RIII_OCR[6]

Пример 6. Вычислить массу материаЛl>IIОЙ IIластинки, лежащеii

в плоскости аху и ограниченной линиями х = {у - 1)2, У = х - 1, если

Ре. поверхностная плотность j.t = у.

~ Найдем координаты точек пересечения ,IИIIНИ, ограничивающи)( область D: А(I, О), 8(4, 3) (рис. 13.20). Тогда из физического смысла двойнOI о интеграла (см. § 13.1, свойство 2) следует, 'ITOискомая масса

	3	У+ 1
т = \\ ydxdy =	\ dy	\ ydx =
D	fJ	(/f-Ij"

~~

\ у(у + 1 - (у - 1)') dy = \ (3у' - y')dy =

оп

( : y')I': 27

=У-40=4''''

Вычисленне статических моментов н координат центра масс мате­

риальноii пластинки. Если на плоскости аху щша материальная IIлас­ ТlНlKa D непрерывной поверхностной IIЛОтНОСТЬЮ j.t(x, у), то координаты

ее центра масс С(ХС' ус) определяются по формулам:

				\\ xj.t(x,	y)dxdy		\\ yj.t(x,	y)(ixdy
				[)			у с = ...:D:",.._____		(13.16)
	ХС =			\rt(X,	y)dxdy		\\j.t(X,	y)dxdy
				D			[)
Величины
		МХ =		\\ yj.t(x, y)dxdy,			Му = \\ чt(x,	y)dxdy	(13.17)
				[)			D
называются статическими моментами пластинки D относительно осей
Ох и ау соответственно.
Пример 7.		Найти координаты					центра масс IIластинки D, лежащей
в плоскости аху и ограничениой							линиями у =	х, у = 2х,	х = 2 (рис.
13.21), если ее		плотность			j.t(x, у) =		ху.
у
JI---+--=.......~-

х

х

рис. 13.20

Рис. 13.21

~Вначале определим массу пластиики D:

	2	2<	2
т= ~~ xydxdy =	~ xdx ~ydy =		~ Х· ~''>х=
D	(1	х	О

142

z		z
= {- ~ х(4х" - x2)dx =	;	~ хЗdх= ; х4 !:= 6.
о	'	Q

Согласно формулам (13.16), координаты центра масс:

2 2х

хс= ~l ~~X2YdXdY= ~ ~X2dX~YdY=

					D				о	х
		2							2
_	1	(	2	1	,2	х	') _	1 (,		_	х512 _ 8
-	"6	Jх	'2		(4х -		dx -	"4	Jх	dx -	20 0 - 5" '
		IJ							О
									:2	2х
		у с			1 ((,			1 (		(,
			=	т JJXY-dХdУ =				"6	Jxdx Jy-dy =
					f)				()	х

~2

1( y'I"'			7(,		112
= "6	Jх· 3,	=	т8	Jх	dx = 45 . ..
	Q			1)

Вычисление моментов инерции материальной пластинки. Моменты

инерции относительно начала координат и осей координат Ох, Оу ма­ тернальной пластинки D непрерывно распределенной поверхностной плотностью j.t(x, у)' которая лежит в плоскости Оху, вычисля'ются со­

ответственно по формулам:

10 =	\\(х' + y2)j.t(X,	y)dxdy,
	D	(13.18)
1, = \\y'j.t(x,	y)dxdy, I y =	\\x 2j.t(x, y)dxdy.
D		D

Пример 8. Вычислить моменты инерцин относнтельно точки гра­ ницы однородного круга и его диаметра, если радиус круга R, а вес Р.

~Поместим начало координат в точке, лежащей на границе круга,

а центр круга - в точке C(R; О) (рис. 13.22). Тогда задача сведется

у

Рис. 13.22

к нахождению моментов ИНСРII ии круга относнтельно начала координат

и оси ОХ.

143

Так как круг однороден,

то

его

плотность

!t

постоянна и

!t =

= рj(gлR2).

Уравнение

ОКРiЖНОСТН

в

декартовой

системе

координат

имеет

вид

(х -

R)2 + у2 =

R,

а

в

полярной -

р =

2R COS!p.

ДЛЯ

дан­

ного

круга

выполняются

соотношения

-л/2:;(!р:;( л/2,

0:;( р:;(

:;( 2 R cos !р.

Следовательно, на основании формул (13.18) имеем:

10 = !t

\\(х2

+ у2)dxdy =

D

п/2

2Rcos<p

п/2

=!!

\

d!p

\

рЗdр = !t ·4R4

\

cos 4 !pd!p =

-п/2

О

--"/2

n~

1 + cos 2!р )2d

n~

1 + cos 4!Р)d

=

8

!tR

4 (

(

2

R4 (

(1

+

2

cos

2

!р

+

!р =

J

2

!р =!!

J

2

о

о

= 2!tR' ( !р+ siп 2!р + -}!Р + -} siп 4!Р)1:/2 =

=

3

!tлR

4

=

3

Р

2

,

2

2

gR

п/2

2Rcos'l'

I x =!t\\y2dxdY=!t

\

dq;

\

рЗ siп2

!j!dр=

D

-п/2

о

л/2

л/2

=

4flR4

~

cos4 q; siп2 !pd!p =

8!tR'

~

-{- siп2

2!р.

1 + ~os 2!р d!p =

-n~

О

п/2

2!pd!p + !tR4

п/2

=

!tR4 \

siп1

\

siп2

2!р cos 2!pd!p =

о

о

=

п/2

1

siп

З

2

1л(2

=

!tR4 ~

2

(1

- cos 4!p)d!p + !tR4 --r

о

О

=

J... !tR4 (!Р-

J... siп 4!р)1''1'=

~ !tR4 =

J...

!... R2 ..

2

4

о

4

4

g

АЗ-13.3

J. Вычислить площади фигур, ограниченных следую­

щими линиями:

а)

у

=.;-;,

у =

2';-;,

х =

4;

б)

у2 = IOx + 25, у2 = -6х + 9;

В) Р = а sin 2ср, а> о.

(Ответ:

а)

4; б)

4-{l5; В)

-} ла2-)

2. Вычислить объемы тел, ограниченных указанными

поверхностями:

144

а) плоскостями х=о, у=о" г=О, х=4, у=4 и
параболоидом z = 1 + х2		+ у2 ;
б)	цилиндрами х2 + у2 =		R2, х2 + г2 = R2;
в)	параболоидом z =	х2	+у2 И плоскостями				Z = О,
У= 1, у=2х, у=6-х;
г)	цилиндром х2 + у2	= 4	и плоскостями		z = О,		z =
=х+у+ 10;
д)	эллиптическим цилиндром :			2 + 112- =	1 и	плоско-
стями г= 12-3х-4у, г= 1. (Ответ: а) 186~ ;						б) ~ R3 ;

В) 78 ~~; г) 40л; д) 22л-)

3.	Вычислить	площадь		части	плоскости 6х + 3у +
+2г = 12, которая расположена					в первом октанте. (От­
вет:	14.)						-.J
4.	Вычислить	площадь		части	конуса	z =		х2 + у2
расположенной		внутри	цилиндра		х2 +у2 =	4х.		(Ответ·
4-{2л.)
5.	Вычислить площадь части поверхности па~аболоида
2г =	х2 + у2, лежащей		внутри		цилиндра	х	+ у2 = I

(Ответ: ~ л(-.J8- 1)-)

6. Вычислить массу квадратной пластины со сторо­ ной а, если ее плотность в любой точке М пропорционаJlьна квадрату расстояния от этой точки до точки пересечения

диагоналей, а В угловых точках квадрата равна единице.

(Ответ: а2/3.)

Самостоятельная работа

1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 -		х, у2 = 4х + 4. (Ответ: 64/3.)
2.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхностSf­
ми х2	+у2 = 1, z = о, х + у + z = 4.		(Ответ: 4л.)
3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром
г= у2/2		и плоскостями 2х + 3у = 12,	х = о, у = о, z = о.
(Ответ:		16.)

145

АЗ-13.4

'.Вычислить координаты центра масс однородной

плоской ФИГУРЫ2 лежащей в плоскости Оху и ограничен­

ной линиями у = 4х + 4, у2 = -2х + 4. (Ответ: хс =

=2/5, Ус = О.)

2.Вычислить координаты центра масс фигуры, огра­

ниченной линиями у = х2 , у2 = х, если плотность фигуры

J.t(x, у)=ху. (Ответ: xc =9/14, Ус = 3/56.)

3. Найти координаты центра масс однородной плоской

фигуры, ограниченной кардиоидой р = а(1 +cos ЧJ). (ОТ-

вет: хс = ~ а, Ус = О.)

4. Вычислить	момент инерции относительно		начала
координат фигуры, ограниченной линией х2 + у2 -			2х = О,
если ее плотность J.t(x, у) =		3, 5. (Ответ: 2Iл/4.)
5. Вычислить	моменты	инерции относительно	начала

координат и осей координат пластины плотностью J.t(x,

у) = х2у, лежащей в плоскости Оху и ограниченной ли­ ниями у = х2 , У = 1. (Ответ: 10 = 104/495, lх = 4/33, lу =

=4/45.)

6.Вычислить момент инерции относительно полюса

пластины,	ограниченной		кардиоидой		р =	а(1 - cos ч:),
если ее плотность J.t = 1,6.			(Ответ: 7ла4 /2.)
7. Вычислить момент инерции относительно центра
(J.t(x, у) =	1) эллиптической		пластины с		полуосями а и Ь.
(Ответ: лаЬ(а2 + Ь2)/4.)
	Самостоятельная работа
'.Вычислить момент инерuии ОТНОСительно начала
координат фигуры плотностью J.t(x, у) =					1, ограниченной
линиями х + у =		2, х = 2,	У =	2. (Ответ: 4.)
2. Вычислить		координаты		центра	масс	однqроднои

фигуры, лежащей в ПЛОСКОСти Оху и ограниченной линия­

ми у= -х2 +2х, у=О. (Ответ: хс = 1, Ус= 1/4.)

3. Вычислить момент инерции относительно точки пе­

ресечения диагоналей прямоугольной пластинки со сто­

ронами 4 и 6, если ее плотность J.t(x, у) = 2. (Ответ: 208.)

13.4. ТРОйНОй ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ

Пусть функция и = {(х. У. z) непрерывна в замкнутой области

V Е R·'. ограниченной некоторой замкнутой кусочно-гладкой поверхно­

стью S. с помощью произвольных гладких поверхностей разобьем

Нб

область V на n элементарных областей ~!, (i = 1, n), объемы которых оБОЗllачим через I'lVi. В каждой элементарной области V, выберем

произвольно точку М, (х" У" Zi) и постооим сумм\'

/. = ~	{(х"	Yi, z,)l'lv,.	(13.19)
i=1
Через d, обозначим максимальный диаметр эm:ментарной области Vi •
Сумма (13.19) называется	n-й	интегральной суммой функции {(х,
у' г) в области V.

Предел сумм (13.19), найденный при условии, ЧТО di->-O, назы­ вается тройным интегралом функции {(х, у, г) по области V и обозна-

чается \\\{(х, у' z)dv. Таким образом,		по определению
v
		11
ш {(х, у, z)dv =	lim	~ {(Xi' Yi,	Zi)I'lVi.	(13.20)
l'	d,~O ,=1
Если подынтегра.%ная функция {(х, у, г) непрерывна в области V,
то интеграл (13.20) существует	и не	зависит от	способа	разбиения V

на элементарные области V, и выбора точек Mi .

Многие отмеченные в § 13.1 свойства двойных интегралов спра­

ведливы и для тройных интегралов, поэтому приведем только те их

свойства, которые несколько отличаются от свойств двойных интегралов.
1. Если в облаСТf/ V {(х, у, г) ==	1,	ТО
\\\d1.! =	V,	(13.21)
v

где v - объем области V.

2. В случае, когда подынтегральная функция	{(х, у, г) задает
плотность б(х, у, г) тела, занимающего область V,	тройной интеграл
выражает массу этого тела:
т = \\\б(х, у, z)dv.	(13.22)
v

Следует подчеркнуть, что в декартовой системе координат область

V удобно разбивать на элементарные области плоскостями, параллель­

ными координатным плоскостям; при этом элемент объема dv = dxdydz.

Считаем область V правильной (т. е. такой, что прямые, парал­ лельные осям координат, пересекают границу области V не более, чем

в двух точках). Для правильиой области V справедливы иеравенства

(рис. 13.23): а ~ х ~ Ь,	(jJ1 (х) ~ У ~ (jJz(x), 'iJ, (х, у) ~ z ~ 'iJ2(X,				у) Н
следующая формула для	вычисления тройного интеграла
		ь	ч,,(х)	,Нх, '1)
Ш {(х, у' z)dxdydz =		\ dx	) dy	{(х, у, z)dz.	113.23)
l'		а	'1' (х)	~!, (х, у)

Таким образом, при ВЫЧllслении тройного интеграла в случае про­ стейшей правильной области V Вначале интегрируют функцию {(х, у, г) ПО одной из переменных (например, г) при условии, что оставшиеся

две переменные принимают любые постоянные значения в области

интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной

(например, у) при любом постоянном значении третьей переменной

в V и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (на­ пример, х) в максимальном диапазоне ее изменения в V

Более сложные области интегрирования разбиваются на конечное

147

число правильных областей, и результаты вычислення по этнм областям суммируются. В частности, если область ннтегрировання - прямоуголь­

ный параллелепипед, задаваемый неравенствамн V = (а ~ х ~ Ь, с ~

~ у ~ d, р ~ z ~ q), то

z

Z='If(x,y}

у

Рис.		13.23
	ь	d q
\\\{(х, у, z)dxdydz =	\ dx \ dy \ {(х, у, z)dz.		(13.24)
v	а	р
Пример 1. Вычислить тройной	интеграл 1= \\\(2Х + y)dxdydz, где

v

V ограничена поверхностями: у = х, у = О, х = 1, z = 1, z = 1 +х2 + у2.

z

]) у=х

х

рис. 13.24

~По заданным поверхностям строим область интегрирования

(рис. 13.24). В области	V справедливы неравенства: O~x~ 1,
О ~ у ~ х, 1 ~ z ~ 1 + х2	+ у2. Тогда

148

1	Х	I +х'+у'	(2х + y)dz =
1 = ~ dx ~ dy		~
о	о	1
1 х		I	х

= ~dx~(2x+y)zP+x'+Y'dy= ~dx~(2x+Y)(X2+y2)dY=

о

о

о

о

I

х

= ~dx ~ (2х3 + уЗ + 2ху2 + х2у) dy =

о

о

I

=~

G

I

(41

х

4

41

~

= J12

dx =

60·

о

Пусть функции

х =

ер(и,

и,

ш)'}

(13.25)

у =

'i>(u,

и,

ш),

z = х(и, и, ш).

непрерывны,

имеют непрерывные частные

производные,

якобнан

дх

дх

дх

ди

ди

дш

J=

ду

ду

ду

"",О

ди

ди

дш

дг

дг

дг

ди

ди

дш

и сохраняет знак в областн V' изменення переменных и, и, ш. Функцни

(13.25) отображают взаимно однозначно область V в

область V'

Тогда верна формула

шf(х,

у, z)dxdydz =

Шf(ер(и, и,

ш),

'i>(U,

и,

ш), Х(и, и,

ш»

IJI dudvdw.

v

r

В

цилиндрнч.еских

коордннатах

р,

ер,

z (рис. 13.25)

имеем:

х =

р cos ер,

у = р siп

ер,

z = г,

}

О ~ ер ~ 211, О ~ Р < 00,

-

00 < z < 00,

(13.26)

J = р,

dxdydz = pdpdepdz.

в сфернческих координатах г, ер,

8

(г -

радиус-вектор, ер - долго­

та, 8 -

широта или

склонение)

(рис.

13.26)

получаем:

х = r siп 8 cos ер,

у = r siп

8 siп

ер, z = r cos 8,

}

О ~ r < 00,

О ~ ер ~ 211,

О ~ 8 ~ 11,

(13.27)

J =

ri siп 8,

dxdydz = г2

sin 8drdepd8.

В обобщенных сферических координатах

х = аг siп 8 cos ер,

у = Ьг siп 8 siп ер, z = cr cos 8, }

J =

аЬсг2

sin 8, dxdydz = аЬсг2

sin 8drdepd8.

(13.28)

149

Соотношения (13.26) - (13.28) позволяют осуществлять в тройных

интегралах переход от . декартовых к цнлиндрическим, сферическим

или обобщенным Сфернчес){Им координатам. Формула (13,23) для вы­

числения тройных интегралов в декартовых координатах справедлива также в цилиндрических и сферических координатах.

	z				z		M/x,y,z)
			/1(X,y,Z}
				z
					у
								у
х
	Рис. 13.25				х
					Рис.	13.26
Пример	2.		Вычисmпь		f = \\\-Vx" + у" dxdYltZ, если			область		I111Т"­
	V				v			z = ], z =
грирования		ограничена			поверхностями х" + у2 =	4,				2 +
+х2 + у'.

~По заданным поверхностям построим область V (рис. 13.27).

Перейдем в задан'ном интеграле к цилиндрической системе координат:

f	=	\\\ppdpd(pdZ =
		V"
2.0	2+1"	2~	2
= \ d(p \ f/dp	\	dz = \ d<p \ p'(I+ p')d(p =
U U	I	(j	О
2

=(pl:" ~ (p2+p')dP=2n(~j + ~)I:= 2]7: л. ~

О

z

Рис. 13.27

150

Пример 3.	Вычислить 1 =	Ш ..j(x" + у2 + 22)3 dxdyd2,			если область
		\		+ 22 = 4
интегрирования	V ограничена	сферой х' + у2			и плоскостью

у=О (y~ О).

~ Область V представляет собой полушар, расположенный пра­

вее плоскости ОХ2 (у ~ О), т. е. СферичеL",~lе координаты Г, <jJ, в изме­ няются в V следующим образом: О ~ 2 ~ 2, О ~ (Р ~ Л, О ~ в ~ л.

Это означает, что

1 = \\\ г,'(2 sill Odrdq,dtJ =

V'

лл 2

=~dЧ)~SiIlОdв~Г"dг=q'I>(-соsо)l;:' ~'I~ = ~4л, ..

о о	()
	АЗ-13.5
1. Вычислить	Ш X 2y 2 z dxdydz, если область V опре-
	\'

деляется неравенствами О ~ х ~ 1, О ~ У ~ х, О ~ z ~ ху.

(Ответ: 1/110.)
2.	Вычислить rrr				dxdydz			"	если область V агра-
			J)) (1 +			х +	у +	г)'
				V			У = О,		z = О, х + у + z = 1.
ничена		плоскостями			х =	О,
(Ответ:		~ (In 2 -		~)-)
3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно­
стями	у = х2,		У + z =		4,	z = О.		(Ответ: 256/15.)
4.	Вычислить Ш x 2y 2dxdydz,							если область		V ограни­
				[1	х2 +y~ = 1,					z = x~ +у2.
цена	поверхностями								z = О,
(Ответ: л/32.)
5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно­
стями	х2 +у2 ='IOx,				х2 +у2 = 13х,				z =-VX2 +у2, Z = О,
у;;::: О. (Ответ: 266.)
6.	Вычислить
			~))с: + ~: + ;:) dxdydz,
			v
если	область		V -	внутренность эллипсоида						ха"' + уь'' +
+ ;: =		1. (Ответ:		~ лаЬс-)

151