- х2 _

3.

Вычислить

массу

полусферы

у2,

если

поверхностная

плотность в

каждой

ее точке

о .

=х2у2. (Ответ: 128л/15.)

z =.J

4.

Вычислить

массу

полусферы

а2 -

х2

_

у2,

если

поверхностная

плотность в

каждой

ее точке

О =

=

х2

+

у2. (Ответ: 4ла~/3.)

5.

Вычислить

поверхностный

интеграл

второго

po:z..

~~ xdydz + ydxdz + 2dxdy,

s

х + 2у + 2 -

если

S -

верхняя часть поверхности

6 =, О,

расположенная в первом октанте.

(Ответ:

54.)

6.

Вычислить

~) (х + y)dydz + (у -

x)dxd2 + (2 -

2)dxdy,

s

239

если 5 - часть поверхности конуса x~ + у" - г2 = О, от­

секаемая плоскостями z = О и z = J, нормаль к которой образует тупой УГО.1 с осью Ог. (Ответ: 8л/3.)

7.Вычислить

~) xdydz + z!dxdy, s

если 5 -	внешняя сторона сферы х" +у" + г~ =		J.	(Ответ:
32л/J5.)
8. ВЫЧИСЛИТЬ
	~) xdydz + ydxdz + zdxdy,
	s
если 5 -	внешняя сторона цилиндра х" + у" =		R2	С осно­
ваниями	z = О и	z = Н. (Ответ: 3лR2 Н.)
9. Доказать, что объем тела, ограниченного поверх­
ностью 5,		~ )) xdydz + ydxdz + zdxdy,
	v =
		s
где 5 -	внешняя сторона поверхности 5.
10. Вычислить
	~) yzdxdy + xzdydz + xydxdz,
	s
еСJlИ 5 -	внешняя сторона поверхности, раСПОJJоженно'й
в первом	октанте	и состоящей из цилиндра х2	+ у2 = k'

иплоскостей х = О, У = О, z = О, .2 = Н.(Ответ: R~Н"С:: +

+~H))

11.Вычислить

~~ yzdxdy + xzdydz + xyd;~dz, s

если 5 -~ внешняя сторона пираМИДLI, гранями которой являются ПЛОСКОСТI1 х=О, у=О, г=О, х+у+г= J. (Ответ: J 18.)

Самостоятельная работа

1. Вычислить ~~ (у + 2z)dxdy, если 5 - верхняя часть s

плоскости 6х + Зу + 2г = 6, расположенная в первом октанте. (Ответ: 8/3.)

~40

2. Вычислить \\ xyzdS, если S - часть поверхности s

параболоида z = х2 +у2, отсекаемая ПЛОСКОСТЬЮ z = 1.

(Ответ: О.)

3.Вычислить

	\\ zdydz +(Зу -			x)dxdz - zdxdy,
	s
если	S - внешняя	часть	повеРХIIОСТИ		тела,	ограНl1чен­
ного	поверхностями	z =	О,	х:! + y~ =	1, z =	х" +у" + 2.

(Ответ: 5л.)

15.4. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

ПОТОКОМ векторного поля а(М), М (Х,

у,

г) Е 5

через

поверхность 5

в сторону единичного вектора нормали

по = (С05 а,

cos ~,

С05 у)

поверх­

ности 5

назы вается

поверхностный

интеграл

второго

рода

(15.14).

Если

вектор

а =

(Р, Q, R)

определяет

векторное

поле

скоростен

текущей

несжимаемой ЖИj!КОСТИ, то

интеграл

(15.14)

равен

объему

П жидкости, протекающей через поверхность 5 в напраВJгении нормали

по за единицу времени (в

этом

заключается

физический

СМЫСЛ

ин·

теграла

(15.14)),

т. е.

П = \\а(М). nOdS.

(15.20)

s

Из

формулы

(15.20)

ясно,

что

П -

скаляр,

и

есл!!

угол

1jJ =

=

А

если

же

1jJ

> 11/2. то П < О,

если 1jJ = л/2,

(а, ПО) < л/2, то П> О,

то

П =

О.

Прн изменении ориеНтации поверхности знак П меняется на про·

тивоположный (вследствие свойств поверхностных интегралов второ' J

рода).

5 -- ззмкнутая

Пусть

кусочно-г ла:!ка~

г!ОперхносТl"

еДИИНЧII!·!ii

вектор

внеlllней

нормали к

которой

ПО.

Тогдз

НОТОК

П

вектора

а =

= (Р, Q, R) через поверхность 5 можно ВЫЧИС:IИТЬ с г!Омощью ФОI)МУЛbl

ОСТРОГ'радского -- Гаусса (15.18):

се	((( ( дР		+	dQ	cJR )	dxcfYilz.	(1521 )
П = ))	а· nOdS = jjj	dx		ау	+ dz
S	с'
пусть а(М) -	поле скоростей	НССЖ!1мае:чоii )!(Иllr;ости. ЕСЛII П> О,
то ИЗ формулы	(15.21) следует,	что	из	облаСТII V		вытекает бол ыlle

жидкости, чем втекает. Это 03Н3'lзет, что внутрн области V имеЮ1'СЯ источники, т. е. точки, из которых жидкость BbITCl\aeT. ЕCJШ II < О, то

из области V вытекает мены!!е жндr;оспг, чем втекает в нее. 13 ЭТОМ СJгучае говорят, что внутри области V имеются CTOKll, т. е. точки, в которые

жидкость втекает. При П = о в область V втекает столько же жидкости,

СКОЛI,КО вытекает.

Пусть в области V задано векторное поле а(М) = (Р, Q, R), где функции Р(х, у, г), Q(x, У, г), R(x, У, г) имеют частные IlРОИЗВОДllые

241