2. Элементы гидростатики

В гидростатике изучается равновесие жидкостей, находящихся в состоянии относительного или абсолютного покоя. Относительный покой – это состояние, при котором в движущейся жидкости отдельные частицы не перемещаются относительно друг друга. Отсутствие такого перемещения позволяет считать любую жидкость в состоянии покоя идеальной, так как силы внутреннего трения отсутствуют. В состоянии относительного покоя форма объёма жидкости не изменяется, и она перемещается подобно твёрдому телу, как единое целое (например, жидкость во вращающемся с постоянной частотой барабане центрифуги). Жидкость внутри неподвижного сосуда находится в состоянии абсолютного покоя относительно поверхности Земли.

Независимо от вида покоя на жидкость действуют силы тяжести и давления.

Если в покоящейся жидкости, заполняющей какой-либо открытый сверху сосуд, соединить между собой все точки с одинаковым давлением, то получим так называемую поверхность равного давления или поверхность уровня. Так как на эту поверхность действуют только силы тяжести (собственный вес жидкости и атмосферное давление), направленные по вертикали, то поверхность уровня согласно свойству гидростатического давления будет горизонтальной. Верхняя, пограничная с атмосферой поверхность жидкости называетсясвободной.

Гидростатическое давление часто измеряют высотой столба жидкости, используя известное выражение (ρ – плотность жидкости, кг/м³;g– ускорение силы тяжести в точке измерения, м/с²).

При этом высота столба жидкости Н носит название напора. Напор бывает гидростатическим и пьезометрическим. Под гидростатическимнапором подразумевают полное гидростатическое давление жидкости, взятое относительно какой-то горизонтальной плоскости, называемой плоскостью отсчёта, и выраженное в линейных единицах. Подпьезометрическимнапором понимают превышение в линейных единицах свободной поверхности жидкости в пьезометрической трубке над плоскостью отсчёта.

Напор является мерой удельной потенциальной энергии жидкости. Эта энергия соответствует работе, затрачиваемой любой частицей жидкости при падении её, от данной точки до плоскости отсчёта.

1. Уравнения гидростатического равновесия

По аналогии с механикой твёрдого тела условием равновесия, или покоя, любой частицы жидкости является равенство нулю алгебраической суммы проекций сил, приложенных к любой материальной точке объёма жидкости на оси прямоугольной системы координат.

Рисунок 1.2 – К выводу дифференциального уравнения равновесия Эйлера

В общем объёме покоящейся жидкости (рис. 1.2), на которую действует та или иная внешняя массовая сила (сила тяжести, центробежная сила) выделим бесконечно малый параллелепипед с гранямиdx,dyиdz.

В общем случае давление рв разных точках покоящейся жидкости будет различным:

Для установления условия равновесия необходимо определить связь между давлением и координатами точек, а также величиной внешней массовой силы. При этом массовые силы, действующие в направлении осей координат, выразим через единичные массовые силы, плотность жидкости и объём параллелепипеда

По направлению оси охсумма проекций действующих сил:

Аналогично по направлению осей oyиoz:

В результате несложных математических преобразований получим систему уравнений, которые носят название дифференциальных уравнений равновесия Эйлера:

(1.1)

Если жидкость находится в поле силы тяжести, то итак как сила тяжести действует лишь в направлении осиoz, и система уравнений (1.1) приобретает вид:

Для жидкости, вращающейся в барабане центрифуги:

где – центробежное ускорение.

Если все члены равенств (1.1) помножить соответственно на dx,dyиdz, а затем сложить полученные уравнения, то получим основное уравнение гидростатики:

(1.2)

так как сумма равна полному дифференциальному давлениюdp.

Рисунок 1.3 – К выводу закона Паскаля

Уравнение (1.2) выражает закон распределения давления внутри жидкости, находящейся в покое.

В случае, когда жидкость находится под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести, для любой точки ее объема A(рис. 1.3) в соответствии с уравнением (1.2) можно записать:

(1.3)

так как XиYравны нулю.

Интегрируя это уравнение в пределах, указанных на рисунке 1.3:

либо(1.4)

где – глубина погружения точкиAили пьезометрическая высота;– давление, обусловленное весом самой жидкости (избыточное давление).

Тогда

(1.5)

Из уравнения (1.5) следует, что абсолютное давление в точке Aравно сумме поверхностного давленияр₀и избыточного давленияЭто известный закон Паскаля.

Если сосуд открыт, то (р_атм – атмосферное давление) и уравнение (1.5) принимает вид

(1.6)