Уравнение Бернулли

Воспользовавшись уравнением (1.32), можно найти связь между давлением, скоростью и плотностью жидкости в любом сечении установившегося потока жидкости.

Так как движение потока происходит под действием одной лишь силы тяжести, то Х = 0,Y = 0, aZ = –g. В этом случае уравнение (1.32) приобретает вид

либо

откуда

. (1.40)

Полученное уравнение (1.40) является уравнением Бернулли для установившегося потока идеальной жидкости. Каждое из слагаемых этого уравнения представляет собой удельную энергию жидкости в данном сечении потока:

– удельная энергия давления;

– удельная энергия положения;

– удельная кинетическая энергия.

Первые два слагаемых уравнения Бернулли выражают потенциальную энергию жидкости, а в сумме все три вида удельной энергии составляют полную удельную энергию потока жидкости в данном сечении.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении потока является величиной постоянной.

Кроме понятия удельной энергии, в гидравлике используется также понятие полного напора H, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести. В таком случае, можно записать:

, (1.41)

где – пьезометрический напор, уравновешивающий гидростатическое давление в данном сечении потока;– нивелирный или геометрический напор, определяющий высоту расположения данного сечения относительно плоскости отчета;– скоростной или динамический напор.

Таким образом, полный напор Hслагается из статическогоН_сти динамическогоН_диннапоров:

,

где ;.

При движении реальной жидкости часть энергии расходуется на преодоление сопротивлений на пути потока, поэтому полная удельная энергия потока в каждом последующем его сечении будет меньше, чем в предыдущем, а уравнение Бернулли с учетом этого можно будет записать:

, (1.42)

где – потерянный напор, учитывающий потерю энергии на участке потока между двумя рассматриваемыми сечениями.

4. Теория движения жидкости по трубам

Перемещение жидкостей и газов осуществляется в основном по трубопроводам. Поток вещества внутри трубопровода создается за счёт разности давлений или напоров на концах трубопровода.

Распределение скоростей по сечению трубопровода

При ламинарномдвижении жидкости в горизонтальной трубе, радиус которойR, а длиннаl(рис. 1.8),весь поток можно представить состоящим из ряда соосных кольцевых слоёв, скорость которых возрастает от стенки трубы к её оси. Для выделенного внутри потока цилиндра радиусаrуравнение динамического равновесия будет иметь вид:

(1.44)

так как при установившемся течении сила давления на одно торцевое сечение потока уравновешивается силой давления на другое торцевое сечение и силой внутреннего трения (так как скорость wс увеличением радиусаrуменьшается, знак при силе трения меняется на положительный).

Рисунок 1.8 – К выводу уравнения ламинарного движения ньютоновских жидкостей

В результате интегрирования уравнения (1.44) и решения его относительно скорости, получим:

(1.45)

По оси трубопровода r = 0, следовательно

(1.46)

тогда

(1.46а)

Последнее уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

Объёмный расход жидкости в рассматриваемом трубопроводе через элементарное кольцо радиусом rи толщинойdr (рис. 1.8)

. (1.47)

Выразив в последнем уравнении w_rчерез его значение из уравнения (1.45) и проинтегрировав уравнение (1.47), найдемV:

откуда

. (1.48)

Уравнение (1.48) носит название уравнения Гаген‑Пуазейля.

Если выразить объемный расход жидкости через площадь сечения потока и его среднюю скорость, то можно получить выражение для средней скорости ламинарного потока w:

либо . (1.49)

Сравнивая уравнение (1.49) с уравнением (1.46) приходим к выводу, что , то есть средняя скорость потока в трубе круглого сечения при ламинарном режиме движения равна половине максимальной скорости.

При турбулентномрежиме движения наблюдается интенсивное непрерывное перемешивание частиц жидкости в результате их перемещения в направлении, перпендикулярном к основному направлению движения потока. При этом возникают мгновенные изменения величин и направлений скоростей движения отдельных частиц, называемые пульсацией скоростей.

На основании экспериментальных исследований и теоретических предположений принята следующая структура турбулентного потока. У стенок трубы существует тонкийслой жидкости толщиной, движущийся по законам ламинарного потока и называемый вязким (ламинарным) подслоем. Центральная часть потока, называемая ядром, движется турбулентно с почти одинаковой для всех частиц скоростью. Между ядром и вязким подслоем находится относительно небольшая переходная зона.

В ламинарном подслое распределение скоростей можно считать линейным:

(1.51)

где r – расстояние от оси трубы (в направлении, перпендикулярном стенке);_л– толщина ламинарного подслоя (порядка 1 мм).

В турбулентном ядре распределение осреднённых скоростей в пределах изменения значений критерия Рейнольдса от 10⁴до 10⁵хорошо описывается степенной зависимостью:

, (1.52)

где nзависит от величины критерия Рейнольдса и в данных пределах может быть принято (по экспериментальным данным) равным 7.

Приближенно принимают для турбулентного режима:

(1.53)

При этом большие значения соответствуют большему значению числа Рейнольдса.

Из изложенного выше следует, что при турбулентном режиме скорости распределены более равномерно по сечению потока по сравнению с распределением скоростей при ламинарном режиме.