3. Элементы гидродинамики

Основной задачей гидродинамики является установление закономерностей, определяющих движение потока жидкости, а также его отдельных частиц.

При рассмотрении движения жидкости различают внешнюю и внутреннюю задачи. В первом случае задан поток, требуется найти гидродинамические характеристики потока. К числу гидродинамических характеристик потока относятся скорость и гидродинамическое давление.

В случае идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет тот же смысл и обладает теми же свойствами, что и гидростатическое давление р. Гидростатическое давление вязкой жидкости зависит от пространственной ориентации площадки, на которую она действует, поэтому при анализе движения в этом случае используют среднеарифметическое значение:

. (1.17)

Помимо сил, действующих на покоящуюся жидкость, в гидродинамике появляются дополнительно силы инерции и трения. Последние являются причиной неравенства скоростейwв различных точках одного и того же поперечного сечения потока. Кроме того, для одной и той же точки пространствариwмогут изменяться и во времени τ.

Указанные причины приводят к сложным функциональным зависимостям:

(1.18)

, (1.19)

где w_x,w_y,w_z– проекции скоростиwна оси координат.

1. Основные понятия и определения

Различают следующие виды движения жидкости: установившееся и неустановившееся, равномерное и неравномерное, напорное и ненапорное.

Если в любой точке движущегося потока жидкости все факторы, влияющие на его движение (скорость, давление, температура, плотность и др.) не изменяются с течением времени, то движение потока называют установившимся.Принеустановившемсядвижении указанные факторы с течением времени изменяются.

Установившиеся условия движения жидкости характерны для непрерывных технологических процессов, неустановившиеся – для периодических либо возникают кратковременно при пусках, остановках, а также изменениях режима работы аппаратов непрерывного действия.

Для каждой частицы движущейся жидкости изменение её параметров во времении в пространстве выражается полной производной по времени, называемой субстанциональной производной. Иначе субстанциональная производная характеризует изменение какого-либо параметра uили свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве. Изменениеuза единицу времени в фиксированной точке пространства (x, y, z) = const выражается частной производной, а изменениеuв данной точке за бесконечно малый промежуток времени составит. Эта величина является местным, или локальным, изменением данной переменной. При переходе частицы из одной точки в другую значениеu меняется на величину, которая характеризует конвективное изменение параметраu.

При установившемся движении жидкости локальная составляющая отсутствует, и субстанциональная производная принимает вид:

, (1.20)

так как

то в итоге

. (1.21)

Для неустановившегося движения полное изменение uявляется суммой локального и конвективного изменения:

. (1.22)

Видами установившегося движения жидкости являются равномерноеинеравномерноедвижение потока.

Под равномерным понимают такое движение, когда поток жидкости по всей его длине имеет одинаковые живые сечения и скорости в соответствующих точках этих сечений. Примером равномерного движения служит движение жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения. При отсутствии хотя бы одного из указанных условий движение будет неравномерным. Такое движение может быть в конически сходящейся или расходящейся трубе или в расширяющемся (сужающемся) канале.

Безнапорнымназывается такое движение, когда жидкость имеет свободную, т.е. открытую и находящуюся обычно под атмосферным давлением, поверхность. При отсутствии такой поверхности движение называютнапорным. Примером безнапорного движения является движение воды в реке или канале, а также трубе, сечение которой не полностью заполнено жидкостью. При напорном движении сечение трубы полностью заполняется жидкостью.

Для характеристики движения потока жидкости введено понятие площади живого сечения, под которой понимают площадь сечения потока, перпендикулярную направлению движения.

К элементом живого сечения потока относятся площадь F, смоченный периметр П, гидравлический радиусR_г.

Площадь живого сечения F потоков может быть различной геометрической формы. Живое сечение может ограничиваться твердыми стенками полностью или частично, когда часть его соприкасается со свободной поверхностью жидкости.

Смоченный периметр П представляет собой сумму линейных размеров той части периметра поперечного сечения канала (трубы), которая смачивается жидкостью.

Гидравлический радиус R_г – отношение площади живого сечения к смоченному периметру

. (1.23)

Для жидкости, заключенной в круглую трубу:

(d– диаметр трубы;r– радиус трубы).

Следовательно, для круглого сечения потока гидравлический радиус численно равен половине геометрического радиуса окружности трубы или четверти его диаметра. При одинаковых площадях живого сечения круглая форма в сравнении с другими имеет наименьший периметр.

Гидравлический радиус является одним из важнейших понятий гидравлики. Вместо гидравлического радиуса в гидравлике иногда пользуются понятием гидравлического или эквивалентного диаметра d_экв, который представляет собой условный диаметр живого сечения потока любой геометрической формы, находящегося в гидравлически равных условиях с круглым сечением диаметромd:

. (1.24)

Количество жидкости, протекающее через живое сечение в единицу времени, носит название расхода жидкости.Количество жидкости может быть выражено в массовых или объемных единицах:

– массовый расход жидкости; (1.25)

– объемный расход жидкости. (1.26)

В уравнениях (1.25) и (1.26) w –средняя скорость потокаw_срв данном живом сечении, т.е. скорость, с которой должны были двигаться все частицы жидкости через рассматриваемое плоское сечение площадьюF, чтобы расход всего потока был равен расходу, соответствующему действительным скоростям этих частиц:

. (1.27)

Существуют два принципиально различных режима движения вязкой жидкости: ламинарный и турбулентный.

Ламинарный режим течения наблюдается при малых скоростях движения или большой вязкости жидкости. При этом частицы жидкости движутся в одном направлении параллельно друг другу, не перемешиваясь. По сечению трубопровода скорости частиц изменяются по параболическому закону (рис. 1.7,а). У стенки трубы скорость равна нулю, по оси – максимальная.

Турбулентный режимнаблюдается при больших скоростях. Частицы жидкости при этом движутся беспорядочно по пересекающимся направлениям. В каждой точке потока происходят пульсации скорости относительно некоторой средней величины. Профиль распределения скоростей – более плоский по сравнению с ламинарным режимом (рис. 1.7,б).

Рисунок 1.7. – Распределение скоростей при ламинарном (а) и турбулентном (б) движении жидкости в трубе

Режим движения жидкости характеризуется безразмерным числом Рейнольдса Re, которое для трубы любого сечения равно

, (1.28)

где R_г– гидравлический радиус;w– средняя скорость движения жидкости;- кинематический коэффициент вязкости;d_экв– эквивалентный диаметр.

Для трубы круглого сечения

(1.29)

(d– диаметр трубопровода;и–плотность и динамический коэффициент вязкости жидкости, соответственно).

Граница между ламинарным и турбулентным режимами движения жидкости определяется критическим числом Рейнольдса Re_кр. При Re < Re_крдвижение ламинарное, а при Re > Re_кр– турбулентное. Значения Re_крмогут колебаться в довольно широких пределах в зависимости от многих факторов: условий входа в трубу, шероховатости стенок трубы, рода и температуры жидкости и других условий. Причем Re при переходе от ламинарного к турбулентному движению больше, чем при обратном переходе. Опытным путем было установлено, что смена режимов течения жидкости в цилиндрических трубах круглого сечения происходит при Re_кр = 2300. Турбулентное движение становится вполне устойчивым только при Re ≥ 10000. При 2300 < Re < 10000 движение неустойчиво и оба вида движения могут проявляться совместно и легко переходить один в другой.