RIII_OCR[6]

~	Средним		значением		функции z = {(х,			у) в области D яl.lляется
числО	(см. свойство 7 двойных					интегралов)
			7=		;D ~~ [(х,		y)dxdy.
						о
Вычислим сначала площадь области D:
				2	Зх	2
	SD =		\\dxdy= \		dx \	dy= \	(3x-х)dх=Х21~=4.
		о		о	х	О		.
Аналогичио получаем
			2		Зх		2
~~(х+бу)dxdy= ~ dx ~ (х+ бу)dу= ~*(х+ бу)2Сdx=
О			о		х		О
		2					2	2
	=	*~о	((194 -	(74)dx= *~312о				х2dХ=2б~о	x2dx=
				= ~хз12 =			208
					3	о	3'
Таким		образом,
			-{	=	~. 208 =		~ ....
					4	3	3 .....

АЗ-13.1

J. Вычислить следующие повторные интегралы:

	2	I	(х2 + 2y)dx;
а)	~ dx ~
	u	()
	8		S	2	х
б)	~	dy	~ (х + 2y)dx;	в) ~ dx	~ x2уdy2
	-з		у'-1		I/x

(Ответ: а) 14/3; б) 50,4; в) 2,25.)

2.Расставить пределы интегрирования в повторном

интеграле для двойного интеграла ~~ (х, у) dxdy, ~сли из­

		о
вестно, что область интегрирования D:			3х - 2у + 4 = О,
а)	ограничена прямым и х = 1,	х = 4,
3х2у- 1 =0;
б)	ограничена линией х2 +у2 -	4х =	О;
в)	является треугольной областью с вершинами в точ­

ках 0(0, О), A(I, 3), B(I, 5);

132

г)	ограничена линиями у = х	З	+ 1,	х = О, х +у = 4
3.	ИЗМРНИТЬ порядок интегрирования			в данных повтор­

ных интегралах:

2	.}4-:<·	I	5:<
а) ~ dx	~	f(x, у) dy; б) ~ dx	~ f(x. у) dy;
- 2	О	О	2:<

\I-y

в) ~ dy ~

f(x, у) dx.

о-.}I-Y'

4.	Вычислить	~~ (х2 +у) dxdy,	если область D ограни­
		D
чена	линиями у = х2 И у2 = х.		(Ответ: 33/140.)
5.	Вычислить	~~ хЗу2dхdу, если область D ограничена
		D

линией х2 +у2=9. (Ответ: О.)

6. Вычислить ~~ х cos (х +у) dxdy, если область D огра­

D

ничена линиями у = О, х = л, у = х. (Ответ: -л/2.)

7.	Вычислить ~~ ydxdy, если	область	D	ограничена
	D
первой	аркой циклоиды х = a(t -	sin t),	у =	а(1 - cos t)

и осью Ох. (ответ: ~ лаЗ)

Самостоятельная работа

1. 1. Представить двойной интеграл ~~ f(x, y)dxdy в ви-

D

де повторного интеграла при разных порядках интегриро­
вания по х и по у, если известно, что область D огра­
ничена линиями у = 2х,	х = О, У +х = 3.
2. Вычислить ~~ xdxdy,		если область D ограничена
D
линиями у = х2 , У = 2х.	(Ответ: 4/3.)
2. 1. Изменить порядок интегрирования в повторно~
интеграле
4	2:<-3
~ dx	~	f(x, у) dy.

о:<'/2-3

2. Вычислить ~~ xdxdy, если область D ограничена

D

линиями х=О, у=О, y=-V4 х2. (Ответ: 8/3.)

133

3. 1. Изменить порядок интегрирования в повторном

интеграле

	8	-Уау+ 12
	~	dy	~	f(x, у)dx.
	-4		(у+4)/2
2.	Вычислить ~~ x2dxdy, если область D ограничена
		D
линиями у=х, у= I/x,			х=2. (Ответ: 2.)
13.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ.
	ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ
		КООРДИНАТАХ
Пусть переменные х, у связаны				с перемеННЫМII и, и соотношениями
х = <р(и,	и), у = ф(и, и),	где	<р(и,	и), ф(и, и) - непрерывные и диф·

ференцируемые функции, взаимно однозначно отображающие область

D плоскости Оху на область D' плоскости О' ии, при этом якобиан

		дх	дх
	J =J(X, у)=	ди	ди
		ду	ду
		ди	ди

сохраняет постоянный знак в D. Тогда верна формула замены пере· менных в двойном интеграле.

\\т(х, у) dxdy =	\\т(<р(и, и), ф(и, v))IJldudv.	(13.8)
D	О'
Пределы в новом интеграле расставляются по рассмотренному
ранее правилу с учет.ом вида области D'.
Пример 1, Вычислить двойной интеграл
	\\ (Х + у) dxdy
	D
по области D плоскости Оху, ограниченной линиями У = х -		1, У = х + 2,
У= -х- 2, у= -х+ 3.
~ ПО.10ЖИМ

и =у- х,}

(1)

и = у +х.

Тогда прямые у = х - 1 и У = х + 2 перейдут соответственно в прямые

и= -1, и=2 ПЛОСКОСТlJ О'ии, а прямые У= -х-2, У= -х+3- в прямые и = - 2 и и = 3 этой же плоскости. При этом область D отобра­ зится в прямоугольник D' плоскости О'ии, Д,lЯ которого -1 ~ и ~ 2,

-2 ~ и ~ 3.

Из системы (1) находим:

х=(-и+и)/2,}

у=( и+и)/2.

134

Следовательно, '
	дх	ду				1	1
J=	ди	ди				-т	2		1
	дх	i!JL				1			-Т'
							2
	ди	ди				2
а IJI = 1/2. Поэтому, СОГ.пасно формуле							(13.8),
	\\(х + у) dxdy = \\ и'						-i, dudu =
	о					О'	~
		2		3
	= -1 ~ du			~ r . Jdu=15				- '"
		2					4	.	~
		~I		~2

Известно, что прямоугольные декартовы (х, у) и полярные (р, (j')

координаты Связаны между собой следующими соотношеииями:

х = р cos <р, у = р sin <р, (р;;;;' О, О ~ <р < 2л).

Если в двойном ннтеграле перейти от декартовых к полярным ко­

ординатам, то получим формулу (так как якобиан J = р)
\\f(x, у) dxdy = \\ [(р cos <р, р sin q) pdpd<p.	(13.9)

ОО'

Бобобщеиных полярных координатах, для которых

х =	ар cos <р, у = Ьр sin <р (р ;;;;.		О. О ~ fj1 < 2л).	(13.10)
имеем (так как	якобиан J =	аЬр):
\\ [(х, у) dxdx =		аЬ \\ [(ар cos ер,	Ьр sin ер) pdpdep.	(13.11)

ОО'

,Представление двойных интегралов в виде повториых в правых частях формул (13.9), (13.11) приводит к разным пределам в зави­ симости от того, где находится полюс О полярной системы координат'

вне, внутри или на границе области D.

1.Если полюс О полярной системы координат иаходится вне

области D,	ограииченной лучами ер = а, <р = 13 (а < 13)		и линиями АmВ,
АnВ (и)(	уравнения	соответственно р = PI (<р), Р =	Р2(<Р), где PI (<р),
Р2(4р) (р! (<р) ~ Р2(<Р)) -		фуикции, заданные на отрезке [а; 13]), то двойной
интеграл в	полярных координатах Сводится к повторному интегралу по
правилу (рис, 13.11)

~р,('р)

	\\	у(х, у) dxdy = \ d<p				\ Г(Р cos <р, Р sin <р) f'dp.		(13.12)
	D			"	1"	('г)
2.	Если полюс О находится внутри области D и уравнение гра­
ницы	области	D в	полярной		системе		координат имеет внд Р = р(ф),
то в формуле		(13.12)		а=О, f\=2л, PI(<p)=O, pz(<p)=p(<p) (рис.				13.12).
3.	Если полюс О находится на границе области D и уравнение ее
границы в полярной			СlIстеме		координат		имеет вид р = р(<р), то	в фор­
муле (13.12) PI (<р) =			О,	pz(<p) =	р(<р),	а а и 13 могут принимать различные
значеиия (рис.		13.13,		13.14),

135

а

хх

Рис. 13.11

Рис. 13.13

Рис. 13.12

Рис. 13.14

Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных

полярных координат.

Пример 2. Вычислить \\ -J(x2 + у2)Зdхdу, если область D - круг ра·

D

диусом R с центром в начале координат.

~Если область D - круг или el·O часть, то многие интегралы

проще	вычислять в полярных координатах. Согласно формулам
(13.9)	и (13.12) (случай 2), имеем:

	\\ -J(x2+	у2?dxdy =
			\\ -J(p2 siп2 ер+р2 cos 2 !i')'pdpd<p =
	D		D
			2л	R
	=	~~ p4 dpdep = ~ dep ~ p4 dp = 2л			~5 .....
		D	О	О
2	П ример 3. Вычислить		площадь фигуры,		ограниченной эллипсом
	2
х	у
2+2=1.
а	Ь

136

~ в интеграле \\ dxdy, выражающем площадь эллипса в декарто-

D

вой системе координат, перейдем к обобщенным полярным координа­

там с помощью равенств (13.10). Уравнение эллипса в обобщенных

полярных		координатах имеет		вид р = 1. Следовательно,		согласио
формуле		(13.11), получаем
				2"	1
		\\ dxdy =	\\ abpdpdf{J = аЬ \		df{J \ pdp = лаЬ. ~
		D	О'	О	О
			АЗ-13.2
1.	Вычислить		~~ (х + y)dxdy,		если область D ограни­
чена	прямыми 2хD+У = 1,			2х + у = 3, х - у = -		1, х­

-у = 2. (Ответ: 2,5.)

2.Использовав полярные координаты, вычислить

+y2)dxdy, если область D огра­двойной

D

ничена окружностью х2 +у2 = 4х. (Ответ: 24л.)

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

х

2

+у

2

=4х,

х

2

+у

2

=

6

1 _ Г:;3

( О

.

х, У= ~Х,

Y=-УдХ.

твет.

5л/6.)

4.

Вычислить

~~ arctg..!L dxdy, где

D - часть

кольца,

D

Х

ограниченного линиями х2 +у2 = 1, х2 + у2 = 9, у = .Jз х,

у= ~х. (Ответ: л2/6.)											3
5.	Найти ~~ xydxdy, если область D ограничена эллип·
	+ ~2Z		D
сом ~22			=	I	и прямыми х =			О, У = О.		(Ответ: а2 Ь2/8.)
										00
6.	Вычислить				несобственный				интеграл	~ е-Х'dx,	ис-
пользовав		значение интеграла						~~ e-x'-Y'dxdy, взятого			по
		D,						D			R2
области				ограниченной			окружностью х2 + у2 =
(Ответ: -V;.)
				Самостоятельная					работа
1.	Вычислить ~~ (12 -					х -	y)dxdy, если область D огра­
					D	+у2 =
ничена окружностью х2								9.	(Ответ:	I08л.)

137

2. ВЬIЧИСJШТЬ ~~ (6 -	2х -		Зу)dхdу, если область D огра­
D		+ у2 = 4. (Ответ: 24л.)
ннчена окружностью х2
3. Вычислить ~~(4 -		х -	y)dxdy;	если Qбласть		D огра-
D		+ у2 = 2х.			.
ничена окружностью х2				(Ответ: Зл.)
13.3. П РИЛОЖЕНИЯ ДВОй НЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Вычислеиие площадей плоских фигур. Рассмотрим неСКО.1ЬКО при­
~lepOB.
Пример 1_ Вычислить	площадь фнгуры,				ограниченной	Jlf1ННЯМН
!J = х" - 2х, у = х.			-	D
~ ПО уравнениям границы			области		стронм данную фигуру

(рис. 13.15). Так как линии, ограничивающие ее, пересекаются в точках 0(0, О) и Мо(3, 3), то в D справедливы неравенства: О ~ х ~ 3, x~­

-2х ~ у ~ х. Следовательно, на основании свойства 1 двойных ин­

т~гралов искомая площадь

		:j		х	З
S =	\\ dxdy =	\ dx		d!J =	\ (х - х" + 2x)rlx =
	D	О	х'-2х		О
	_(3."х			х.з)Iэ	9
	-'2			-зо='2· ...
Пример 2.	Вычислить		площадь		фигуры, ограниченной линией
(х' + yZ)! = а"(х" _ у2), а> О.

~ Перейдем к полярной системе коорди~ат, в которой уравнение данной кривой примет вид:

1'4 = aZp2(cos' <1' - siп2 <1'),

р! = а2 cos 2<1', р = а-Vcos 2<1"

Последнее уравнение задает кривую, которая называется леАtltuскатоu v!!рнуллu (рис. 13.16).

у

				у
Jг-----,f
			-а	а х
	J	х
Рис. 13.15				Рис. 13.16

Как видно из полученного уравнения и рис. 13:16, кривая сим­ "етрична относительно координатных осеи, и площадь S фигуры, or- !нииченной этой кривой, выражается ДВОйным ннтегралом S =

1\8

= 4 \\pdpdtp. Здесь D - фигура (область), лежзщая в первом квад·

D
ранте, для которого		О ~ tp ~ л/4,		О ~ р ~ a-Jcos 2tp. Следовательно,
	"/4		a.jcos 2'1'		"~4 Z	:::::-::О:
S =	4 \	dtp	~		v	Ia-ycosГ	2ft
			J pdp =		4""2		dtp =
	о		о		о	о
		11/4			sin 2tp 13/4 =
=	2а2	\ cos 2tpdtp =		а2			а2• ~

о

Вычисленне объемов тел. Рассмотрим следующие примеры.

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

<:=х'+у2, х+у= 1, х=О, у=О, <:=0.

	~ Данное		тело ограничено координатными плоскостями, плоско·
стью	+	У = 1,	параллельной оси Ог, и параболоидом вращения z =
= х'	+ у'	(рис.	13.17). На основании геометрического смысла двойного

z

у

х

Рис. 13.17

интеграла (см. § 13.1, свойство 3) искомый объем v можно ВЫЧИСЛИТЬ

по формуле

v = \\ (х2 + y2)dxdy,

D

где область D ограиичена треугольником, лежащим в плоскости Оху, для которого О ~ х ~ 1, О ~ У ~ 1 - х. Следовательно,

	1	'-х	I
	и= ~ dx ~ (X 2 +y2)dy= ~ (х2у + ~З)I~-ХdХ=
	о	о	u
1
~(хz_хз+ (I-;4)dХ=(;З _				:' _ (1-;2X)4)1~=~. ~
о
Пример 4. Вычнслить объем			тела,	ограииченного поверхностями
у = 1 + х2	+ г2, У = 5.

139

~Рассматриваемое тело ограничено параболоидом вращения с

осью Оу и плоскостью у = 5,			перпендикулярной к оси Оу (рис. 13.18).
Его проекция	на	плоскость	Охг - круг, определяемый уравнениями
у = О, х2 + ZZ :;( 4.		Искомый объем
у =	\\(5 - 1- х2 -		z2)dxdz = \\(4 - х2 - z2)dxdz.
	D		D

Рис. 13.18

Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам с по­

мощью равенств	х = р COS QJ,	Z = Р sin QJ.	Тогда dxdz = pdpd!p н
		2л	2
u= \\(4- р2)рdрdQJ= \dQJ\(4p- р3)dр=
	D	о	О
	= 2л(2pZ_ ~4)1: = 8л...
Вычнсленне площадей поверхностей. Пусть в области D z плоско­
сти Оху задана	непрерывная	функция z	= {(х, 11), имеющая непрерыв·

ные частные производные. Поверхность, определяемая такой функ­ цией, иазывается гладкой. Очевидно, что область D z есть проекция рассматриваемой поверхиости на плоскость Оху. Площадь Qz поверх­

ности	z = {(х, у), (х,		у) Е D z , вычисляется по формуле
			rr _ /	д	Z		д	2
		Qz = JJ V1 + (д:)				+ (а;)		dxdy.	(13.13)
			D,
В	случае,	когда	гладкая	поверхность задана функцией х = {(у, г)
(в области D x )		или	функцией у = {(х.		г)		(в области Dy). площадь этой

поверхности вычисляется по формуле

(13.14)

или

(13.1:1)

140

Пример 5. Вычислить площадь части конуса у =	2 -Ух2 + г2, распо-
ложенной внутри цилиндра х2 + г2 = 4х.	у = {(х, г),	,
~ Так как поверхность задана функцией вида		то ее
площадь Qу следует вычислять по формуле (13.15),	где область	D y -

проекция данной поверхности на плоскость Охг (рис. 13.19). Эта проек-

у

х

Рис. 13.19

ция представляет собой круг, органиченный окружностью (х - 2)2 +

+г2=4.

Так как

ду	2х	ду	2г
дх		дZ

то искомая площадь

		D,
=	15(( dxd		у	=	,г =	р cos <р,		dxdz =	('dpd<p, 1 =
"JJ					х =	р S!П	(р,	р = 4 siп <р
		D,
		!l		4 ~i[l Ч'				!1
	=	~ \	d(p		\ ('li(' =		8~ \ sill'		<pd<p =
		о			u			u
= 4~) (1	-	cos 2<p)d<p = 4~(<р -						-} siп	2<р)1: = 4л-у5. ..
u

Вычисление массы материальной пластинки. Покажем, как это

делается, на примере.

141