RIII_OCR[6]

7. Вычислить объем части шара х2 +у2 + Z2 = 1, рас­

положенной внутри конуса Z2 = х2 +у2. (Ответ: ~ п( 1 -

- f).)

Самостоятельная работа

1. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле

Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена плоско­ v

стями х=О, у=О, z=o, 2x+3y+4z= 12.

2.

Вычислить

ш-vх2 +у2 dxdydz,

если

область

V

v

z = х2 +у2,

Z =

ограничена

поверхностями

1.

(Ответ:

4njI5.)

2.

1.

Расставить пределы интегрирования в интеграле

Ш f(x,

у,

z)dxdydz,

если

область V ограничена

поверхно­

v

z =

х + z = 2.

стями у = х,

у = 2х,

О,

2.

Вычислить

Ш-vх2 + Z2 dxdydz,

если

область

V

v'

у = х2 + z2,

ограничена

поверхностями

Z =

1.

(Ответ:

4njI5.)

3.

1.

Расставить пределы интегрирования в интеграле

Ш f(x,

у,

z)dxdydz,

если

область V ограничена

поверхно­

v

У + z =

стями у = х2 , Z =

О,

4.

2. Вычислить объем тела, ограниченного поверх­

ностями х2 +у2 =

9,

z= 1

х + У + z = 11. (Ответ:

90п.)

13.5.

ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Вычислеиие объемов тел. Объем v области V (объем тела)

обычно

вычисляют по формуле (] 3.2]), в которой в тройном интеграле можно

переходить (если это удобно) к различным координатам (цилиндри­ ческим, сферическим и др.).

Пример 1. ,!3ыч~слить объем те,lа, ограниченного поверхностями z = 1, z = 5 - х- - у .

~ По заданным уравнениям поверхностей в декартовых коорди­

натах строим область V (рис. ] 3.28). Тогда в ци.~индрическоЙ системе

координат искомый объем

v = ш pdpd<pdz,

V'

где V': (О ~ <р ~ 2л, О ~ р ~ 2, ] ~ z ~ 5 - р2). Следовательно,

152

			2"	2	5_,,'
		V =	\ dqJ \ pdp \			dz =
			о	о	I
		2
	=2л~р(5-р2-I)dР=2П(2р2- ~4)1:=8n.....
	о
Пример 2.		Вычислить	объем		тела,	ограниченного эллипсоидом
;2 + ~2	+ ;, =	1.
'1	2

~В обобщенных сфернческих координатах верны формулы (13.26),

ипоэтому искомый объем

v = \\\аЬсг2 sin 8drdqJd8,

V'

где V' - область, в которую отображается внутренность эллипсоида

при переходе к обобщенным сферическим координатам. Уравнение поверхности, ограничивающей область V', в обобщенных сферических

координатах получается путем nодстановки в уравнение эллипсоида

значений х,	у,	z ИЗ формул (13.28):
	( 2	sin' 8 СО52 qJ	+ (2	5in 2 8 sin 2 qJ + (2 cos" О = 1,
т. е. r = 1.	Следовательно,
		2:.	л	I
		V = abC~d<p	~ sin 2 OdO ~ r2dz = ~ лаЬс. ....
		IJ	О	о

Вычисление массы тела. Масса т тела вычисляется по формуле

(13.22) .

Пример 3. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью

конуса (z - 2)' = х2 + у2 И плоскостью Z = О, если плотность тела

6(х, у, z) = z.

~Вершина конуса находится в точке О, (1, О, 2), и в сечении ко­

нуса плоскостью z = О получается окружность	х2 + у2 =	4, z = О	(рис.
13.29). На поверхности рассматриваемого	тела z =	2 - --./х2	+ у2
Тогда масса

2 У

Рис. 13.28

Рис. 13.29

153

m =

ш zdxdydz =

v

2:t

2

2 -r

=

\\\ zpdpd(pdz =

\ d!p \ pdp

\

d z =

V

о

о

о

2

= 2л ~ р(2-

p)dp = 2л(р2-

~)1:'= ~ Л...

U

Вычисление

координат

центра масс

тела.

Пусть

в пространстве

R" задано

некоторое тело

V

непрерывно

распределенной

объемной

плотностью

б =

б(х,

у,

z).

Тогда

координаты

центра

масс

этого тела

определяются по формулам:.

\\\хб(х, у,		z)du	\\\ уб(х,		у,	z)dv		ш zб(х, у,		z)dv
	v			\'					v
	\\\б(Х, у,	z)dv	ус=	\\\б(х,	у,	z)dv			\\\б(х, у,	z)dv
	v			v					v
Величины
МХ = \\\хб(х,		у, z)dv, Му = \\\уб(х, у, z)dv,						М, = \\\zб(х, у,		z)dv
	v			v					v

называются статическими моментами тела относительно координатных

плоскостей Oyz, Oxz и Оху соответственно. Если б(х, у, z) = const, координаты центра масс не зависят от плотности тела V.

Пример 4. Вычислить координаты центра масс однородного тела

V, ограниченного поверхностями х = у2 + Z2, Х = 4.

• Строим тело, ограниченное данными поверхностями (рис. 13.30).

Область V ограиичена поверхностью параболоида, отсеченного плос-

	Рис.	13.30
костью х = 4. Его	проекция на плоскость Оу:! представляет собой
круг, ограниченный	окружностью	у2 + Z2 = 4 радиусом 2. ВЫЧIIСЛИМ

вначале массу тела в ЦlIлиндрических координатах, считая, что его

плотность б = 1:

	2n	2	4
т = Шdxdydz = \ dqJ \ pdp			\ dx =
v	о	о	1"
2
= 2Л~Р(4 -	p")dp = 2л(2р" _		f~4)1: = 8л.

о

154

Тогда
					2"	2	4
ХС=	~1 ~~~XdXdYdZ=			~ ~d<p ~ pdp ~ xdx =
	V				о	о	р'
	2					2
= ~. 2л (		p(~X2)14,dP = ~ (p(16 _						(4)dp =
8л	)	2	р-		8	)
	о	= +(8р"-				о
				~)1: = 156.
Аналогично	определяются		у с и z со		но	так	как	тело - однородное
и симметричное	относительно		оси	Ох,	то	можно сразу записать, что
ус=о и ZC=O.	~

Вычислеиие моментов ииерции тел.А40мент инерции относительно

начала коордннат тела V Е R3 плотностью 6(х, у, z) опреде.~яется по

формуле

10= \\\(x2 +y"+z")6(x, у, z)dxdydz;

V

моменты инерции относительно координатных осей Ох, аУ, Oz

соответственно:

1" = \\\(у" + г")6(х,

у,

z)dxdydz,

~'

1" = \\\(х' + z')6(x,

у,

z)dxdydz,

V

I z

=

Ш (х" + у")6(х,

у,

z)dxdydz;

.V

моменты инерции относительно координатных плоскостей аху, Oyz,

Oxz соответственно:

Ixy =

\\\ z"6(x,

у,

z)dxdydz,

V

1у> =

\\\ х26(х,

у,

z)dxdydz,

V

1" =

\\\у26(Х,

у,

z)dxdydz.

v

I1ример 5. ВЫЧИС.пить моменты инерции однородного шара раДIlУ­

сом R и

весом Р относительно его

центра

и

диаметра.

,

~

Так

как объем

шара v =

4

3

,

то

его

постоянная

плотность

:3 лR

1\ =

3Рj(4gлR1 ). Поместим

центр

шара

в начале координат, тогда его

поверхность

будет

определяться

уравнением

х' + у' + z" =

R'. А40-

мент инерции относительно центра шара удобно вычислять в сфери­

ческих координатах:

10 = о \\\ (х' + у' + z')dxdydz = 6 Ш,4 sin Od,d<pdO =

V				V'
2л	Jt	R
(d	( .	(4	<	2 R"		~3	Р	2
= 6)	<Р) sш OdO) ,		d, = u . 2л·	5	=	;)	g	R .
о	о	о

155

Так как вследствие однородностн и симметрии шара его момеНТhI

инерции относительно любого диаметра равны, вычислим момент инер­

ции относительно диаметра, лежащего, например, на оси 02:

	Iz	=	6 \\\(х2 + y2)dxdydz =
			V
=	6 Ш г2 sin 2 8г2				sin 8drdqJd8 =
		V'
		2""		sin 1			R
	=	6 \ dqJ \			8d8		\ r4 dr =
		О	О				О
			1t
= -62п			R5r		cos	2	8)d(cos 8) =
			5) (1 -
R	(		о	1	з)1'			2Р2
= - 62п - 5	5	cos 8 -		-3 cos			8 о	= -5 -g R _ ....

А3-13.6

1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя­

ми z=-VХ2+у2, 2_Z=x2+y2. (Ответ: 4л/З_)

2. Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями

х +у + z = 1, х = О, У = О, z = О, если плотность тещ

б(х, у, z)= 1/(x+y+z+ 1)4.			(Ответ: 1/48-)
3. Вычислить объем тела,			ограниченного	цилиндро!'.
х=у2 и плоскостями x+z= 1, z=O. (Ответ: 8/15_)
4. Вычислить	объем	тела,	ограниченного сферами
х2 +у2 + z2 = 1,	х2 +у2	+ Z2 =	16 и конусом	Z2 =	х2 +у2
(тела, лежащего внутри конуса)_(Ответ: 2~J'				(1 -	f)-)

5. Найти координаты центра масс части однородного

шара радиусом R с центром в начале координат, распо-

ложенной выше плоскости Оху_ (Ответ: с(О, О, ~ R)-)

6. Найти координаты центра масс однородного тела,

ограниченного плоскостями х +у + z = а, х = О, У = О,

z=O_ (Ответ: (+а, +а, +а)-)

7. Вычислить момент инерции относительно оси одно­ родного круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и

радиусом основания R- (ответ_- ;0 =R2 -)

156

		Самостоятельная работа
1.	Вычислить объем тела, ограниченного поверхно­
стями Z=X		2, 3х+2у= 12,	у=о, z=O. (Ответ: 32.)
2.	Вычислить момент инерции относительно плоскости
Oyz	тела,	ограничеююго	плоскостями	х +	2у -	z = 2,
х = о, у = о, z = о, если			его пЛОТность	6(х,	у,	z) = х.
(Ответ: 4/15.)
3.	Вычислить координаты центра масс однородного
тела,	ограниченного поверхностями 2z =			4 - х2 -		у2, Z =

=О. (Ответ: (о, О, 2/3).)

13.6.ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 13

ИДЗ-13.1

1. Представить двойной интеграл ~~ f(x, y)dxdy в виде

D

повторного интеграла с внешним интегрированием по

х и внешним интегрированием по у, если область D задана

указанными линиями.

1.1. D: у ="';4 х2, У =--j3;, х;;::: О.

1.2. D: х2 = 2у, 5х - 2у - 6 = О.

1.3.D: х="';8 у2, у;;::: О, у=х.

1.4.D: х;;::: о, у;;::: о, у <. 1, у = ln х.

1.5.D: х2 = 2 - +у = О.у, х

1.6.	D:	у =-V2	х2, у =х2•
1.7.	D:	у = х2 -	2, у = х.

1.8.D: х;;::: о, у;;::: 1, У <. 3, у = х.

1.9.D: у2 = 2х, х2 = 2у, х <. 1.

1.10. D: х;;::: о, у;;::: х, у ="';9 х2.

1.11.D: у2 = 2 - х, у = х.

1.12.D: х ="';2 у2, х = у2, у;;::: О.

1.13.D: у;;:::О, x+2y-12=0, y=lgx.

1.14.D: х<.о, у;;::: 1, у<.3, у= -х.

1.15.	D:	у=О, у;;:::х, у= -"';2	х2	•
1.16.	D:	у;;::: о, х=-jY, у ="';8	х2•
1.17.	D:	у= -х, у2=х+з.

-~ х;;:::о, х= 1, у=О.

1.18. D: y=-v4-x,

1.19. D: х= -1, х= -2, у;;:::О, у=х2.

1.20. D: у<.О, х2 = -у, x=~.

157

1.21. D: у ?;:. о, y~ 1, У=Х, Х= _";4 ц2 •

1.22.D: x~o, у 2 1, у=4, У= -х.

1.23.D: у=3-х, У= -х.

1.24.	D: х = о, х = -	2, у?;:. о, У = х2	+ 4.
1.25.	D: х=о, у=о, У= 1, ( х-3)2 +у2 = 1.
	-~
1.26. D: х= у9-у, У=Х, у ?;:. о.
1.27. D: х+2у-6=0, У=Х, у?;:. о.
1.28. D: У= -х, 3х+у=3, у=3.
1.29.	D: х?;:.о, У= 1,	У= -1, y=log1/ 2 x.
1.30.	D: х?;:.о, у ?;:. о,	У= 1, х=";4	у2.

2. Вычислить ДВОЙНОЙ интеграл по области D, ограни­

ченной указанными линиями.

2.1. ~~(x2+y)dxdy, D: у=х2 , х=у2.

lJ

D: у = х2 ,

У = 2х.

2.2. ~~ xy2dxdy,

D

2.3. ~~ (х + y)dxdy,

D: у2 = Х,

У =

Х.

D

D: у = 2 -

У = х,

2.4. ~~x2ydxdy,

х,

х?;:. о.

D

2.5. ~~ (х3 -

2y)dxdy,

D:y =

х2

-

1,

х?;:. о,

у ~ о.

D

2.6. ~~(y -

x)dxdy,

D: у =

х,

у = х2.

[)

2.7. ~~(1 +y)dxdy,

D: у2=х,

5у=х.

О

_х2 + 1.

2.8. ~~(x + y)dxdy,

D: у =

х2 -

1, у =

D

2.9. ~~ х(у -

l)dxdy;

D: у =

5х,

у =

х,

х =

3.

D

2.10. ~~(х -

2)ydxdy;

D: у = х,

у =

~

х,

х = 2.

D

2.11. ~~(x~y2)dxdy,

D: у=х2,

У== 1.

D

СС 2

.

3

2.12. j)x

ydxdy, D.

у=2х, у=о, Х= 1.

D

СС (2

2

2

2.13.)) х +у

)dxdy, D: х=у, х= 1.

D

2.14. ~~xydxdy, D: у=х3, у=о, x~2.

D

2.15. ~\ (х +y)dxdy,

D: у = хЗ,

у = 8,

у =

о, х·= 3.

D

158

2.16. ~~ х(2х + y)dxdy,		D: у = 1 -	х2, У ~ О.
D
2.17. ~~ y(l-x)dxdy,		D: уЗ=х, у=х.
D
2.18. ~~ хуЗdхdу,	D: у2 = 1 - х, х ~ о.
D
2.19. ~~ х(у + 5)dxdy,		D: у=х+5, х+у+5=О, x~ о.
D
2.20. ~~ (х - y)dxdy, D: у = х2 - 1, У = 3.
D
2.21. ~~ (х+ l)y 2dxdy,		D: у=зх2 ,	у=3.
[)
2.22. ~~ xy 2dxdy,	D: у = х, у = О,		х = 1.
D

2.23. ~~ (х3 + y)dxdy, D: х +у = 1, х+у=2, x~ 1, x~o.

[)
2.24. ~~	xy"dxdy,	D: у = х3 , У ~ О,		У = ·tx.
D			D: х + у = 1, У = х2 - 1, x~o.
2.25. ~~ (х3 + 3y)dxdy,
D				х + у = 2.
2.26. ~~	xydxdy,	D: у = -Гх, у = О,
[)
2.27. ~~ ~: dxdy,		D: у =х, ху = 1,		у= 2.
D	у(1 + x 2 )dxdy;
2.28. ~~			D: у = х3, У =		3х.
D	у2(1 + 2x)dxdy,
2.29. ~~			D: х = 2 -	у2,	Х = о.
D
2.30. ~~	eYdxdy,	D: у = In х, у = О,		х = 2.
D

3. Вычислить ДВОЙНОЙ интеграл, используя полярные

координаты.

1 -vl-x'

3.1. (dx	(	_ /
j	j	V
о	о

1 - <-у"	d	у	.
1 + Х· + y~

159

I -vl-x'	+х2 +y2)dy.
3.4. ~ dx ~ Iп(l

оо

	2	-У4 -у'
	~ dy	L					dx.
3.5.			-V I -			х2 - у2
	-2	--V4-Y'
	...j2	о
3.6.	(dx	(	-~ dy.
	J	J	х2		+	у"
	--У2	- -У2-х'

о-VR"-x2

3.7.	~	dx	~	cos-VX2+y 2dy.
	-R		U
	R	-VR'-x'		tg(x2+y2)dy.
3.8.	~	dx	~
	-R		о

R -VR'-x'

3.9.~ dx --V)'-x' cos(x2+ y2)dy.

	2		-У4-Х'		d!j" .
3. 13.	~	dx	(
	о		_~I+x+y
	I		-vl-x'		dy
3.14.	~	dx	~
	о		о
	R		о		_ г;-:-:;
3.15.	(dx L sinyx2 +y" dy.
	J		--VR'-x'		- Г:;-:--?+2
	-R				-ух- т- у-
	R -VR'-x'
3.16.	(dx		(		_dy		.
	~		-,rb -Ух2 + у2COS 2				-YX2 + у2

160

	R	о
3.17.	(dx	(				dy	.
	)	J,_, -Vx ' + у2 sin'-Vx' + у2
	-R	--.)R-x
	2 -.)4-х'
3.18.	(dx	(	ху			dy.
	)	~-fFtY2
	о
3.19.						dy
	-R	о
	3	О
3.20.	(dx	Ь	,х	у	2	dy.
	)		х- +у
	- 3	- 9-х'

оо

3.21.J dx_-.))'_X,COS(X2+ y')dy.

R

	о		-.)R'-x'			sin(x2 + y2)dy.
3.22.	~	dx			~
	-R				о
	1	-.)I-x'
3.23.	~	dx		~	-V		I + х2 +y2dy.
	-1			о
	2		-.)4-х'
3.24.	~	dx		~	~Х2+у2е				<'+У'dу.
	-2			о
	3 -.)9-х'
3.25.	~dx		~		ln(1 +X2 +y2)dy.
	о		u
3.26.	~2	dx		-Y~X'
	~				l_e-(Х'+У'Jdу.
	_'-..[2 --.)2-х'
3.27.	~ dx -Утх'						In (1 + !х':у2) dy.
	о		_р			~
	2	-.)4-х'
3.28.	~ dx		~		COS-V			х2 +y~		dy.
	о		о

6-357

161