5. Гидродинамическое подобие

Для получения конкретных расчетных зависимостей в гидравлике большое значение имеет эксперимент, проводимый на моделях различного масштаба. Обобщение результатов исследований производят методами теории подобия, которые позволяют установить общие условия подобия явлений, что дает возможность использовать полученные на моделях результаты в разных условиях их практического применения.

В соответствии с теорией подобия у подобных потоков должно существовать подобие геометрических размеров, полей физических величин и свойств системы на ее границах.

При геометрическом подобии должно быть постоянным отношение любых соответственных линейных размеров для рассматриваемых потоков. Следовательно, если для одного потока какой-то линейный размер (например, диаметр трубы) будет l_l, а для второго потока соответствующий размерl₂, то их отношениеl_l/l₂=K_lдолжно быть таким же и для других линейных размеров. Для площадей будет выполняться соотношение, а для объемов.

Физическое подобие подразумевает пропорциональность различных характеристик в соответственных точках рассматриваемых потоков (например, скоростей, давлений и т. п). Так, если скорости в соответствующих точках обоих потоков будут w₁иw₂соответственно, то, т.е. масштаб скоростей. Аналогично масштаб ускорений.

Если в рассматриваемом процессе свойства системы изменяются во времени, то масштаб времени указывает на то, что частицы жидкости в рассматриваемых потоках проходят геометрически подобные траектории за промежутки времени, находящиеся в постоянных соотношениях.

Подобие геометрических и физических параметров является необходимым, но недостаточным условием адекватности потоков. Необходимо еще подобие действующих сил (инерции, давления, трения и т.д.).

Обозначив действующие в соответствующих потоках силы черезР₁иР₂, получим:

;

,

откуда

(1.73)

Последнее уравнение выражает условие динамического подобия. Безразмерные соотношения разнородных физических величин называют критериями подобия.

Если в движущихся потоках жидкости превалируют силы вязкости, то из уравнения (1.73) можно получить следующее соотношение

либо. (1.74)

Полученный критерий является критерием Рейнольдса. Следовательно, в случае значительного влияния вязкости жидкости на течение потока условие динамического подобия сводится к обеспечению постоянной величины критерия Рейнольдса в сходственных точках системы.

Если движение жидкости обусловлено действием в основном силы тяжести, то в этом случае , и уравнение (1.73) примет видили, после упрощений,

(1.75)

Это выражение носит название закона подобия Фруда, а безразмерная величина называетсякритерием Фруда.

При решающем значении сил поверхностного натяжения , выражение динамического подобия принимает вид

, или. (1.76)

Безразмерная величина носит названиекритерия Вебера.

Если основное влияние оказывают силы давления, , то

, или. (1.77)

Полученный критерийназываюткритерием Эйлера.

Критерии гидродинамического подобия могут быть получены из дифференциальных уравнений Навье-Стокса путем деления всех действующих сил на силы инерции.

Для двух подобных потоков, движущихся вдоль оси х:

;

.

Произведя соответствующие замены для некоторых величин (x=l,=l/w,X =g), вычеркнув знаки операторов, получим:

при отношении сил давления к силам инерции:

;

при отношении сил тяжести к силам инерции:

;

при отношении сил вязкости к силам инерции:

.

Равенство полученных критериев для рассматриваемых потоков является необходимым и достаточным условием их гидродинамического подобия.

Таким образом, функциональная зависимость между отдельными физическими величинами, входящими в уравнение Навье – Стокса, может быть выражена в виде зависимости между критериями подобия:

. (1.78)

Явный вид полученной функциональной зависимости между критериями определяется опытным путем. Обычно эта функциональная зависимость представляется в виде графика или в виде степенных функций. При постановке опыта можно изменять не все физические величины в отдельности, а критерии подобия.

Влияние каждого из критериев Re и Fr на течение потока может быть различно. При установившемся потоке в зависимости от того, какая сила является превалирующей, ограничиваются зависимостью либо.

В случае неустановившихся потоков жидкости для установления их подобия пользуются критерием гомохронности:

. (1.79)

При изучении процессов, не описываемых даже дифференциальными уравнениями, используют другие, менее надежные методы вывода критериев подобия (метод анализа размерностей, например).

Кроме указанных критериев гидродинамического подобия, используют также производные критерии, которые получают путем сочетания нескольких. Так, например, путем сочетания Re и Fr получают критерий Галилея(Ga), выражающий соотношение сил трения и тяжести:

. (1.80)

Критерием Галилея удобно пользоваться в тех случаях, когда непосредственное измерение скорости в движущейся жидкости невозможно. При естественной конвекции, когда движение происходит в результате разности плотностей жидкости в двух различных точках потока, используют критерий Архимеда(Ar):

. (1.81)

Обычно одновременное равенство различных критериев подобия в изучаемых потоках невозможно, и потому при моделировании учитывают лишь те критерии, которые отражают влияние основных сил, действующих в потоке. Так, при перекачивании жидкости насосомпо трубопроводу влияние силы тяжести можно не учитывать и исключить поэтому из рассмотрения критерий Фруда. Общий вид зависимости при вынужденном движении жидкости по трубопроводу в этом случае имеет вид:

, (1.82)

где l – длина рассматриваемого участка трубопровода;d – диаметр трубопровода; коэффициентСи показатели степениа и bопределяют в результате обработки данных эксперимента.