RIII_OCR[6]

2.28. ,(х) = ch :

. (Ответ: сЬ : = sh 1 +

00

+ 2 sh 1 \'

(-l( 2

cos nх,

L

'+nn

n=l

00

сh~2л \' I-(-I)"ch 1 n sin nх.)

n

L

1

+ n2n2

n=l

2.29.

f(x) = е4х/З•

Ответ: е4х/З =

3(e4A/3 _

1)

+

(

411

2n4

I

..-".(---:-,1)'-;:-"e__

1 cos nх,

00

4A/3

+

n=l J

9n 2 + 16

00

е

4х/3 _

18 L J _(_J)n e4n/3

n

•

)

-

-

9n 2 + 16

SIП nх.

n

n=\

2.30. f(x)=(x-5'f. (Ответ: (x-5'f= n2-I~n+75 +

+ : I00

(n -

5)2~~ 1)" +5 cOS nх,

(х _

5)2'

n=l

""

(25n

2 -

2) +

1)"(2 - n 2 (5 -

..,)2).

)

= 2 I

(-

3

SIП nх.

n

n=l

n

3. Разложить в ряд Фурье в указанном интервал\::

периодическую функцию '(х) с

периодом

ro = 2/.

3.1. f(x)=lxl, -1<х<l, 1= 1. (ответ: Ixl=+-

00

_ ..!.. \'cos ((2n + ')nх) .)

n2

L

(2n + 1)2

n=()

3.2. '(х)= ~x, -

1 < х < 1,

/ =

1. (Ответ: 2х= I -

- ~

I00

sin (~MX) .)

n=\

102

3.3. {(х) = fГ, -2 < х < 2, l = 2. (Ответ: fГ =

n='

3.4.

{(х) =

'хl

- 5,

-2 < х < 2.

(Ответ:

Ixl--:- 5 =

= -4 -

оа

(2п + I)лх .)

~ \'

1

cos

~

~

~n+lr

2

n=1

3.5.

{(х)=

{~: - б~; ~?: l .

1.

(Ответ: f(x) =

: -

оа

+sin (лnх).)

_

~

'\"

2 cos (n(2п -,I)x)

n

L

л(2п -

'?

n=1

2 +

3.6. {(х) = х,

1 < х < 3,

l =

1.

(Ответ:

х =

+ ~

00

L(_I)n+1

sin ~плх) -)

n=l

{

О,

-2~x<O,

l = 2. (Ответ: f(x) =

3.7.

{(х) =

х,

О ~ х < 1,

2-х,

1 ~x~2,

...!.-

00

+

=

~ _

\'

cos (2п -

I)лх)

2

п2

~

(2п _ 1)2

n';" I

оа

(-1)" sin (2n + 1) лх/2) .)

+ J!.... \'

п2

L..

(2n + 1)2

n=6

3.8.f(x) = 10-х, 5<х< 15,1 = 5. (Ответ: 10-x=

=~O L00 (- I)n sin (:лХ/5) -)

n=1		1, -1 ~x<O,
3.9. {(х)=	{	1/2,	х =	О, 1= 1.		(Ответ: ((х)=
,		х,	O<x~ 1,
00					00
=1. _ ~ \' сщ;(2п -			')nх) _	~	\' sin~nX) .)
4 п2 ~		(2п _	1)2	"	~
n=\					n=!

103

3.10. f(x) .5x-l, -5<х<5, 1=5. (Ответ: 5х-

00

- 1 = - 1 + ~ \'(-

л L

,)n + 1 ~ S in ~.)

n 5

n=l

3.Н. {(х)=е: -g~;~g: l=з.(Ответ:f(х)= ~-

								00
		cos ((2n - 1)лх/З)					з	\'(_I)n sin nлх.)
		(2n _ 1)2					л	L	n	з
	n=l						n=l
3.12. {(х) =			3 -	х,	-2 < х < 2,1 =					2. (Ответ: 3 - х =
= 2 + ~		I C-nl)n			sin л;х)-)
		n=l
з.13.f(х)={_~:?~~~k/=l. (Ответ: {(х)=
=..i.	00	siп ((2n + 1)лх)
	\'					.)
л	L	2n	+	1
	n=О
	00
= 1 + \'			4	sin		(2n -	I)лх	.)
	L	л(2n	-1)			2
	n=l
			Х'			О::>:;:; x~ 1,
3.15.		f(x)=	1,			'<х<2,			1=3. (Ответ: f(x)=
			{3 -х, 2~x~ 3,
		00					+ _1_		00
= ~ _ ~ \'cos (2лnх/З)									\'	cos (2лkх) .)
3		2л2 L			n2		2л2		L	k 2
		n=l							k=l
3.16. {(х) = 2х-3,						-3<х<3, 1 = 3. (ответ: 2х-
- 3= -3+ -12				I00	(_I)n+1		SI.П	лnх)
~		л				n		-а-'

n=l

104

1,0<x<3/2,

(

Ответ: {(х)=

3.17. {(х)={ _1,

3/2<х<3, 1=3.

00

=..!. \' (_I)n cos ((2n + l)nхjЗ) .)

n

L

2n+1

n=О

3.18. f(x)=3-lxl,

-5<х<5, /=5. (Ответ: 3 -

-Ixl = J... +

00

cOs (2n + I)nx .)

~ \'

I

2

n2

L

(2n

+ 1)2

5

n=О

{

-х, -4<х<0,

(Ответ: {(х) =

3.19. {(х) =

1,

х = О, 1 = 4.

2,

0<х<4,

00

00

=

2 _

~ \'

cos ((2n -

I )nxj4)

+ \'~- 1)" Si: (nnxj4) +

312

L

(2n -

1)2

L

n=!

n=!

'

00

+..!. \'

sin ((2k -

l)nxj4)

.)

n

L

2k-1

k=!

3.20. {(х) =

1 + х,

-

1 <

х < 1, 1= 1. (Ответ:

1 +х =

=

1 + ~

I00

(-I )"+ ~sin nnx .)

n=!

-I,

-2<х<О,

3.21. {(х) =

{

-1/2,

х= О, 1= 2.

(Ответ: {(х) =

х/2,

0<х<2,

00

00

=

_J..._~ \' cos ((2n -

I )nxj2) + : \' sin ((2n -

I )nXj2) _

4

.312 L

(2n -

1)2

"

L

2n -

I

n=!

n=!

_

J...

00

\'

sin (knx)

.)

n

L

2k

k=!

3.22. {(х) =

2х +2, -1 < х < 3,

/ = 2. (Ответ: 2х"+

+2=2- : I00

(-I)nS~:(nnХj2)-)

n=!

105

		f(x) = {			3, -3 <х<О,						..
	3.23.				3/2,		х = О.		t	= 3. (Ответ: у(х) =
					-х,		0<х<3,
			00							00	sin ((2n-l)лх/З) +
=	~ -..i... \' cos ((2n -						1) лх/З)		_ 9	\'
	4	л2	L		(2n -		1)2		л	L	2n - 1
			"=1							n=!
	00
+ ~ L sin (22~kХ/З)						.)
	k=!
	3.24. f(x) = I-Ixl. -3<х<3, /=3. (Ответ: 1-
			~ +			00
-Ixl =		-			Е.. \'				cos (2n -I)лх .)
			2		л2	L	(2n -	I?		з
					n=!
					-2. -4<х<0,						4. ( Ответ: f(x) =-
	3.25.	f(x) =		{	- 1/2,			х = О,		l =
					1 +х,		0<х<4.
	~ +		=						+ IлО	00
=		~	\'cos ((2n -				l)лх/4)			\'	sin ((2n-l)лх/4)_
	2	л2	L		(2n -		1)2			L	2n - 1
-	00
	~ L sin (~:x/2) .)
	k=!
	3.26. f(x)=4x-3.						-5<х<5. 1=5. (Ответ: 4х-
- 3 --- 3+ -					00			sл--.
					L	(_1)"+1
			40					"	nЛХ)
				л			n		5

n=!

3.27. f(x) = {	х+2,
	1,
	2-х.
(Ои)ст: f(x) = 34	+ ..~2
00

-2 <х < -1.

-1 :::;;;х:::;;; 1. 1=2. 1 <х<2.

\'	cos ((2n - l)nx/2)
L	(2n -l?
n=!

_ ~ \'	cos(2(2k -	l)лх/2) .)
и2 L	(2(2k -	I)?

k=l

3.28. f(x) = {	-1/2,	-6 < х < О,	[= 6.	(	)	=
	1,	0< х < 6,			Ответ:, '(х
00

=..!...+~

4 n

\' -'-sin(2n-l)nX.)
L. 2n - 1	6

n=l

3.29. f(x) =	{	-2Х, -2<х<0,		(ответ: '(х)=
		2,	х = О, l = 2.
		4,	0<х<2,
00			00

= 3 _ ~ \' n2 L.

cos «2n -	')nх/2)	+.! \' ..!... sin ~.)
(2n -	It	n L. n	2'

n=l n==!

3.30. Нх)= Ixl -			3,	-4 < х < 4, 1= 4. (ответ: IxI-
		00
-3= -1 -	~ \'			I		cos (2n-l)nx _
	312	L.	(2n -		1)2	2
		n=l
	00					00
_	~ \'	sin (nnх)			_.! \' _ 1 _ sin (2k -		')nх .)
	"L.		2n			n L. 2k - I	2
	n='					k=1

4. Разложи·ть в ряд Фурье функцию, заданную гра­

фически.

4.1.

/1

/1

-. :з1

I

~

I

I

•

!/Ь -5

-2

2

:1

4

5176

7

)(

-1

4.2.

%'1

.,.~

• v

х

J

/~ 5

"-

•

101

4.3.

,

.,

~I·I

·1

I ,1

,1

..

I

I

I

I ;11

·6 -5 -4-

-3 -2 -!

О f

2

J

4-

5"

о 7 х

4.4.

у

х

4.5.

-5			.~ -~/~f ~) ~5				/ ..
		I							х
			-1
4.6.
				у
	-6		-5 -4- -3 -2	t	О f	2 J 4- 5					6			х
				-f
				-2
				-3
4.7.
				у

108

4.8.

УI /1.

4.9.

у

х

4.10.

I

:1

N

N

~

N

I

-5 -4-

-3 -2 -1

О 1

2

J

4- 5

""х

4.11.

I 1\

I

I

~.

I

I

..

-5 -It

~

г 3

5

-3 -2 -1 О 1

4-

х

4.12.

у

4.13.

;71		v1 v1	Ъ~
						и и I
-6 -5 -4- -3 -2 -!			О 1 2 J 1; .7 6

4.14.

;..

х

-1r<

Оh

..х

-4/-

1-

3

I

1

2I

]

f'V/J

1; s

-2

4.15.

N

~'

N

..

I ['\J

N

-6 -5 -4 -] -2

-1

t

"

О

2

3 4 S

6 х

4.16.

у

4.17.

у

х

ilO

4.18.

4.19.

/J, м		М,
-6 -5 -4 -] -2 -1		О 1 2 3 4
4.20.
	у

х

4.21.

-

6 -5 -4 -] -2 -1

О 1 2

4.22.

'23~ о 7 х

Ш