Уравнения динамического равновесия жидкости
При изучении законов равновесия и движения жидкостей в гидродинамике жидкость рассматривают как непрерывно распределенную в пространстве сплошную среду.
Баланс действующих в потоке жидкости сил выражается в случае движения идеальной жидкости уравнениями Эйлера, а в случае движения реальной жидкости – уравнениями Навье-Стокса.
В отличие от уравнений статического равновесия идеальной жидкости (1.1) уравнения динамического равновесия жидкости должны включать в себя силы инерции. Тогда в соответствии с принципом д’Аламбера применительно к элементарному прямоугольному параллелепипеду, выделенному из установившегося потока идеальной жидкости, введя силы инерции, отнесенные к единице массы, получим:
, (1.30)
;
;
– компоненты сил инерции.
Знак «минус» указывает на несовпадение направления действия силы с направлением оси координат.
Поскольку
,
то равенства (1.30) могут быть представлены
в следующем виде:
. (1.31)
Уравнения (1.31), впервые введенные Эйлером, называют дифференциальными уравнениями Эйлера для гидродинамики.
По аналогии с уравнением (1.2), умножив все члены равенств (1.31) соответственно на dx, dy, dzи сложив их, получим:
(1.32)
В случае движения потока реальной жидкости возникают дополнительные силы трения. В объеме того же бесконечно малого параллелепипеда по направлению каждой из трех осей на противоположные грани, согласно закону Ньютона, действуют силы трения, равные
и
,
где f – площадь грани параллелепипеда,n– нормаль к направлению движения потока.
Равнодействующая для каждой пары граней
при одномерном движении равна
.
С учетом трехмерного движения уравнения динамического равновесия для потока реальной жидкости принимают вид:
(1.33)
В гидравлике уравнения (1.33) носят название уравнений Навье-Стокса. Они связывают все силы, действующие в потоке вязкой жидкости. Однако решение этих уравнений аналитическим путем невозможно, поэтому в гидравлике предпочитают уравнения движения идеальной жидкости, внося в них поправочные коэффициенты, учитывающие физические особенности реальных жидкостей.
Основные уравнения гидравлики
Для решения практических задач в технической механике жидкости используются более простые зависимости, которые, тем не менее, имеют достаточно общий характер. К числу таких основных уравнений гидравлики относятся:
1) уравнение неразрывности или сплошности потока – уравнение баланса расхода жидкости;
2) уравнение энергетического балансапотока жидкости – уравнение Бернулли;
3) уравнение баланса количества движения.
Эти три уравнения составляют основную теоретическую базу технической гидродинамики.
Уравнение неразрывности или сплошности потока
При движении потока жидкости обычно
происходят изменения не только скорости
частиц, но и ее физических свойств –
плотности, вязкости, которые в свою
очередь будут зависеть от температуры
и давления. При неустановившемся движении
физические свойства изменяются не
только в пространстве, но и во времени.
Например,
.
В бесконечно малый параллелепипед,
объем которого dv = = dxdydz, за
время τ вдоль осихпоступит через
грань dydz количество массы жидкости,
равное
.
За то же время из противоположной грани
параллелепипеда на расстоянииx + dxвыйдет количество жидкости, равное
.
Изменение массы жидкости в объеме параллелепипеда в направлении оси хсоставит:
.
Аналогично по направлению осей y иzэто изменение составит соответственно
и
.
Согласно закону
сохранения массы за времяdτсуммарное изменение
массы жидкости по всем трем направлениям
в объеме параллелепипедаdvдолжно быть равно
.
В результате несложных математических
преобразований получаем уравнение
неразрывности:
(1.34)
Для установившегося потока dρ/dτ = 0 и уравнение неразрывности в дифференциальной форме приобретает вид:
. (1.35)
В потоке несжимаемой жидкости ρ = const и уравнение (1.35) упрощается:
. (1.36)
Для одномерного неустановившегося потока сжимаемой жидкости, направленного вдоль оси хи проходящего через сечениеf, уравнение неразрывности можно представить в виде
(1.37)
Тогда для установившегося потока
либо
(1.38)
Это значит, что в каждом сечении потока расход жидкости останется постоянным, т.е.:
(1.39)
Отсюда следует, что скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока.