RIII_OCR[6]

~L .

3.28.

z2dl

L '-первый

виток

винтовой

линии

- 2 -- 2' где

х +у

Х = 9 cos t: у =

9 siп t, z =

9t.

(Ответ: 24лЗ.fi.)

3.29. Ф (х2 + y2)2dl,

где

L -

окружность

х =

3 cos t,

L

у=3siпt. (Ответ: 48бл.)

3:30. ) ydl,

где

L -

дуга

параболы

у2 =

12x,

отсечен·

L

ная

параболой х2 =

12y.

(Ответ: 12(S-ГБ-

1).)

4.

4.1.

) (ху -

y2)dx + xdy,

где

LOA

-

дуга

параболы

LOA

у =

2х2

от точки 0(0, О) ДО точки А (1,

2).

(Ответ: 31/30.)

4.2.

) 2yzdy -

y 2dz,

где

LOBA

-

ломаная

ОВА;

0(0,

LOBA

О, О); В(О, 2, О); А(О, 2, 1). (Ответ: -4.)

4.3. f ~ dx + _1_ dy,

где

L -

дуга

циклоиды

х =

J у

у-а

L

= a(t -

siп t),

У =

а(1 -

COS t),

л/б ~ t ~ л/3.

(Ответ:

~~2 + ~ (1 --Уз) _~ Iп 3-)

4.4. ) yzdx + г..уR2 -

y 2 dy + xydz, где L -

дуга кривой

L

х = R cos t, У = R siп t, z

=

аt/(2л), «пробегаемая» от точки

пересечения ее

с плоскостью z = О до

точки пересечения

ее с плоскостью z =

а.

(Ответ: о.)

4.5.

) 2xzdy -

y 2dz,

где

LOA

-

дуга

параболы

z =

LOA

=х2 /4 от точки 0(0, О, О) до точки А(2,

О,

1).

(Ответ: о.)

4.6.

) (х -

I/y)dy,

где LAB -

дуга

параболы

у = х2

L4/J

от точкиА(I, l)доточкиВ(2,4). (Ответ: 14/3-lп4.)

4.7.

) cos zdx -

siп xdz,

где

L AB -

отрезок

прямой,

LAB

-2) и

В( -2,

2). (Ответ:

соединяющий точки А(2, О,

О,

- 2 siп 2.)

где

четверть

дуги

окружности

4.8. ) ydx -

xdy,

L -

L

Х = R cos t, У = R siп t, лежащая в первом квадранте и «пробегаемая» против хода часовой стрелки. (Ответ: о.)

212

4.9.	~ (ху -	x)dx + : dy,			где LOA -	дуга	параболы
LOA
у = 2';-;	от точки 0(0,		О)	дО точки А(1,		2). (Ответ: 1/2.)
4.1G.	Ф ydx -	xdy,	где	L -	дуга эллипса		х = а cos t,

L

У = ь sin t, «пробегаемая» против хода часовой стрелки. (Ответ: - 2лаЬ.)

4.11. фхdу, где L - контур треугольника, образован­

L

ного прямыми У = х, х = 2, У = О при положительном направлении обхода контура. (Ответ: 2.)

	4.12. ~	xdy, где L -			дуга синусоиды у = sin х от точКи
	L
(л, О) до точки (О, О).					(Ответ: 2.)
	4.13. ~	y 2dx + x 2dy,			где L -	верхняя половина эллипса
	1.
х =	а cos t,		у =	ь sin t,	«пробегаемая» по ходу часовой
стрелки. (Ответ:				4аь2 /3.)
	4.14.	~	(ху -	y~)dx + xdy,		где LO/J	- дуга	параболы
у =	2';-от;		точки 0(0, О) дО точки 8(1, 2). (Ответ:					-8/15.)
	4.15. ~	xdx + xydy,			где L -	дуга	верхней	половины

L

окружности х2 + у2 = 2х при положительном направлении

обхода контура. (Ответ: - 4/3.)

4.16. ~ (х - y)dx + dy, где L - дуга верхней ПОЛОВИНЫ

1.

окружности х2 + у2 = R~, «пробегасмая» в по:roжите.1ЫIО:v1

направлении обхода контура. (Ответ: лR2 /2.)

4.17. Ф (х2 - y)dx, где L - контур прямоуголышка,

1.

образованного ПРЯМЫl\1И х = О, !J = О, х = 1, У = 2 при положительном направлении обхода контура. (Ответ: 2.)

4.18. ~ 4х sil1 2 ydx + у cos 2xdy, где L01i		-	отрезок пря-
LOH
мой, соединяющий точки 0(0,	О) и 8(3, 6).	(Ответ:		18.)
4.19. ~ ydx - xdy, где L -	дуга эллипСа		х =	6 cos t,

L

У = 4 siп t при ПО.l0жительном направлении обхода кон­

тура. (Ответ: - 48л.)

213

4.20.	~ 2xydx - x'ldy,	где	LOt) -'-дуга параболы			х =
	LOA
= 2у2 ОТ точки 0(0, О) до точки А(2,				1). (Ответ: 2, 4.)
4.21.	~ xyeXdx + (х -	l)eXdy, где		LAB -	любая линия,
	LAB
соединяющая точки А(О, 2) и B(I, 2). (Ответ: 2.)
4.22. ~ (х2 + y2)dx + (х2 -			y2)dY,	где L -	контур	тре-

-

угольника с вершинами А(О, О), B(I, О), С(О, 1) при поло­

жительном направлении обхода контура. (Ответ: -1/3.)

4.23.	~ (ху -	x)dx + х; dy, где L ABO - ломаная АВО
(0(0, О);	LABO	B(I/2, 3» при положительном направле­
	A(I, 2);

нии обхода контура. (Ответ: -1/2.)

4.24.

~

(ху -

y2)dx + xdy, где

L OA -

отрезок прямой

LOA

А (1,

(Ответ: 1/3.)

от точки

0(0, О) ДО точки

2).

4.25.

~

xdy -

ydx,

где

L OA

-

дуга

кубической

пара­

LOA

болы у =

х3 от точки 0(0, О) до точки А (2,

8). (Ответ: 8.)

4.26.

~

2у siп 2xdx -

cos 2xdy, где L AB -

любая линия

LAB

1). (Ответ: -1/2.)

ОТ точки А(л/4, 2) до точки В(л/б,

4.27.

~

(ху -

x)dx + ~ dy,

где

L OB -

дуга параболы

LOB

у = 4х2 ОТ точки 0(0, О) ДО точки B(l, 4).

(Ответ: 3/2.)

4.28.

~

(х + y)dx + (х -

y)dy,

где

L AB - дуга

пара-

LAB

от точки А (-1, 1) до точки B(I, 1) (Ответ: 2.)

болы у =

х2

4.29.

~

xdy,

где LAB -

дуга

правой

полуокружности

[АВ

х2 +у2=а2 от точки А(О, -а) до точки В(О, а). (Ответ:

ла2/2.)

4.30. ~ y2dx + x 2dy, где L -	дуга верхней	половины
L
эллипса х = 5 cos " У = 2 siп t,	«пробегаемая»	по ходу

часовой стрелки. (Ответ: 80/3.)

214

РеШf;ние типового варианта

Вычислить данные криволинейные интегралы.
1.	Ф (х2 + y2rdl, где	L - окружность			х2 + у2 =		а2
	L				+у2 = а2
~	Запишем уравнение окружности х2						в па­
раметрическом виде: х = а cos {,			у = а siп t, О ~ t ~ 2л.
Тогда
	х; = -а siп t, у; = а cos {,		dl =-V			dt,
				X ;2 +у;2
	dl =-Va2 siп2 t +а2 cos 2 t dt = adt.
Следовательно,
	~ (х2 +y2)ndl =	2л
		а2n + 1 ~ dt = 2ла2n + 1.....
	L	О
2.	~ xdt, где L08 -	отрезок прямой от точки 0(0, О)

[ов

до точки 8(1, 2).

~ Находим уравнение прямой 08 по двум точкам:

у = 2х. Далее имеем:

dl=-V1 +(y;)2dx, dl=.y5dx,

			~ xdl		.y5~xdx=.y5. ~2		'~= f .....
			[ОВ		О
	3.	1 = ф2х(у -			1)dx + x 2dy,	где	L -	контур	фигуры,
			L '
ограниченной				параболой у = х2 И			прямой у = 9		при	по­
ложительном				направлении обхода.
	~	В	<::оот.ветствии со свойствами криволинейных							ин­
теграловвторого рода имеем
	1 =		~ 2х(у -		l)dx + x 2dy + ~ 2х(у -			l)dx +x 2dy,
			L.			Lz
где	L 1 -		дуга параболы у =			х2 ;	L 2 -	отрезок	прямой
у =	9.	Так как парабола и прямая пересекаются в точках
(-3,		9)	и (3,	9),	то
				3		- 3
			1= ~		(4X3 -2х)dХ+ 16 ~ xdx=O . ....
				- 3		3

215

4.	1 =~ (-Ух+y)dx -(-{{у+x)dY,	где L -	верхняя
	L
дуга	астроиды х = 8 cos3 t, У = 8 sin 3 t	от точки	(8, О) до
точки	( - 8, О).

~Находим:

dx = 24 cos2 t( - sin t)dt, dy = 24 sin 2 t cos tdt, О ~ t ~ л.

Тогда

	1 = "~	(2 cos t +8 sin3 t) ( -						24 sin t cos2 t)dt -
	о	(2 sin t +8 cos3 t). 24 sin 2 t cos tdt =
	-
=	~" (-48 sin t cos3		t -	192 sin 4			/	cos2	/ -	48 sin 3 / cos t -
	о
	- 192 sin 2 /		cos 4 /)d/ =			"~	( - 48 sin / cos / -
						о
-	192 sin 2 t cos2 t)d/ =				"~ ( -	24 sin 2/ -				48 sin 2 2/)d/ =
					о
	=	12 cos 2/1~ -			24~" (1			- cos 4t)d/ =
						о		1: =
	=	-24( t -		1- sin 4t)					-24л....

ИДЗ-14.2

1. Показать, что данное выражение является полным

дифференциалом функции и(х, у). Найти функцию и(х, у).

1.1. (2х-3у2+ l)dx+(2-6xy)dy.							(Ответ: х2 +х+
+2у-3ху2+с.)
1.2.	(	2ху2		)	dx+	(2х2 У	)	dy.
			22 - 3			22 - 5
		l+xy				l+xy
(Ответ:		lп (1	+х2у2) - 3х -			5у + С.)
1.3.	- (--} cos 2у +у sin 2х) dx +(х sin 2у + cos2 Х +
+ 1) dy. ( Ответ: у cos2 х -						~ cos 2у +у + С.)
1.4.	(у2еХу' + 3) dx +(2хуеХУ' - 1)dy. (Ответ: 3х + еХУ'_

-у+ С.)

216

1.5. (_1_ +cos хcos у- зх2)dх+(-+1 -		siп х siп У +
х+у	х у	х3 + 2у2 + с.)
+ 4y\dy. (Ответ:	Iп (х + у) + siп х cos У -

1.6.(у/х+ Iп у + 2x)dx + (lп х+х/у + I)dy. (Ответ·

х2 +у Iп х +х Iп У +У + С.)

1.7.(еХ +У - cos x)dx +(еХ +У + siп у) dy. (Ответ: еХ +У_

-cos у - siп х + с.)

1.8.(y/.jl -X2y2+2x)dx+(x/.j1 - x2y2+6y)dy.

(Ответ: агсsiп ху +х2 + Зу~ + с.)

1.9.(еХУ +хуеХУ + 2) dx +(х2еХУ + 1) dy. (Ответ: x~Y +

+2х+у+ с.)

1.10.(y~Y + y2)dx + (x~Y + 2xy)dy. (Ответ: ~Y +

+ху2+С.)

+2хЗу) dx + (х cos (ху) - Зх + 4y)dy.

+х2 - 3ху +2у2 + с.)

+ху cos (х +у) -9x2)dx+ (х siп (х +

+ху cos (х + у) + 2у) dy. (Ответ: ху siп (х +у) -

+у2 + с.)_

1.13.	(5у + cos х +6xid dx +(5х +6х2у) dy.
(Ответ:	siп х + 5ху + 3х у + с.)
1.14.	(у2еХУ - 3) dx + еХУ (1 + ху) dy. (Ответ: уеХУ _
-3х +	с.)

1.15.(1 +cos(xy))ydx+(1 +cos(xy))xdy. (Ответ:ху+

+sin (ху) + с.)

+(х - 2у cos у2) dy. (Ответ: cos х +

+с.)

1.17. (sin2x--- )dx --- dy.		(Ответ: _1_-
I	1
х'у	ху2	ху

-~ cos 2х + с-)

1.18.х+у dx+ y~x dy. (Ответ: In (ху)+х/у+ с.)

	ху		у		+ (3 + 2х -
1.19. (20х3			- 21х2у +2y)dx			7х3) dy.
(Ответ: 5х4		-	7х3у + 2ху + 3у		+ с.)
1.20. (уе		ХУ	- 2 sin х) dx +(хеХУ + cos у) dy.
(Ответ: е	ХУ	+ 2 cos х + sin у + с.)
1.21. У (еХУ + 5) dx + х (е				ХУ	+ 5) dy.	(Ответ: е	ХУ	+
+5ху + с.)
1.22. (х- ~)dX+( ~-У)dу.(Ответ:х22 +
+arctg.J!.... _			х-у)	х-у
			у' + с.)

х2

217

1.23.xlny+y dx+ ylnx t-x dy. (Ответ: ylnx+

ху

+xlny+C.)

1.24. eX-У(1 +x+y)dx+ex - Y (I-x-y)dy.

(Ответ:

eX-У(х +у) + С.)

1.25.

(3х2 - 2ху

+

у) dx +(х -

х2 - 3у2 - 4у) dy.

(Ответ:

хз

- х2у _

уЗ

+ху - 2у2

+ С.)

. 1.26.

(2x"e xl -

y2

-

sin x)dx +

(sin у -

2yeXl -У')dу.

(Ответ: е

Х

-У +

cos х - cos у + С.)

х2у2 +х2) dx +(x/-V

+у)

1.27. (y/-V 1 -

I -

х2у2

dy.

(Ответ: х

з

/3 +

arcsin (ху) + у2/2 +

С.)

1.28. J..--;- у

dx +

1- ,2х dy. (ответ: 2х -

1 +

J..

+

С.)

х у

ху

ху

х

1.29. (_1_ _

у , -2)dх+(_I- _

х

,

+

у-1

(x-I)

х-I

(у-1)

+ 2у) dy. (Ответ:

х!!.- I + у~ I

-

2х + у2 + с.)

1.30. (3х2 -

2ху +~2) dx +(2ху -

х2 -

зу2) dy.

(Ответ: хз - х2у + ху

+ уЗ + С.)

2. Решить следующие задачи.

(~ +

2.1.

Вычислить

длину дуги

цепной

линии

у =

+е-Х)/2, хЕ[О; 1]. (Ответ: (е2 -

1)/(2e).)

2.2. Вычислить моменты инерции относительно осей

координат отрезка однородной прямой 2х

+у =

1,

лежа-

щего между этими осями. (Ответ: I x =-/5/6, I y =-/5/24.)·

2.3.Найти координаты центра масс четверти одно­

+у2 = а2, лежащей в первом квад­родной

ранте. (Ответ: (2а/л, 2а/л).)

2.4. Вычислить массу дуги кривой у = Iп х, заключен-

ной между точками с абсциссами х =.j3 и х =.j8, если

плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы

этой точки. (Ответ: 19/3.)

2.5. Вычислить момент инерции относительно оси Оу

дуги полукуБИL~еской параболы у2 = х3 , заключенной меж­

ду точками с абсциссами х = О и х = 4/3.	(Ответ: I y =
=107.21°/(105.36);:::::1,13.)	..

2.6. Вычислить момент инерции относительно начала

координат контура квадрата со сторонами х = +а, у =

=+а. Плотность квадрата считать постоянной. (Отиет:

10 = 32/3.)

218

2.7. Вычислить длину дуги кривой х = 2 - /"/4, У =

= t 6 /6, ограниченной точками пересечения ее с осями

координат. (Ответ: 13/3.)

2.8.Вычислить коо~динаты центра масс однородной

+У = 4, симметричной относительнополуокружности

оси Ох. (Ответ: (4/л, О).)

2.9. Вычислить координаты центра масс однородной

дуги одной арки циклоиды х = t - sin t, у = 1 - сos t.

(Ответ: (л, 4/3).)

2.10. Вычислить момент инерции относительно начала

координат отрезка прямой, заключенного между точками

А (2, О)	и В (О, 1), если линейная плотность в каждой		его
точке равна 1. (Ответ:		10 = 5-{5/з.)
2.11. Вычислить координаты центра масс однородного
контура	сферического	треугольника х2 +у2 +Z2 =	1,

х~ О, У ~ О, z ~ О. (Ответ: (4/3л, 4/3л, 4/3л).)

2.12.Вычислить статические моменты относительно

координатных осей дуги				астроиды	х = 2 соs	З	t,	У =
= 2 siп	З	t,	расположенной	в первом	квадранте.		(Ответ:
Мх =2, 4,			Му =2, 4.)

2.13.Вычислить массу отрезка прямой у = 2 - :'

заключенного между координатными осями, если линеи­

ная плотность в каждой его точке пропорциональна квад­

рату абсциссы в этой точке, а в точке (2, О) равна 4.

(Ответ: s-J2/з.)

2.14. Найти статический момент относительно оси Оу

однородной дуги первого				витка		лемнискаты			Бериулли
р2 = а2 cos 2ЧJ.		(Ответ: Му=			а2-У2.)
2.15.	Найти	работу силы			F =	xi +(х +ун при				пере­
м~щеиии точечной массы т					по	дуге	эллипса		х2/16 +
+у2/9 =	1. (Ответ:		12лm.)
2.16.	Вычислить		момент		ииерции		относительно			оси
Oz однородной дуги			первого		витка винтовой линии					х =
= 2 cos t, У= 2 sin /,			z = t.	(Ответ: I z = s-{5л.)
2.17.	Вычислить		массу	дуги		кривой		р = 3 sin ЧJ,		qJ Е
Е [О; л/4], если		плотность		в	каждой		ее	точке	пропор­

циональна расстоянию до полюса и при qJ = л/4 равна 3.

(ОТ8ет: 9(2 --J2) /2.)

2.18. Вычислить координаты центра масс однородной

дуги первого витка	винтовой линии х = cos /, У = sin t,
z = 2t. (Ответ: (О, О,	2л).)

219

2.19. Вычислить моменты инерции относител ьно коор,

динатных осей дуги четверти окружности х = 2 cos t, У =

= 2 sin t, лежащей в первом квадранте. (Ответ: Ix = 2л,

I y = 2л.)

2.20. Вычислить координаты центра масс дуги первого

витка винтовой линии х = 2 cos t, У = 2 siп t, z = t, если

линейная плотность в каждой ее точке пропорциональна

аппликате точки и в точке t = л равна 1. (Ответ: (О, - 2/л,

4л/3). )

2.21.Вычислить массу дуги четверти эллипса х2/4 +

+у2 = 1, лежащей в первом квадранте, если линейная

плотность в каждой ее точке равна произведению коорди­

нат этой	точки. (Ответ: 14/9.)
2.22.	Вычислить работу	силы F = xyi + (х +У) j			при
перемещении материальной		точки	по	прямой У = х	от
точки (О, О) ДО точки (1, 1). (Ответ: 4/3.)
2.23. Вычислить статический момент относительно оси
Ох однородной дуги цепной линии			У =	(~ + е-Х )/2,	х Е
Е[О; 1/2]. (Ответ: (е- l/е+2)/8.)			(х -	У) i + xj при пе·
2.24. Вычислить работу силы F =

ремещении материальной точки вдоль контура квадрата,

образованного прямыми х = + 1, У = + 1. (Ответ: 8.)

2.25. Вычислить статический момент относительно оси

ОХ однородной дуги кардиоиды р = а(1 + cos ер). (Ответ:

32а2 /5.)

2.26.Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

x=3(t-sin t), у=3(1 -cos t). (Ответ: 24.)

2.27. Вычислить работу силы F = (х + У) i - xj при пе­

ремещении материальной точки вдоль окружности х =

=2 cos t, У = 2 sin t по ходу часовой стрелки. (Ответ: 8л.)

+(х + У) j при пе­

ремещении материальной точки из начала координат в

точку (1, 1) по параболе у=х2 • (Ответ: 17/12.)

2.29.Вычислить работу силы F = (х - У) i + 2yj при

перемещении материальной точки из начала координат

в точку (1, -3) по параболе У= -3х2 •	(Ответ: 10,5.)
2.30. Вычислить моменты инерции относительно осей
координат однородного отрезка прямой У =	2х, заключен-

ного между точками (1, 2) и (2, 4). (Ответ: Ix = 28-{5/з,

I y = 7-{5/з.)

220

Решение типового варианта

L Показать, что выражение

( 1 +Ух2у' - l)dX +( 1 +Хх'У" - 10)dy

является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти

. функцию и(х, у).

~Проверим, выполняется ли условие полного диффе-

ренциала (дР =			aQ ) для функции и(х, у). Имеем:
		ду	дх
Р(х, у)=			у"	-1, Q(x, у)=		Л 22	-10,
		I+xy				I+xy
дР _	д (	у	_ 1)- 1 + х2у2 _ у. 2х2у				1 _ х2у2
ту -	ту	1 + х2у2		-	(1 + х2у2)2		(1 +х2у2)" ,
aQ = ~ ( х			_ 1о) = 1 + х2у2 - Х. 2ху2				1 _ х2у2
дх	дх	1 + х'у'			(1 + х'у')'		(1 + х2у2? .
Данное выражение является полным дифференциа­
лом функции и(х,			у).	Положив хо = О,		уо = О,	по формуле

(14.16) найдем и(х, у):

ху

и(х, у)=~(-I)dХ+~ С+Хх2у2 -IО)dУ+С=

О	о		-х + arctg ху­
= -xl~ +(arctg ху - 10y)l~ + С =
-IОу+С.
iультат вычислений верен, если
дU~; у) = Р(х,	у)' дU~;	у)	=	Q(x, у).
Сделаем проверку:
~ (-х+ arctg ху-l0у+ С)= -				1 + --,,-у-
дх				1	+ х'у' '
~ ( - х+ arctg ху -	10y + С) =			х. ,	- 10.
ду				1 + х'у
Итак, и(х, у) = arctg ху - х -		10y + С.....

2. Вычислить моменты инерции относительно осей

координат однородного отрезка прямой 4х + 2у = 3, лежа­

щего между точками (О, 3/2) и (2, - 5/2).

221