RIII_OCR[6]

.~ Используя общие формулы для вычисления момен­

тов инерции, последовательно находим:

где L: 4х+2у=3, у= -2х+ ;, dl=-!5dx,

/ х	2			2	_С ( _ 2х+ ~)З /2
	= vf5~(-		2х+ ;) dx = - {-			3	2	о=
	о
		=	_ .;s (125		+!:!.-) =	49.;s
			6	8	8	24'
				2			8.;s. ...
			/ у= -J5rx 2dx = -J5~,2 =
				J	3	о	3
				о
	14.4. ДОПUJIНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( ГЛ. 14
t.	Найти	длину		дуги	конической ВИНТОВОй			линии
х = afl cos t,		у =	ае/ sin t,		Z = ае/ от Точки 0(0, О, О) до
точки А(а, О,		а).	(Ответ: а-{3.)

2. Найти массу участка цепной линии у = а ch (х/а)

между точками с абсциссами х\ = О И Х2 = а, если плот­

ность линии в каждой ее точке обратно ПрОПQрщюнальна ординате точки, причем плотность в точке (О, а) равна

у. (Ответ: уа.)

3. Определить массу эллипса х2/9 +у2/4 = 1, если

линейная плотность в каждой его точке равна Iyl. (Ответ:

'IS-Ys .. .;s )

4 + -,5-.- агсslП -3-'

'4.'наити координаты центра масс первого полу~ю:ка

винтовой линии х = а cos t, у = а sin t, z = Ы, считая плот­

ность в каждой ее точке постоянной. (.ответ: (О, 2а/л,

Ьл/2).) .

5. Вычислить моменты I-!нерции относительно коорди­

натных осей и начала координат четверти однородной

окружности у = 2 cos t, Z = 2 sin t, лежащей в первом

квадранте плоскости Oyz. (Ответ: lх = /11 = 2л, /0= 4л:)

222

6. Найти момент инерции относительно оси Ох первого витка винтовой линии х = а cos t, у = а siп t, z = ht/(2;r,).

(Ответ: (а2/2 +h2 /3)";4л2а2 +h 2	.)
7. Проверить выполиимость формулы Грина для инте­
грала
ф (х+ y)dx -	2xdy,
L
если L - контур треугольника со сторонами х = О, У = О,
х+у=а.
8. Применив формулу Грина,	вычислить интеграл

Ф y 2dx +(х + y)2dy

[Аве

по контуру треугольника АВС с вершинами А(2, О), В(2, 2)

иС(О, 2). (Ответ: 16/3.)

9.Доказать, что

	~ (ух	З	+еУ) dx +(ху3 +хеУ - 2у) dy = О,
	L
если L - замкнутая линия, симметричная относительно
начала	координат.
10. Доказать, что численное значение интеграла
			} (2ху -	у) dx +x2dy,
			L
где L -	замкнутый контур, равно площади области, orpa-
ниченной этим контуром.
t 1.	Доказать, что интеграл
			Ф	xdy-ydx
				х2 +у2 '

L

тде L - любой замкнутый коитур, «пробегаемый:ов поло­ жительиом направлении и охватывающий начало коорди­

нат, равен 2л.

12.Найти функцию по данному полному дифферен­

циалу

du = ey/zdx +(х ~ I . еУ/' +zeY/Z) dy +(yellz + е-' _

-(X~21)Y eY/~) dz.

(Ответ: aY/Z(x +1) +eYz - e- z.)

15.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

15.1.ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ

Отображение, которое каждому числу t Е Т Е R ставит в соответ­ ствие по некоторому правилу единственный вектор г, называется век­

торной функцией или вектор-функцией скалярного аргумента '. Ее принято обозначать г = r(I). Множество Т называется областью опре­ деления функции r(l). В качестве Т обычно берут некоторый отре­

зок [а; ы или интервал (а; Ь) чнсловой оси. Число I также называют

параметром.

Как и любой постоянный вектор, вектор-функцию скалярного

аргумента r(t) при любом фиксированном значении I можно одно­

значно разложить по .базису	i,	j, k:
г = г (1) =	х (1) i + У ии + 2 (1) k.		(15.1)
Очевидно, что координаты	х,	у, 2 вектор-функции	г = r(t) в этом

базисе являются функциями: x(I), y(t), 2(1), область определения ко­

торых совпадает с				Т. Поэтому имеют место три скалярных равенства:
				х =	хи), у = y(l), 2 = 2(1).		(15.2)
Если вектор г откладывать из одной точки О при различных
значениях I Е Т,			то	его конец M(I) опишет в пространстве, вообщt'
говоря,	линию,		которая		называется годографом вектор-функции г =
= r(l).	Точка О называется полюсом годографа. Равенство					(15.1)	назы­
вают в	этом	случае		векторно-nараметрическим уравнением		годографа,
а равенства		(15.2)		- его	nара.иетрическимu уравнениями	(рис.	15.1).
Приведt'М несколько					примеров.
					11. Годографом,	задаваемым

z

z(tJ

X/tlY'----"'"'

х

Рис. 15.1

в случае, когда t - длины, равенства (15.1)

векторно-параметрическим уравне­

нием вида г = r(l) = го + sl, где го - радиус-вектор точки мо(хо, Уо, 20), S - некоторый заданный вектор,

является прямая в пространстве,

проходящая через точку Мо, с на­ правляющим вектором s (см. урав­

нение (3.6) и рис. 3.1 в первой

части настоящего пособия).

2. Годограф, задаваемый пара­

у

метрическими уравнениями х =

=acosl,			у=аsiпl, 2=Ь! (tE
( - 00;		(0),		а,	Ь -	постоянные),
являt'тся винтовой линией, распо­
ложенной			на	круговом цилиндре
радиусом			а с	осью 02		(см. также
§	4.3	в	пt'рвой части пособия).
время, а	x(t),	уи),	2(1)		имеют	размерность
и (15.2)	называются			соответственно век-

224

торно-nарамстри'lески,и И nараАlетричсскими уравнения,ии движения точки, а соответствующий им годограф - траекторией се движеНIIЯ.

ECJII1

lilП

х(/) =

хо,

lim

y(l) = Уо,

lim г(!) = го,

/"~/,

/-./"

/-/.,

то

вектор

го =

xoi + Yoj

+ zok

называется

пределом веКТОР-фУНКЦl/1/

r(t) в точке /

=

/0"

В

этом случае

пишут: lim г (1) =

го.

l __ /11

ЕС.1И

lil1l г(!) = Г(/о),

то

векторная функция

г(/)

называется

неnре-

l->--!'I

рывной в

точке / =

/0.

Если

11/

"*'О -

ПРОИЗВО,lьное

приrащение

параметра,

то

Лг(/) =

=

r(l + "\1) -

r(t) lIазывается

npиpan~CHlleM

вектор-фУ!iКЦllll

г(/).

Ес.ти

Су ЩСL'ТВУС1

преде.~

lim

~\r(t)

=

lilll г(/ + Л/) -

г(1)

L'.I_O,l,,/

,~I_O

11/

ТО он называется производной всктор-функции г(/) в точке / и обозна­

чается г'и), или г(/), или dr(/)/d/.

Вектор г' (1) всегда H<lllpaBJICH по касательноij к го,l,ографу функции

г(/) в сторону возрастания параметра /. С Аtсханической ТОЧКII зреНIIЯ г'(/) есть вектор мгновенной СКОРОСТII двиЖСНIIЯ матеРllальной точки по

траеКТОРllи, яв,!Яющеuся годографом функции				г =	г(/),	в	мо,иент вре­
мени / в точке М(/) (c~. [1ИС. 15.1).		х' (1),
Если существуют	проlt3водные		у' (1)	и	г' (1),	то	существует
г'(/) !I
г'(/) = x'(t)i + y'(/)j+ z'(I)k.							(15.3)
Так как вектор r'(to) наП[1авлен по касательной к кривой в точке
Mu(lu), опреДСЮlемоii	уравнеllНЯМИ	(15.2),	то	уравнения			касательной

к этой кривоi:i в точке МО запишутся следующим образом:

	х- х(/о)	у - у(/о)		z - г(/о)	( 1~"4)
	х' (10)	у' (/0)		г' (10)
П.10СКОСТI" пеРПСНЛИКУ.lярная			к KaC"Te,1bIloii и проходящая через
точку касания /И,'I)о), называстся			нормальной nЛОСКОСТl>Ю к кривой в
этой точке, а Се	ypaBH"lIlle	вмеет	вид
х'(/о) (х -	х(/о)) +у'(/о) (у -		y(l o)) + z'(l o) (2 - z(loJ) = О.		( 15.5)

Для векторных Функцнй скалярного apl'YMCHTaСliраве,l,.lИВЫ следую­

щие lIраВИJlа днффСРСIIЦllрования:

1) (ГI (/) + r,(I)), = г, (/) + r2(I):

2)(Cr(t))'=

3)(ГI (/) • Гl(/п' = ritI)· 1',(1) + ГI (1) • r,(/);

4)(rl(l) Х Г2(/))' = г,(/) Х r2(1) + rl(/) Х г,(I).Cr'(t), с = COllst;

Пример 1. Найти	IIРОИЗВОДНУЮ beKTOP-фУI1КЦНИ г(/) = (cos / - I)i +
+ sin" /j + tg /k в точке /0 =		,,/4.
• Из формулы	(15.3)	следует,	что
г'(1) =	- sin	/i + 2 siп	/ cos /j +	1_,- k.
				cos't

8- 351	225

Ilштому г' ~ + + д.

( ; ) = - ,,2 i j ...

Пример 2. Составить канонические уравнеllllЯ КdсатеЛЫJОЙ и урав,

нение нормалыlйй П.l0СКОСТН к КрIIВОЙ, заданноii параметрическими

уравнеJНJЯШJ х =		('+ [ -	1, у = 2!' + :31	+ 2,	z = l' + 1, в	точке Ма,
опреде.lяс~оii ЗJlаЧ('lJие~J			параметра 10 =	1.
•	Находим	вектор	r'(Io)=(x'(I),у'О),		z'(I»=(4, 7,	2).	Пара­
метру	1" = I JJd	J\РИВОЙ	соответствует точка		l\I1o(x(I), y(I),	z(I»,	т. е.

м"О;··7,2). Cor:JaCHO ф()Р~lулarvf (15.4), (15.5), ураВJJеШJЯ кас<пельной

имеют ВJJД

х-I	у-7 z-2
4	7	-- 2 -

4(х - 1) + 7(у - 7) + 2(z - 2) = U....

Переходя к IIOНЯТI\Ю производной фуНJ<U.ИИ по направлению, отме­

тим, что направ.lение в пространстве можно задавать едииичным век­

тором

5° = (С05 а,

cos~,

С05 у),

"де а,

~, у - yrJJbJ, образованные

вектором 5° 11 осями Ох, ау, Oz соответственно.

Еслн дана функция II =

{(х, у, z), Оllределеllная в некоторой окрест­

ности

точки Мо(Хо,

уо, z,,),

раДlIус-вектор J(ОТОРОЙ

го =

(хо,

уо,

zo),

то

lim

/(ГО + 5"1) -

{(го)

{~O

t'ели

он

существует, называется

производной функции

и =

{(х,

у,

z)

в точке Мо(хо,

уо,

Zo) по

направлению

вектора

5"

и

обозначается

ди(Мо)

--u-s--

т. е. по

определению

ди(Мо)

=

lim

/(Го + 5°1)_ /(ГО) .

ds

l~lJ

1

Справед.lива следующая формула:

ои(Мо)

ди(Мо)

_о_и~(М_о,-,-)

ди(Мо)

(15.6)

-- 0 -- =

--д-- С05 а +

'

С05 f3 + -дz

' С05 у.

S

х

ау

вслучае функции двух lIepeMellHbJx z = [(Х, у) формула (15.6)

УJ1рощается:

Jz(M o)	_	Jz(M o)	rJz(Mo)	_ А	(15.7)
--0'-- -		--д'-- С05 а + -- 0 -- СОS 1-"
S		Х	У
где 5° = (С05 а, С05 1\);	f3 =	л/2 - а.	и = [(х, У, z)
Частные ПРОИЗВОДlJые		функции		являются	!lРОИЗВОД­

"ымн этой функции ПО направлсииям коордннатных осей. С физической точки зрения ои/дs можно трактовать как Скорость измеНСNllЯ фУНКЦllи и в дан//ой точке в заданном направлении.

Производной вдоль кривой L называют производную по направлению ОРIJентированнои касательной к крнвои [, ВЫЧИС"lенную в точке касания.

Всякой дифференцируемой функции и =	{(х, у, z) соответствует
всктор с координатами ди (М) /дх, ОИ (М) /ду,	ди(М) /Jz, который назы­
вается градиентом функции и в точке М и	обозначается grad и. Та­
ким образом, ПО определению

226

gra

d

-(~ ~ ~)-~.

~.

~k

( 15.8)

и -

ах'

ау'

аг

-

дх I +

ау J +

аг .

ЕСЮI

5"

=

(С05 а,

С05/3,

С05 у)'

то

113 формул

(15.6)

11

(15.8)

имеем

ди(М)

• s~ = пр,' grad и (М).

--- = grad II

US

Из этой связи между нроизводноil

по направлению н градиентом ФУНК­

ЦIIИ U = [(х,

у,

г)

(нли

z = {(х,

у))

С.lедует, что:

1)

градиент

функции

11

(или

г) направлен в сторону маКСималь­

ного возрастания ее значений,

т. е. du/ds (или dz/ds) имеет наибольшее

зиачение в направлении градиента (рис. 15.2);

2)

есЛи

единичный

вектор

s" перпеllдику.lярен

к

grad It

(ИЮI

grad г),

то auIrls = о

(ИJ1Н dzjдs =

())

(см. рис. 15.2);

3)

110i.-rop--·grad u{М)' (И.II!t

grad г(М») ,имеет

НЭflравлеШ<lе

'иор:мали

8 точке

М

поверхности

(или

.1ИI1ИН)

уровня

фуикцни

II

(11,111 г)

(рис.

15.3, а.

бt.

~o- \,f:

Н s·эu(м) s

эs

Рис. 15.2

с(	б

у

х

grаdZ/'Чо)

Рис. 15.3

Градиент любой дифференцируемой функции обладает следующим!! своi1ствами:

1)	grad (иl + Il2)	= grad и,		+ grad и,;
2)	grad Си = С grad u, С =			сопst;
З)	grad (и lи,) =	и2 grad и,	+ и, grad и,.

Пример 3. Найти производную функции и = .ух' + у2 + г2 В точке

м,(-2, 3, 6) по направлснию к точке M,(-I, 1,4).

•Частные производные функци и и в точке М1:

du(M 1)

ах

227

					у			I	7':3
		пu(М,)			z	+		I	6
		--(j-z- =			-Jx' + у?				Т
						Z2\1<
Единичный вектор, совпа;.tаЮll\liii						110		Н3I1р,iВЛt'lllIЮ		с	вектором
---+
M,M~,	равен
		-----+
		м	,,'\11,		=(+,
		5
		IUI
Тогда	по форчум (] 5.6)		получаем
да (М,)		= _ 2 -..!... + 2 . (_ 2) + ~ . (_ 2) = _								~. .....
Ис>		7:3	7		:3	7			J		21 ....
Пример 4. 8ычнс.1ИТЬ пронзводную ФУНКЦИИ									z = arctg (ху) в точке
МО( 1,	j), принадлежащеii		IIзрабо.lе у =			х', 110 напрзвлеНI1Ю этой кривой
(в напраВ.lеНИI1 возрастаннн абсциссы).									точке М,,( 1,		1) бt'рем
~	За	напраВ.lеНllе 51)		параболы		у =		х2 В

направление касательной к параболе в этой точке, задаваемоt' углом

а, который касаТСJIЫlая составляет с осью Ох. Тогда IIмеем:

	у'(х) = 2х, tg а =		y'(I)= 2",
cos а =	1	1 .	tg а
	+ tg2 а	= - ._, slП а = --:0=====
-У1		~5УI + tg" а

Находиы частные производные ФУJlКЦИI1
дг(М';)	у	I	1 дг(Мо)
-----;;;- =	1 + х'у'	А/, =	2'---;;;;- =

z в точке	МО:
х	I
1 + х2у2	МО 2

Подставив полученные значения в формулу (15.7), имеем

			дu(Мо)	1	1	1	2	:3
			--- = --.		----=	+ --. -		= --о -<11
			ds	2	-У5	2.j5 2-Vs
					АЗ-15.1
	1.	Найти значение		производной				вектор-функции r =
=	4(t 2	+ t)i + arctg tj + In (l + t 2)k						при	t = 1.	(Ответ:
г'(l ) =		12i + {- j + k.)
	2. Дано векторно-параметрическое уравнение движе­
ния точки			М: r = r(t) = (2t 2			+ 3) i	-	3t 2j	+(4t 2 - 5) k. Вы­
числить скорость Iv I				и	ускорение			Iw I	движения точки
в	момент		времени t =0,5.			(Ответ: /у/ =-{29,				/w/ =
= 2-{29.)

228

3.	Дано	уравнение движения материальной точки:
r = 2	cos ti +	2 siп tj + 3tk. Определить траекторию дви­
жения, вычислить скорость Iv I и ускорение Iw I движеНИ51

этой точки в любой момент времени t. (Ответ: х = 2 cos "

У =2 siп t,

Z =3t

(винтовая линия); Ivl =щ Iwl

=2.)

4. Записать канонические уравнения касательной

прямой

и

нормальной

плоскости

к

кривой

r = ti +

t2.i +

+ t

з

k в

_

3.

(

.

х -

1 _

У - 9 __ 2 -- '27

х +

точке t -

Ответ.

- 1 - -

- 6 - -

-27-'

+бу + 27z = 786)

5.Записать канонические уравнения касательной пря­

мой и нормальной плоскости к кривой, заданной урав-

нениями			z = х2 + у2,		У =	х в	точке Мо( 1, 1, 2).			(Ответ:
х-I			у-I	2-2				10)
- 1 - = - 1 - = - 4 - 'x+y+4z= .
	6. Доказать, что вектор r						перпендикулярен к			вектору
г',	если	Irl =		сопst.				функции u =	Iп (3 - х2 ) +
	7. Вычислить производную
+ xy 2 z В точке M,(I, 3, 2) по направлению к точке М2(О, 5,
О). (Ответ: -11/3.)
	8. Вычислить производную функции z =.;								х2 +	у2	В точ­
ке Мо(3,			4) по направлению:				а)	вектора a=(I, 1); б) ра-
диуса-вектора				точки Мо; в)			вектора s = (4, 3).			(Ответ:
а) 7-{2/2; б)				1; в) о.)
	9. Вычислить производную функции z = arctg (у/х) в
точке Мо(2, -2) окружности х2								+ у2 = 4х вдоль дуги этой
окружности. (Ответ: + 1/4.)									Iп (ху + xz +
	10. Вычислить производную функции u =
+ yz) в			точке Мо(О,		1,	1) по		направлению	окружности
х =	cos t,		У =	siп t, z = 1.		(Ответ: +2.)
	11. Вычислить координаты единичного вектора, направ­
ленного по нормали к поверхности (Z2 - x 2 )xyz -										у" = 5 в
точке Mo(l, 1, 2). (Ответ: +(_2__ , _1_, ~).)
								зF4 з -fl4 З-У14
	12. Найти gradu в точке Mo(l, 1, 1), если u=x2yz -
-ху2Z+хуz2. (Ответ: gradu=2i-2j+2k.)
	13.	Найти		угол ер	между		градиентами функций u =
=	~ х2	+	3у2 -	2z 2 И	V =	x 2yz		В точке Мо(2, 1/3, -{З/2).
(Ответ:		ер = 31/2.)

229

14.Найти наибольшую крутизну подъема <р поверх­

ности		z = 2х2/уЗ в			точке Мо(2,		1, 8). (Ответ: tg <р =
=	8-{lo,		ер ~ 87040'.)
				Самостоятельная			работа
	1.	1.	Вычислить производную функции u =					х+ Iп (у2+
+ Z2)		В	точке	Мо(2,	1,	1) в направлении		вектора S =
=	-2i + j - k.			(Ответ:		--{6/з.}

2.Вычислить координаты единичного вектора,

+XZ + yz = 3 в точ-перпендикулярного

ке МоО, 1, 1). (Ответ: +(1/-{3, 1/-{3, 1/-{3).}

2. 1. Вычислить производную 1?ункции Z = arctg (х2у)

вточке Mo(l, 4) параболы у=;с в направлении этой

кривой. (Ответ: +2-{5/17.)

2.Найти наибольшую крутизну ер подъема поверх­

ности	z=5x 2 -2xy+y2 в точке Мо(l, 1,4). (Ответ:
tg ер =	8, ер ~ 830.)

3. 1. Записать канонические уравнения касательной

\1J)ЯМОЙ и нормальной ШlOскости к линии, заданной век­
торно-параметрическим уравнением r = С052	ti + 5in 2 tj +
+ tg tk в точке t = 31/4. (Ответ: х =- ~.')	у -; 0,5

= z -;- 1 , Х _ у _ 2z + 2 = о.)

2. Найти наибольшую крутизну ер подъема поверх­

ности Z=ХЗУ+Хlf в точке Мо(l, 3,12). (Ответ: tgep=

=.)373, ер ~ 870.)

15.2 С"дЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

ЕС;JИ в каждои точке М (х, у, z) пространства R3 (или его части V)

опр"делсна ска,lярная величина	1I = {(х, у,	z), то говорят, что в R3 (или
V) задано С/щллрное поле u =	и(М). Это	значит, что всякая числовая

ф~нкция и(М) = {(х. у, z), заданная в не](оторой области V пространства

R , опр~деJ]ЯСТ в этой области скалярное поле. Функция двух переменных z = f (х, у) задает в нскоторой оБМJLТИ D П.l0СКОСТИ Оху скалярное

поле, называемое nЛОСКUЛi.

ГрафНЧССКf] скалярное ПОЛС можно пзображать с помощью по­

верхностей уровня t(x, у,	z) =	С	ИЛИ	ЛllнutL уровня [(х, у) =	с	(см.
рис. 15.3).
для всякой функции	u =	{(х,	у,	z), дифференцируемой	в	точке

Мо(Хо, уо, Zo), число Ju(Mo)jJs опредеJJяет скорость изменения ска­

лярного поля в направлении 5° = (С05 а, C05~, СО5 у) (см. формулу

(15.6» .

230

Если в каждоii точке М (Х, у, г) пространства R\ (НЛII его чаСТfI V)

определен		вектор а = (Р,		Q, R), где	Р =	Р(х, у, г),	Q = Q(x, у, г),
R =	R(x, у,	z) -	скалярные	фУНIЩИII, то говорит, ЧТО			в этом	ПРОСТР<1:I­
стве	(или	в V)	задано	векторное	поле	а = а(М).	ЕСЛfl	функции

Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, г) неllрерывны, то поле вектора а называется

непрерывным.

ПримераМIJ векторных полей являются поле скоростей текущей жидкости, поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с угло-

вой скоростью !QJ вокруг данной оси, поле электрической IIЛИ маГНIIТНОЙ

напряженности	(j др.
Линия, в	каждой точке М которой	вектор	а(М) векторного поля
а = а(М) направлен по касательной к		линии,	называется	векторной
(силовой) линией этого поля.
Примерами векторных ЛИИltй могут служить линии тока				жидкостit,

силовые .лИНИИ магнитиorо ПОЛf\, тра.ектории точе" вращающегося

пространства.

Область простравства, целнком состоящая IIЗ векторных ЛlIннif, называется 6екторной трубкой. В каЖДОl1 точке М поверхности вектор­

иой трубки вектор а лежит в касате"lЬНОЙ IJЛОСКОСТИ в точке М к ЭТОН

трубке.

Векторное (или скалярное) поле, координаты которого не зависят от

времеии, называется установи6ищмся или стационарным.

Если

r(t)

-

радиус-вектор

векторной ЛlIниtl векторного поля

а =

а(М),

то

уравиения

векторных линий определяются нз СIJСТСМЫ

дифференциальных уравненнй:

ci

d;

=

=

~

(15.9}

Пример

t. Найти

векторную

линию

векторного

поля

а(М) =

=

-yi

+ xj

+ bk,

проходящую через точку Мо(l,

О, О).

•

На

основании

формулы

(15.9)

получаем

систему дифференци­

альных

уравнеНtiи

dz

-ь-'

Решаем ее:

_ dx

dy

+ ydy =

О,

х2

+ у2 =

С;

xdx

-у

х

или, в

параметрнческом

виде,

х = С, cos (,

у =

С,

siп 1;

dy

dz

dz

С, cos tdt

dz = b,it,

z =

bt + Cz.

-Х=-ь-' -ь-

----;~-_:_,

С,

cos ,

Так как векторная линия должна проходит!.> через точку МО( 1, О, О),

то легко находим, что

постоянные интегрирования С, = 1,

С2 = О.

Уравнения векторной JIИНИИ векторного поля

а =

а(М)

имеют

вид

х =

= cos "

у =

siп (,

z =

Ы

(винтовая линия). <IIIi

Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля и (М) =

= {(х,

у, г) (или г(М) = {(х, у», называется полем градиента. Со­

гласно

свойству

3

градиента,

векторные

линии

grad и(М)

(или

grad г(М»

-

это

кривые, вдоль

которых функция и 0_=

{(х, у,

г)

(или

z =

{(х,

у»

максимально возрастает

(убывает)

Эти линии всегда

орто-

231