1. Скорость фильтрования

Общая теория фильтрования основывается на эмпирическом законе Дарси, согласно которому объем фильтрата V, проходящего через единицу поверхностиFза единицу времени, прямо пропорционален разности давленийри обратно пропорционален общему сопротивлению осадкаR₀и фильтрующей перегородкиR_п.Поскольку в общем случае в процессе фильтрования значения разности давлений и гидравлического сопротивления слоя осадка с течением времени изменяются, то эта зависимость может быть представлена следующим образом:

, (5.65)

где V – объем фильтрата, прошедшего через фильтр с поверхностьюFза время τ.

Если объем фильтрата отнести к единице поверхности фильтра, то уравнение (5.65) может быть записано в виде

. (5.66)

Сопротивление слоя осадка R_oзависит от количества фильтратаV, прошедшего через фильтр, т.е.

, (5.67)

где k – коэффициент пропорциональности, определяемый физическими свойствами осадка и фильтрата.

Сопротивление фильтрующей перегородки R_пможно выразить через эквивалентное сопротивление слоя осадка, для образования которого потребуется пропустить через 1 м² фильтра объем фильтрата, равныйС, т.е.

.

Таким образом, величина Сявляется константой для данного фильтра, так же как иkявляется константой лишь для данной разделяемой смеси.

Тогда уравнение (5.66) примет вид

. (5.68)

Последнее уравнение выражает общую зависимость скорости фильтрования от перепада давления и сопротивления, независимо от режима фильтрования. Путем его интегрирования определяется связь между объемом получающегося фильтрата и продолжительностью процесса. При этом может быть три случая:

1) фильтрование при постоянной разности давлений (Δp = const);

2) фильтрование при постоянной скорости процесса (dV/dτ = const);

3) фильтрование при постоянных разности давлений и скорости (Δp = const;dV/dτ = const).

Фильтрование при постоянной разности давлений. При этом режиме фильтрования Δp = const иk = const. Заменив эти константы одной: Δp/k == const, получим уравнение (5.68) в виде

(5.69)

После интегрирования последнего выражения в пределах от 0 до (V +C) и (τ + τ_о):

,

имеем (5.70)

где τ_о– продолжительность образования слоя осадка с сопротивлением, равным сопротивлению фильтрующей перегородки.

Поскольку 2 = const, то, обозначив через, получим закон фильтрования при Δp = const:

(5.71)

В начальный момент процесса при τ = 0 и V = 0 уравнение (5.71) принимает вид

(5.72)

Решая совместно уравнения (5.71) и (5.72), находим выражение для расчета производительности фильтра или продолжительности фильтрования при Δp = const:

(5.73)

Необходимые для расчетов константы фильтрования иСопределяют опытным путем. Для этого замеряют объемы фильтратаVи время τ, в течение которого собраны эти объемы, затем уравнение, связывающее скорость фильтрованияdV/dτ и время фильтрования τ, представляют в виде уравнения прямой линии и графически определяют константы.

Например, выражение (5.73) после дифференцирования можно записать таким образом:

либо

– скорость фильтрования в данный момент, откуда

(5.74)

В координатах dτ/dV–Vлибо Δτ/ΔV–Vуравнение (5.74) представляет собой прямую линию (рис. 5.21) с тангенсом угла наклона, равным tgα = 2/K.

Второе слагаемое в (5.74) представляет собой отрезок, отсекаемый от оси ординат:

Рисунок 5.21 – График для определения констант фильтрования KиСпри Δp = const

Для графического определения константKиС на оси ординат откладывают величину, обратную скорости фильтрования, а по оси абсцисс – объемы собранного фильтратаV. Экстраполируя построенную по опытным точкам прямую до пересечения с абсциссой, находят значение константыС, а по тангенсу угла наклона прямой – значениеK.

Если есть опытные значения объемов фильтрата V₁иV₂, полученные за времяи, константыKиСмогут быть вычислены при решении системы уравнений:

. (5.75)

Фильтрование при постоянной скорости процесса. В этом случае систему (5.75) используют для определения давления, необходимого для обеспечения заданной скорости фильтрования.

Поскольку , то (5.68) преобразовывают до вида:

(5.76)

Выражение (5.76) показывает, что приV/τ = constразность давлений возрастает по мере увеличения продолжительности фильтрования.

Рисунок 5.22 – График для определения констант фильтрования kиСприw_ф= const.

КонстантыkиСпо аналогии с предыдущим случаем (когда фильтрование протекало при Δp = const) могут быть также определены графически, если уравнение (5.76) представить в виде прямой линии в координатах Δр–τ (рис. 5.22), а объем фильтратаVвыразить через скорость фильтрования (V =w_ф∙τ):

(5.77)

В данном случае тангенс угла наклона прямой равен k, а отрезок, отсекаемый от оси ординат,

При заданной скорости фильтрования w_ф, пользуясь формулой (5.77), можно рассчитать давление, которое необходимо обеспечить к моменту времени τ, чтобы скорость фильтрования оставалась в заданных пределах.

Фильтрование при постоянных разности давлений и скорости. Такой вид фильтрования имеет место, когда чистая жидкость фильтруется через слой осадка постоянной высоты и при постоянной разности давлений (промывка осадка, например).

Если уравнение (5.74) решить относительно τ прито получим:

(5.78)

где τ – время, за которое чистая жидкость (промывная вода) объемом Vпрошла через фильтр и неизменяющийся по высоте слой осадка.

Так рассчитывают время промывки осадка либо скорость промывки:

Константы фильтрования KиС определяются так же, как и в случае фильтрования при постоянном давлении.

На большинство фильтров, работающих под давлением, суспензия на фильтрование подается центробежным насосом, вследствие чего фильтры редко работают только при постоянном давлении или при постоянной скорости процесса. В соответствии с рабочей характеристикой насоса процесс фильтрования обычно протекает при постоянной скорости в начальный период, а в дальнейшем – при постоянном давлении. Насосы с крутой характеристикой «напор – производительность» в течениелюбого периода цикла не поддерживают постоянную скорость или постоянное давление. Фильтрование в этом случае протекает при возрастающем давлении и уменьшающейся скорости. Поэтому предпочтителен выбор насоса с нормальной характеристикой. Уравнения (5.69)–(5.78) выражают связь между скоростью фильтрования, движущей силой и сопротивлением при различных режимах фильтрования, но они не отражают влияния физических свойств фильтруемой смеси и фильтрующей перегородки.

Зависимость скорости фильтрования от физических свойств фильтруемой смеси и фильтрующей перегородки. При фильтровании жидкость (фильтрат) перемещается через пористый слой осадка в пространстве между частицами. Это пространство можно рассматривать как систему сообщающихся пор переменного сечения. Поскольку частицы обычно малы, поры имеют небольшие размеры и движение жидкости в них ламинарное. Длина и форма пор определяется размерами и формой частиц. Простейшая модель движения жидкости через слой осадка может быть получена, если представить этот слой в виде системы пор одинакового диаметра. Тогда сопротивление слоя осадка можно записать в соответствии с уравнением Дарси–Вейсбаха (1.59):

где h_о – высота слоя осадка;d_экв – эквивалентный диаметр пор;w_п – скорость движения жидкости в порах;ρ– плотность жидкости.

Коэффициент трения λпри ламинарном режиме движения жидкости обратно пропорционален критерию Рейнольдса:

Сопротивление слоя осадка высотой h₀= l м:

(5.79)

Скорость жидкости в порахw_пможно выразить через скоростьw, отнесенную ко всему сечению слоя:w = ε∙w_п(ε – порозность слоя осадка).

Эквивалентный диаметр пор d_эквсвязан с объемом порV_пи их поверхностьюF_п соотношением

, (5.80)

где F – суммарная площадь сечения пор; П – смоченный периметр всех пор в слое.

Объем пор в единице объема слоя, а поверхность пор(d –диаметр частиц,n – число частиц в единице объема слоя). Число частицправно отношению объема частиц в слое (1 – ε) к объему одной частицы, равной (d³)/6, поэтому, а.

Следовательно,

(5.81)

Для несферических частиц вводится поправка в виде коэффициента формы , тогда

Если в (5.79) подставить полученное выражение для d_экв, то:

(5.82)

Последнее уравнение показывает, что скорость фильтрования при прочих равных условиях прямо пропорциональна квадрату диаметра частиц, составляющих слой осадка, и обратно пропорциональна вязкости жидкости:

Константа kв формуле (5.82) по данным разных авторов принимает значения в пределах 150÷200.

Сопоставление уравнений (5.79) и (5.82) приводит к выражению, связывающему сопротивление осадка rс его характеристиками:

либо(5.83)

где r_о– удельное сопротивление осадка.

Поэтому уравнение, описывающее кинетику фильтрования, представляют обычно в виде:

(5.84)

где F – поверхность фильтра; dV – объем фильтрата, полученного за времяdτ. Высота слоя осадка на фильтреh_озависит от объема, прошедшего через него фильтрата и от содержания твердой фазы в разделяемой смеси. Эта связь выражается соотношением:

или

(x₀ – отношение объема осадка к объему фильтрата).

С учетом этого (5.84) приобретет вид

(5.86)

Равенство (5.86) является основным уравнением фильтрования. Путем его интегрирования определяют связь между объемом образующегося фильтрата и продолжительностью процесса, учитывая основные характеристики суспензии (μ,r_о,х_о) и фильтра (F,R_п), а также условия проведения процесса (Δр).

Если пренебречь сопротивлением фильтрующей перегородки R_п= 0,то из уравнения (5.86) удельное сопротивление осадкаr_отаково:

(5.87)

При μ= l Па∙с;h_о = l м иw = l м/с величинаr_о = Δр.

Таким образом, удельное сопротивление осадка численно равно разности давлений, необходимой для того, чтобы жидкость с вязкостью 1 Па∙с фильтровалась со скоростью 1 м/с через слой осадка толщиной 1 м. Для сжимаемых осадков эта величина может достигать значений порядка 10¹²м^–2и более.

В начальный момент фильтрования, когда слой осадка на фильтре еще не образовался, V = 0. Решение уравнения (5.86) при этих условиях дает зависимость

. (5.88)

При μ= 1 Па∙с иw = l м/с величинаR_п = Δp– сопротивление фильтрующей перегородки численно равно разности давлений, необходимой для того, чтобы жидкость с вязкостью 1 Па∙с проходила через фильтрующую перегородку со скоростью 1 м/с. Для ряда фильтровальных перегородок эта величина имеет порядок 10¹⁰м^–1.

Интегрирование равенства (5.86) для различных режимов фильтрования позволяет получить уравнения, аналогичные (5.73), (5.76) и (5.78).

Так, при Δp = const интегрирование (5.86) в пределах от 0 доVи от 0 до τ приводит к выражению

. (5.89)

Согласно полученного уравнения при постоянном перепаде давления продолжительность фильтрования пропорциональна квадрату объема получаемого фильтрата.

При Δp = const для фильтра данной конструкции и данной фильтровальной перегородки все входящие в уравнение (5.89) величины, кромеVи τ, постоянны, поэтому его можно представить в виде

где , а.

Константы СиКопределяют по опытным данным, построив прямую в координатах(см. рис. 5.21). В данном случае тангенс угла наклона прямой будет соответствовать, а отрезок, отсекаемый от оси ординат

По определенным из графика значениям tgαиАвычисляютr_оиR_п(x_oнаходят непосредственно из опыта, замерив объем осадка и фильтрата).

Интегрируя уравнение (5.86) при постоянной скорости фильтрования (dV/dτ = const), получим:

(5.90)

С учетом того, что , (5.90) можно переписать:

. (5.91)

В координатах уравнение (5.91) выражает прямую, поэтому константы определяются также, как и в предыдущих случаях.

Если и, уравнение (5.86) переписывается в виде

.

Заменив в последнем выражении эквивалентной величинойh₀, получим:

(5.92)

Опытные наблюдения и полученные уравнения показывают, что скорость фильтрования при любом режиме процесса обратно пропорциональна вязкости фильтрата. Вязкость же большинства жидкостей заметно понижается с увеличением температуры. Поэтому повышение температуры даёт возможность вести процесс при более высоких скоростях. Так, если фильтратом является вода, то повышение температуры от 20 до 60 °С увеличивает скорость фильтрования вдвое. Вязкость фильтрата можно также уменьшить, разбавляя исходную суспензию растворителями с небольшой вязкостью.

Даже небольшие изменения размеров частиц разделяемой смеси влияют на значение скорости фильтрования. Уменьшение размера частиц приводит к понижению скорости и увеличению содержания влаги в осадке. Для обеспечения заданного размера частиц следует избегать их изменения при перемешивании и транспортировке насосом. С целью флокуляции тонкодисперсных частиц и образования более крупных англомератов, дающих осадок с меньшим сопротивлением, смесь предварительно подвергают химической или термической обработке. Иногда таким образом можно перевести неразделяемую суспензию в разделяемую (например, шлам сточных вод коагулируется квасцами или хлористым железом).

Если пренебречь сопротивлением фильтрующей перегородки, то скорость фильтрования обратно пропорциональна отношению количества твердых частиц количеству фильтрата, а скорость накопления осадка прямо пропорциональна этому отношению (см. уравнение). Если суспензия перед фильтрованием сгущается, то время, необходимое для ее разделения на данной поверхности фильтрования, будет уменьшаться пропорционально уменьшению отношения количества фильтрата к количеству твердой фазы.

Важным фактором, определяющим скорость фильтрования, является толщина слоя осадка. Средняя скорость фильтрования обратно пропорциональна количеству отложившегося осадка. Максимальная скорость процесса достигается при толщине слоя осадка, приближающейся к нулю. Однако, учитывая трудность съема тонкого слоя осадка и затрату времени на чистку фильтра, процесс фильтрования ведут при значительной толщине слоя. Если сопротивление осадка невелико по сравнению с сопротивлением фильтрующей перегородки, то оптимальная толщина слоя осадка при фильтровании возрастает.

Скорость фильтрования во многом зависит от пористости фильтрующей перегородки, ее способности к закупориванию. Размер пор фильтра должен быть настолько большим, насколько это возможно для уменьшения быстрого закупоривания, и настолько мал, насколько это необходимо для предотвращения прохождения через фильтр тонкодисперсных твердых частиц. Толстые жесткие фильтры склонны к закупориванию в большей степени, чем тонкие гибкие.

Полученные кинетические закономерности процесса фильтрования справедливы для несжимающихся осадков. В слое несжимающегося осадка давление изменяется линейно от его значения на фильтрующей перегородке до значения на наружной стороне осадка. В результате, наибольшие усилия сжатия испытывают слои осадка, непосредственно прилегающие к фильтру. Если осадок сжимаем, то в наибольшей степени деформируются ближайшие к фильтровальной перегородке слои. За счет сжатия уменьшается пористость осадка и возрастает его удельное сопротивление. Следовательно, удельное сопротивление сжимаемого осадка возрастает по направлению от его наружной поверхности к перегородке. За счет этого изменение давления в слое отклоняется от линейной зависимости. Изменение давления, а следовательно, пористости и удельного сопротивления по толщине слоя осадка зависит от его свойств. Экспериментально определять изменения свойств осадка по его толщине очень сложно. Поэтому при расчете процессов фильтрования с образованием сжимаемого осадка используют уравнения, описывающие кинетику процессов фильтрования с образованием несжимаемых осадков, и средние значения удельного сопротивления осадка и сопротивления фильтрующей перегородки. Возникающая при этом погрешность относительно невелика (10 %). Она тем ниже, чем меньше сопротивление фильтрующей перегородки по сравнению с сопротивлением осадка. Удельное сопротивление сжимаемого осадка выражают обычно в виде степенной функции от разности давлений Δр:

или, (5.93)

где r_х – удельное сопротивление осадка при любом перепаде давления;r_о – удельное сопротивление осадка при перепаде давления в опыте; Δр_х – отношение рабочего перепада давления к перепаду давления в опыте;а,m,n – коэффициенты, определяемые опытным путем.