RIII_OCR[6]

5 Пусть функция г = {(х. у) имеет размерность длнны и {(х. у) > о во всех точках плоской дуги L AH • лежащей в плоскости Оху. Тогда

	\ {(х.	у) dl =	5.
	LA/j
где 5 - площадь части цилиндрнческои			поверхности				с образующими,
параллельными оси Ог и проходящими			через точки				дуги L AB •	огра­
ниченной снизу дугой L AB • сверху -		линией пересечения цилиндрическоii
IIоверхнuсти с поверхностью г = f(x. у).			а с боков -				прямыми.	прихо-
z	z=f(x,y}>O	z
					1 ---- 718
	у						у.

хА

Рис. 14.2

Рис. 14.3

дящими через точки А и В параллельно оси Ог. На рис. 14.2 изобраil,ена описанная часть цилиндрической поверхности АВВ'А'. Если {(К, у\ < О

во всех точках плоской дуги L AlJ • ТО

\ j(x. y)d/=-5

	L,ш
(рис.	14.3). И. наконец. в некоторых точках	плоской дуги L c1B	фУ~jКЦflЯ
f(x. у)	меняет знак. тогда интеграл \ f(x.	у) d/ выражает	раЗIfUСТЬ

L(lFJ

площадей частей описанной цилиндрической поверхности. наХОДЯЩllХСЯ

над плоскостью Оху и под ней (рис. 14.4):

\ j(x. y)d/=51-5~+5J.

L(18

Пример 3. ВЫЧИСJl!1ТЬ массу т и координаты центра масс Хс . ус

2 _('

плоской материальной дуги у = '3 х' -. О ~ х ~ 1. линейная плотносТ[,

которой Ь(х. у) = у~

~Согласно формулам (14.5) и (14.6). для случая плоско"! ДУII1

имеем.

!	1
т =) Ь(х. У(Х)) -УI +(у'(x))2dx =	~ ) х3/2 ~~dx =

•

•

z

в'

у

		Рис.	14.4
		l
=	_~.J (х' '+Х'> ") dx =			16
	3	j		:)5'
ПО ФОРМУJlам (14.7)	находим:
		l
	:)5	( с,	~,	10
x c =	16j1x"+x· ,)аХ=У)

II

l

1/		~15	~
	--
.	(.' -	lб

2 , . , .,	35
- ,"Ix"+x")ilx= -
J'	24

~ \,

21

(х +x)llx= - .....

~\2 ....

	(l
Пример	4. ВLlЧIlс.'IИТЬ 11,·lOща.'l.Ь части ЦII.1l1НДlщческоИ повеРХНОСТI1
х' +!/' =~.	заК,lЮЧl'Нlюii между П:IOСКОСТI,Ю Оху 11 повеРХIIОСТЬ\О 2 =
=2+.\""/2	(рис. 14;').

~I1СIШ\l;1Я Н,10ЩС1:.lЬ S ЦII,llll1.ЧНlчео;оii ПОВl'рХНОСТI1 выражается

НlIтегра.10М

				s =	\ (2 + х"/2) dl.
					[.
где L -	окружность А		П,10С;,ОСТI1			Оху:	х' + у" =		4,	2 =	IJ. уравнеНllе
KOTOpoil	в	паР3~lеТРllчеl"КОМ			BII.'1C	х =:2 l"OS 1.		!I =	2	sill 1.	Тогда d! =
=2dll1				(2 + +.4cos; ') 2d 1=
		s =	~
					2л			cos 21) dl
= 4	~	(1 + со,,' 1) dl =		4	~ (1	+ ~	+ ~				12л.....

о

7-357	193

2

-2

Р If с. 14.5	Р н с. 14.6
Криволинейные интегралы второго рода	(по координатам). Пусть
в пространстве R' задан вектор а = Р(х, у, г) i	+ Q(x, у' г) j + R(x, у, г) k,

координаты которого - непрерывные функции в точках ориентированной

кривой L,18. Кривую		LAB разобьем в		направлении	от А к В	на n	эле-
	дуг 1, и			.......
мгнтарных		IIОСТРОИМ	векторы	.".1, = .".x,i + .".y,j + .".z,k, где			~Xi,
			.......
~y" .".г, -	проекции	векторов	.".Ii на оси координат. Начала			этих	век­
торов совпадают с началами			элементарных дуг 1"		а концы -	с нх кон­

цами (рис. 14.6). На каждой элементарной части 1, выберем пронз­

вольную точку М,(х" Yi, г,) и составим интегральную сумму

1" = L Р(х" у" г,) .\х, + Q(x"	у"	г,ру, + R (х"	у" .(",).".г, =
j=1
L а (Xi,	Yi,	г,)· М,.	(14.9)
i=J
			.......

Преде.l суммы (14.9), найденный при условии, что все fbl,l-+ О, называется криволинейным интегралом второго рода или крuводинеЙНblМ интеграло,\! ПО координатам от вектор-функции а (х, у, г) по кривой

LAB И обозначается

! а(х,	у, г) ·dl= \	Р(х,	у' z)dx+Q(x, у, z)dy+R(x, у, z)dz=
LAB	' •.4В
		.lim	n		.......
			L a(xi,	Yi,	г,) . bli.	(14.10)
		fj/,~O	i=J
Если	функции Р (х,	у, г),	Q (х, у,	г),	R (х, у'	z) непрерывны в точ­

ках гладкой кривой L AB , то предел суммы (14.8) существует, т. е. сущест­

еует КРИ1Jолинейный интеграл IЗторого рода (14.10).

КРИ1Jолинейные интегралы IЗторого рода обладают ОСНО1JНЫМИ С1JОЙ­

СТ1Jами определенных интеграЛО1J (линейность, аДДИТИ1JНОСТЬ). Непо­

среДСТIЗенно из определения КРИ1Jолннейного интеграла IЗторого рода

{:ледует, например, что он зависнт от направления интеГРИРО1Jания

вдоль кривой, т е. меняет знак при изменении ориентации крнвой:

\ а· dl = -

\ а· dl.

194

Если кривая интегрирования L замкнута, криволинейные интегралы

второго рода обозначаются	фа. dl. В этом случае через кривую L
,	L

проводится ориентироваиная поверхность и за положительное направле­

ние обхода по L принимается Такое направление, при котором об­

ласть поверхноtти, ограниченная кривой L, находится слева, если дви­

гатьСЯ вдоль L по выбранной стороне указанной поверхности (т. е. обход

контура L совершается против хода часовой стрелки).

Если плоскую область D, ограниченную кривой L, разбить на части,

не имеющие общих внутренних точек и ограниченные з ~кнvтыми

кривыми L 1 И L2, ТО
фа. dl =		фа. dl + фа. dl,
L		L,		L,
где направления обхода по контурам			L,	LI и	L2 - всюду	либо поло­
жительные, либо отрицательные.
Если гладкая кривая LAB задана			параметрическими уравнениями
х = x(t), у = y(I), z = ги),	где	x(I), y(I),		г(О -	непрерывно	дифферен­
цируемые функции, А (х(а),	у(а), г(а»		и	8 (x(!i), у(!i), г(М) - соответ­

ственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычислеиия криволинейного интеграла второго рода:

~ Р (х,

у,

г) dx + Q (t", у,

г) dy + R (х,

у, г) dz =

LA8

fI

х'(1) +Q (x(I),

у'(1) + R (х(ЩI4.1l)

=

\ (Р (x(I).

У (1), z и)

уи),

ги)

y(t), z(I» г'(1» dl.

Если кривая L AB лежит

в плоскости

Оху,

а =

Р (х,

у) i + Q (х, у) j,

то R(x,

!f,

г)==О,

z(I)==O

и

формула

(14.11)

упрощается:

у) dx + Q(x,

fI

~.

Р (х,

у) dy =

~

(Р (x(I),

У (1» x'(I) +

'"

dl.

(14.12)

+ Q(x(I), y(I»y'(t»

Если кривая

LAB Лежит

в плоскости

Оху

и

задана

уравнением

у =;= Nx),

производиая {' (х) непрерывна на отрезке [а: Ь],

а =

Р (х, у) i +

+ Q (х, у) J,

то

ь

.~

Р(х,

y)dx+ Q(x, y)dy= ~

(Р(х,

{(х))

+

а

-\- Q(x, ((х» "(х» dx.

(14.13)

Пример 5.

Вычислить

/ =

~ ydx + (х + г) dy + (х -

у) dz,

LAB

где LAB -

отрезок прямой, соединяющнй точки А(I, -1, 1)

и 8(2, 3, 4).

195

~ Запишем		параметрические уравиения					прямой	АВ:	х =	1 + t,
У = - 1 + 4t,	z = 1 + 3t.		На	отрезке	IABI	паоаметр		О';;;;	t.;;;; 1 По­
этому, согласно dJOомvле			(14.11),
	!	- 1+ 4t) + (2 + 4t) . 4 + (2 -
I =	\ «						3t) . 3) dt =
	о
			1
		= \ (13 + II t) dt = 18,5. ....
			о		x2d у + (х + у) dz,
Пример 6.	Вычислить I =			Ф ydx -				если L -		крн-
вая пересечения		цилиндра		х2L+ у2 =	4 с	плоскостью		х + у -		z = О,

«пробегаемая» в положительном направлении относительно выбранной верхней стороны данной плоскости.

~ Найдем пара метрические уравнения кривой L. Так как проекция
кривой		+ у2 = 4, z = О, ТО
можно записать, что х = 2 cos t, У =	2 siп t. Тогда из уравнения плоскости
иаходим, что z = 2 (cos t + siп t). Таким		образом,
х = 2 cos t	}	{ dx = - 2 sin tdt
у = 2 sin t	=:>-	dy = 2 cos tdt
z=2(cost+sint), tE[O; 2л],		dz=2(-sint+cost)dt
Отсюда по формуле (14.11) имеем:
2л	t + 4 (cos2 t - sin 2 t» dt =
1= \ ( - 4 sin 2 t - 8 cos3
О

2л

=\ (-2+2cos2t-8cost+8sin 2 tcost+4cos2t)dt= -4л.....

о

Пример

7.

Вычислить

1= \

xydx + (х2 + у) dy,

если

линия

LAB

LAB -

дуга

параболы

у =

х2 ,

расположенная

между точками

А (О, О)

и В(2, 4).

случае {(х)=х2 , {'(х)=2х, ХЕ[О; 2], то, со·

~

Так

как

в данном

гласно формуле (14.13), ПО,1учаем

2

2

r

(хх

2

+ (х

2

2

) • 2х) dx =

r

5x

3

dx =

5

4

2

20.....

1= )

+ х

)

Т х

!о =

оо

АЗ-14.1

t.	Вычислить [~, если L -		отрезок прямой у =
		) х-у
		L
= -} Х -		2, заключенный между	точками А(О, - 2) и
В(4,	О).	(Ответ: -{51п 2.)
2.	Вычислить фхуdl, если L - контур прямоугольника

196

с вершинами в		точках А(О, О), 8(4, О),				С(4, 2), D(O, 2).
(Ответ:	24.)
3. Вычислить ~ -{2Ydl, если L -					первая арка циклоиды
		L
х= a(t -	siп t),	у = а(1 -		cos t) (а> О).		(Ответ: 4ла-r;;.)
4. Вычислить ~			xyzdl, если L -		отрезок прямой между
		L
точками	A(I, О,	1)	и 8(2,	2, 3). (Ответ:		12.)

5.	Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра
;(2 +у2 = Rx, заключенной внутри сферы х2 + у2 + Z2 = R2 .
(Ответ: 4R2.)				2ху) dx + (2ху + y2)dy, где LAB
6.	Вычислить	~	(х2 -			-
		LAB
дуга	параболы у =		х2	от точки A(I, 1)	до точки 8(2,	4).
(Ответ: 40 ~~-)			xdx + ydy +(х + у -
7.	Вычислить	~			1) dz, где LAB -

отрезок прямой, соединяющей точки A(I, 1, 1) и 8(2, 3, 4).

(Ответ: 13.)

8. Вычислить ~ yzdx + zxdy + xydz, где L -- дуга Вин-

L

товой линии Х = R cos t, У = R siп t, z = at/ (2л) от точки

пересечения

линии с

плоскостью

z =

О до тоЧКи ее пере­

сечения с плоскостью z =

а.

(Ответ:

О.)

9.

Вычислить

~ xydx + (у -

х) dy,

если линия LAB ,

со-

LAB

единяющая

тОЧКи А (О, О) и 8(1,

1),

задана

уравнением:

а) у=х; б)

у=х2 ;

В) у' =х;

г)

у=х3 •

(Ответ: а)

1/3;

б) 1/12; в) 17/30: г) -1/20.)

10. Найти координаты центра масс первой полуарки

циклоиды

х = a(t -

sin t),

у =

а(1

-

cos t),

t Е lO;

лJ.

(Ответ: 4а/3, 4а/3.)

Самостоятельная

работа

1.

Вычислить:

а)

~ xdl,

если

L -

отрезок

прнмой,

соединяющей

точ­

L

ки А(О, О) и

8(1,

2);

б)

~ (х +у) dx + (х -

у) dy, если LAB -

дуга параболы

LAB

197

у=х2, лежащая между точкамl'1 А(-I,						1) и ВО, 1}.
(Ответ: а) -{5/2; б) 2.)
2.	Вычислить:		часть окружности х2 +у2 = 9
а)	~ x 2ydl, если L -						лр­
	L
жащая в первом квадранте;
п)	~ (х - у) dx +(х +у) dy,			если	LAB -	отрезок	пря-
	LA8
мой, соединяющий точки А(2, 3) и В(3, 5).
(Ответ: а) 27; б) 23/2.)
3.	Вычислить:					х +2, соеди­
а) (~, если L -			отрезок прямой у =
	J х+у
	L
няющий точки А(2, 4), В(I, 3);
б)	~ (у +x 2)dx +(2х - y)dy, если				LAB -	дуга парабо-
	LA8			между точками А (1,			1) и
лы у = 2х -		х2, расположенная
В(3.	-3).	(Ответ: а) (-{2/2) 'П 2; б)			12.)

14.2.ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

спомощью КРИВOJJииейных интегралов первого рода можно вычн­

слять длииу дуги кривой, массу матернальиой дуги, ее центр масс,

площади цилиндрических поверхиостей и другие величииы.

Пример J. Вычислить массу т дуги кривой L, заданиой урав­

нениями х = t2/2, у = t, Z = tЭ /3, о:;::;; t :s:;; 2, если плотность в каждой ее точке 6 = 1 +4,r +у2.

~Согласно формуле (14.6), искомая масса т выражается инте-

гралом	•
	2
т = J "';1+4х2 + y2 dl = J"';1+t 4 + t 2 "';t		2 + I + t4	dt =
L	О
	2
=	J(l +t2 +t4 )dt= 116/15. ~

о

Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дугн

окружности х2 +у2 = R2 , расположенной в первом квадранте, и моменты

ииерции 10, 1., I g •

~Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окруж­

иости, то Хс=Ус. Для нахождения х с используем первую из формул

(14.7) :

хс= Jx6d// ~ 6dl =		1xd/j Jdl,
L	L	L	L

198

поскольку {, = const. Интеграл

~ dl = {лR

L

определяет д.лину четверти рассматриваемои окружности. Вычислим

~ xdl. где х = R cos с; у = R sin 1;

О < 1 < л/2;

L

dl = ....

dl = Rdt.

j(x' (1))2

+ (у'(1))2

Следовательно,

~

,,(2

л/2

= R 2.

xdl =

~ R cos IRdl = R 2 sin 1I

L

О

о

Окончательно имеем:

R'

2R

хс=ус= лR/2 =п'

При вычислении / О,

(К,

/у воспользуемся формулами (14.8) и (14.3)

для случая плоской

дуги (г

==

О)

и

учтем, что / к =

1у:

+ у2) бdl =

л(2

[о =

\

(х2

б \ R 2 Rdl = R3бл/2,

L

о

п(2

:л(2

/к= ~ у2бdl= б

~

R 2 sin 2 IRdl =

~б

~ (1 -

cos 21) dl = лRЗб/4.

~

L

О

О

Криволннейный интеграл второго рода (14.9)

в случае,

когда

а =

= f -

сила,

под

действием

которой

перемещается тело,

определяет

работу

силы

F

иа

пути L AB •

В

этом

заключается физический смы лл

криволинейного интеграла второго рода.

yzi + xzj + xyk

Пример

3.

Вычислить

работу

А

силы f

=

вдоль

отрезка прямой 8С, если 8(1, 1,

1) и

С(2. 3. 4).

1 + 1:

~

Запишем

параметрические

уравнення

прямой

8С: х =

у = 1 +

2/, z = 1 +

31. где

0< 1 < 1.

Тогда работа А

силы

f на

путн

ВС вычисляется

по формуле

А =

\

yzdx + xzdy + xydz, =

LBC

I

'=\(1 +

21)(1 +31) d/ +

(1 +1)(1 +3/) 2d/ +

(1 +1)(1 +21) 3dl =

()

I

=

\(1812

+221+б)dl=23. ~

о

Теорема (Грина), Если функции Р(х. у) и Q(x. у) непрерывны и меют непрерывные частные nроизводные в замкнутой односвязной

199

области D, лежащей в плuскости Оху и ограниченной кусочно-гладкой кривой L, то

	фPdx + Qdy =			)) (~; -		~:) dxdy,	(14.14)
	L			D
где интегрирование по контуру L выполняется в положительном на­
правлении.
Формула (14.14) называется формулой Грина.
Если в некоторой областн				D выполнены условия теоремы Грина,
то равносильны следующие утверждения.
1	ФPdx + Qdy = О, если L -				любой замкнутый контур L,		располо­
	L
женный в области D.
2.	Интеграл \	Pdx + Qdy не зависит от пути интегрирования,
	LAB
соединяющего точки А и В,			где L AB Е D.
3.	Pdx + Qdy =	du(x,	у),	где	du(x,	у) - полный дифференциал
функции и(х, у).
4. Во всех точках области D справедливо равенство
			aQ		дР		(14.15)
			дх		Ту.
Из формулы Грина следует,				что площадь S области D можно также

вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:

SD = -}ф- ydx + xdy,

L

где интегрирование QO контуру L производится В положительном направ­

лении.

Приме~ 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной пеТ.lеЙ кривой xj+x -у =0 (рис. 14.7).

-1

х

рис. 14.7

200

~ Из уравнения кривой получим, что у = ±х -,J;+I, т. е. кривая

симметрична относительно оси Ох и пересекает ее в точках х = О и

x=-I;

обе

функции

y=±x-v:+!

определены

при

x;;'-I,

а у__ ±

00

при х__ оо. Перейдем к параметрическим уравнениям данной

кривой,

положив

у = xl.

Подставив

f

= хl

в

уравнение

хЗ + х2 -

- у2 =

О,

получим

х3 + х2

=

х212, Х =

1

-

1, У = 13 - 1,

где

для петли

-1<1<1.

Следовательно,

искомая

площадь

1

[-(13 -

S =

+~

1) 21 + (12 -

1) (312 -

1)] dl =

-1

1

=

~ (14 -

2е+ 1) dl =

185.

~

о

Пример 5.

Вычислить

f = Ф у(1

-

x2)dx + (1 +у2) xdy,

L

где контур L -

окружность х2

+ у2 = 4, «пробегаемая» в положительном

направлении обхода.

~для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина

(14.14) :		\\ (1 + у2 -	1 + х2) dxdy =					+ у2) dxdy,
	1 =						\\ (х2
		D					D
где D -	круг,	определяемый неравенством					х2 + у2 < 4.		Имеем
1 =	\\ (х2 +y2)dxdy =		Ix =	р c.OS qJ,		dxdy =		pdpdqJ,	I
	D		у=р SIП qJ,			0<qJ<2л, 0<р<2
		\\ p3dpdqJ =		2п	2	p3dp =
				\	dqJ \			8л. ~
		D'		О	О

С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно

решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение

Р(х, y)dx + Q(x, y)dy, которое является полным днфференциалом не­

которой функции u(х, у). Требуется найти эту функцию. Решение данной задачи определяется формулой

			х		У	у) dy + С
	и (х,	у) =	\ Р (х,	уо) dx + \ Q (х,			(14.16)
			ХО		Уо
И.'IИ
			х		У	у) dy + С,
	u(х,	у) =	\ Р(Х,	у) dx + \ Q(xo,			(14.17)
			ХО		УО
где	точки Мо(хо,	уо) и	М (х,	у)	принадлежат	области	D, в которой
Р(х,	у), Q(x, у) и	их	частные		производные являются		непрерывнымн

функциями; С - ПРОИJI!i).lьная постоянная.

201