Математика для економістів Ден.. 2010 ч

19. Знайти область збіжності ряду:	(x 1)	2n
			.
	n9n
n 1

20. Яку суму отримав у розпорядження боржник, якщо він сплатив кредитору

24000 грн. за 2 роки під декурсиівну ставку 20% річних простих?

Варіант № 4

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	y z	5,
2x	z	3,
x y	z	1.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 1 1

0 4 1 .

01 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(1, 2,3),

B(0, 1,2),

C(3, 4,5).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (2,1,4),

A2 ( 1,5, 2),

A3 ( 7, 3,2),

A4 ( 6, 3,6).

4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y 2 3x і y 3 16x5 , де x - лількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться прожад у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС:А (3,7,1), В (1,1,2),С (0,4,3).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6.

Обчислити границі:

(1

n)4

(1

n)4

lim

n

1 n 2

а)

lim

.; б)

lim( (n2

1)(n2 4)

n4

9) ; в)

. ; г)

3

3

n

3

n

(1

n)

(1

n)

n

n

(2x2

x

1)2

lim

. ; д) lim

x

13

2

x 1

.

x3 2x2

x 2

x2

9

x 1

x 3

7.

Продиференціювати вказані функції:

1

x

arcsint

а) f (x)

; б)

1

; в) xy3

ln x2

cos y

0 .

y

(x

3)(x

2)(x

1)

sin2 t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

4x2

y 3 x2 .

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)cos151 ; б) 65 .

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z 4x2 y 2 10x у замкнутій області, обмеженій гіперболою x2 y2 9 та

прямою x 5 .

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (4x 2) cos2xdx. ; б)

x2

ln x2

dx. ; в)

x3

6x2 14x

10

dx.

x

(x 1)(x 2)3

12. Знайти визначені інтеграли

2

3

e

2

dx

а)

x

dx

.; б) ln3

xdx;

в)

.

0 x2 4

x

1 2

1

1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Ох):

y

5cos x, y

cos x,

x

0, x

0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

10

x2 6dx .

0

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а)

3

y 2 dx

ydy

x2 ydy. ; б)

xy

x2

y 2

y.;

в) y

ytgx

cos2 x, y(

/ 4)

1

.; г) (2x

1

y

)dx

(2x

1

)dy 0.

x 2

2

x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

3y

3y

y

2x.

Обчислити

(18x2 y 2

32x3 y3 )dxdy; D : x

x3 , y

17.

1, y

3 x.

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

10n n!

а) n 1

. ; б)

1 n2

1

( 1)n

.

(2n)!

1

.; в)

n 1

n

4n

n 3 n ln n ln ln n

19.

Знайти область збіжності ряду:

1 n n

1

(x

7)n .

n 1 n

3 2 2n 1

20. Надано 3-річний споживчий кредит на суму 360 тис. грн. під 45% річних за умови щомісячного погашення. Визначити суму щомісячного платежу та кінцеву суму боргу.

Варіант №5

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	y	4z 5,
x	z	0,

y4z 5.

2.Знайти власні значення і власні вектори матриці:

6 2 1

1 5 1 .

12 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A( 4,0,4),

B( 1,6,7),

C(1,10,9).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (0, 1, 1),

A2 ( 2,3,5),

A3 (1, 5, 9),

A4 ( 1, 6,3).

4.Прибуток від продажу 10 одиниць деякого товару становить 50 грн., 20 од.

–200 грн. Визначити прибуток від продажу 100 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС: А(-2,5,1), В(4,3,2), С(5,6,3).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(6 n)2

(6 n)2

n5 8 n n(n2

5))

а)

lim

. ; б)

lim

;

(6

n)

2

(1

n)

2

n

n

n

2n2

2

n2

(x2

2x 3)2

3

x 6 2

в) lim

. ; г)

lim

. ; д)

lim

.

n

2n2

1

x

3

x3

4x2

3x

x 2

x3

8

7. Продиференціювати вказані функції:

а) f (t)

t 3

2t

; б)

x

arcctgt2

; в)

arcsin x y 2

ln xy

cos x

0 .

t 2

y

e2t

ctgt

t

1

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

12x

.

9

x2

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

	a) arctg1,15 ;	б)	50 .
	10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:
	z 9x2 2 y2 3 у замкнутій області, обмеженій еліпсом		x2		y2
						1.
					9

ІІ семестр

11.

Знайти невизначені інтеграли:

а)

(4 16x) sin 4xdx. ; б)

xdx

. ; в)

x3

6x2

11x

10

dx.

x 4

x 2

1

(x

2)(x 2)3

12.

Знайти визначені інтеграли

2

x

cos x

x3 sin xdx ; в)

dx

а)

dx.; б)

.

x2

2sin x

0

2

x ln x

13.

Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Ох):

y

sin2 x, x

/ 2, y

0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок

10

x2

поділити на 10 частин

5dx .

0

15.

Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

2 y

y 2

6

y

3. ;

а) 6xdx 6 ydy

2x 2 ydy

3xy2 dx.; б)

x2

x

в) y

y

x2

2x, y( 1)

3

. ; г) ( y 2

y sec2 x)dx

(2xy

tgx)dy 0.

x

2

2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V y 5(x 2)2 .

17.

Обчислити (27x2 y 2

48x3 y3 )dxdy; D : x

x2 , y

3

1, y

x (x

0).

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

2n

2 !

. ; б)

2n 1 n2

а) n 1

2n2

.

2n 3n 5

. ; в)

( 1)n

n 1

3n 2

n 1

n4

n2

1

19.

Знайти область збіжності ряду:

1 n 1

(x

2)2n .

n 1 2n

20. Надано споживчий кредит величиною 2000 грн. під 25% річних. Якою буде сума разового погашувального платежу, якщо планується сплачувати борг протягом одного року щоквартально.

Варіант №6

І семестр

1. Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	3y	z	2,
2x	у	3z	3,
2х	у	2z	8.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 1 1

2 2 1 .

2 1 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0,1,0),

B(0,2,1),

C(1,2,0).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (5,2,0),

A2 (2,5,0),

A3 (1,2,4),

A4 ( 1,1,1).

4. Витрати виробництва 20 одиниць деякого товару складають 100 грн., а 300

одиниць – 500 грн. Визначити витрати виробництва 100 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (- 2,-3,1), В (2,1,2),

С

(6,-1,3). Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б)

довжину

висоти АД;

в) внутрішній кут С у

радіанах

з

точністю

до

0,01;

г) площу трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n

1)3

(n

1)2

а) lim

. ;б) lim(

n2

3n

2

n) ;

(n

1)

3

(n

1)

3

n

n

3n2

6n

7

n 1

(x3

2x

1)(x

1)

4

x

2

в) lim

. ; г) lim

. ;д)

lim

.

3n

2

20n 1

x

4

4x

2

5

n

x

1

x 16

x 4

7. Продиференціювати вказані функції:

3

x

t 3

5

ln cos x 2 xy2 10 0 .

а) f (t)

; б)

; в)

y

1

t

2

2t

3

(1

)(1

)

y

t 2

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x2

3x 3

.

x

1

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)lg11 ; б) 35 .

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z xy y2 5y 2 у замкнутій області, обмеженій параболою x y2 та

прямою x 4 .

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (5x 2)e3x dx. ; б)	(arccosx)3		1	dx. ; в)	x3	6x2	11x 7	dx.
					(x	1)(x	2)3
		1 x 2

12. Знайти визначені інтеграли

/ 4	2 cos x	3sin x		a			3	xdx
					a 2 x 2 dx ; в)
а)			dx. ; б)						.
	(2sin x	3cos x)3						x 2 1 2
0				0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Ох):

x 3 y 2, x 1, y 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

9

поділити на 10 частин:

x 2 2 .

1

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3y3

4 yx2

xy

. ;

а) x 3 y 2 dx y 2 x2 dy 0. ; б)

2 y 2

2x2

в) y

y

y e x (x

1), y(0) 1. ; г) (3x

2

y 2 y 3)dx

(x

3

2x 3y

2

)dy 0.

x

1

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 2 y y 2x(1 x).

17. Обчислити (18x2 y 2

32x3 y3 )dxdy; D : x

x2 (x 0).

1, y

3 x, y

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n

5

2

n

sin n .

2n

2

n

( 1)

n!

3 ; б)

а) n 1

n3.; в)

.

3n 1

n 1 ln n

n 1

n 3

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

1

(x

2)2n .

2n

n 1

20. Позичку у 200 тис. грн. надано під 20% річних простих на 1 рік.

Визначити суму відсотків та суму кінцевого платежу. Якою буде сума кінцевого платежу, якщо через 4 місяці ставку збільшили до 25%?

Варіант №7

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	2 y	z	27,
	4x	y 39,
x	4 y	3z	35.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

2 0 1

1 1 1 .

1 0 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(1,4, 1),

B( 2,4, 5),

C(8,4,0).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (2, 1, 2),

A2 (1,2,1),

A3 (5,0,	6),
A4 ( 10,9, 7).
4. Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються
функціями y 100 50x і y 150 25x , де	x - відстань перевезення в сотнях

кілометрів, а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити,

починаючи з якої відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (-3,3,1), В (3,10,2), С (4,7,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ;б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

(1

2n)3

8n3

n2

3n

6 n / 2

а)

lim

. ;

б)

lim(n 3

4 n3 ) ;

в)

lim

. ; г)

2

2

n

2

5n

1

n

(1

2n)

4n

n

n

(1 x3 )

lim

(1

3x)

. ; д) lim

9 2x

5

.

x

x

5

3

x

0

x

8

x

2

7. Продиференціювати вказані функції:

x

2

x

1

x

2 ln t

2

а)

f (x)

; б)

; в) ecos x e xy

arcsin y

0 .

x3

1

4t 5

3t 4

y

7

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

4

x3

.

x2

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)ln3; б) 145 .

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z y 2x 2 3x у замкнутій області, обмеженій параболою y x2 та прямою y 1.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (1

6x)e2 x dx. ; б)

tgxln cos xdx. ; в)

2x3

6x2

7x 1

dx.

(x

1)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

1/ 2 8x

arctg2x

4

1

xdx

а)

dx.; б)

16 x2 dx ;

в)

.

x2 1 2

0

1 4x2

0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Ох):

y xex , y 0, x 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

	11
поділити на 10 частин		x2 5 .
	1

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

y

x

2y

.

2 x

2 x

y

(e

5)dy

ye

dx 0. ; б)

2x y

а)

; в)

y

x sin x, y(

/ 2)

1. ; г)

x

(

x

1

1

)dx (

y

1

x

)dy 0.

x2

y 2

x y

x 2

y 2

y y 2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

2 y

y

x 2

x

1.

17. Обчислити

(18x2 y 2

32x3 y3 )dxdy; D : x

x3 , y

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

1

arctg

5

.

3 n2

( 1)n

4n

а) n 1 n!

n ; б)

. ; в)

.;

n 1

5n 1

n 3

n ln n 1

19. Знайти область збіжності ряду

(n 5)2n

1

.

n 1

3n

8

20. Якою буде кінцева сума боргу та відсотки, якщо в угоді передбачено за перші два роки нарахування 20% річних, а в наступні два роки ставка відсотків збільшується щорічно на 5%? Початкова сума боргу становить 100 тис. грн.

Варіант №8

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

3x	z	5,
x	у	2z 3,
х	2 у	2.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

21 0

12 0 .

11 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .