Математика для економістів Ден.. 2010 ч

(n

6)3

(n

1)3

а)

lim

. ; б) lim n( n 2

n

3) ;

(2n

3)

2

(n

4)

2

n

n

2n2

n3

x3

5x2

7n 1

8x 4

3 9x 3

в) lim

. ; г)

lim

. ; д) lim

.

2n

2

3n 1

x

3

3x

2

4

n

x 2

x

3

3 x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

3

x

ctgt

; в) ysin x2

xcosy2

а) y 2 4x 3)

;

б)

1

7 0.

x

5

x 1

y

sin2 t

5

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x

1 2

.

x

1

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)cos 590; б) 195.

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z	x2	y2	xy	x y у замкнутім трикутнику, обмеженому прямими x 1,
y	0,	x	3y	6 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

				1 ln(x 1)	dx. ; в)
	а) arctg 5x 1dx. ; б)
				x 1

12. Знайти визначені інтеграли

а)	3	1			x		dx. ; б)	4	/ 3 cos	x	dx ;
										4
			x (x		1)
	1							2	/ 3

	3x3	9x2	10x 2		dx.
	(x	1)(x	1)3
	10	dx
	в)			.
		x 4	2
	4

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Ох):

ysin 2x , y x2 .

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 6 частин

6

x2 15dx .

0

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а)

5 y 2

yy 1 x2 0. ; б) xy 3 x2

y 2

y. ;

xex

y

dx

1

dy

0.

y

в)

y

3x, y(1) 1. ; г)

x

2

x

x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y y 4x 2 3x 2.

17.

Обчислити

4

xy 9x 2 y 2 dxdy; D : x

x3 .

1, y

x , y

D

5

18.

Дослідити на збіжність ряд:

n!

n

.

2n

1

( 1)n

n 1 n

n

1

2

а)

; б)

.

; в)

.

3n

1

1 3

n 1

n

3ncso 3n

19.

Знайти область збіжності ряду:

n

1

(x

4)2n .

3n

1

3

n 1

20. На внесену щорічно ренту (400 тис. грн.) банк за ставкою 20% щорічно нараховує складні відсотки. Визначити суму коштів через 10 років.

Варіант №17

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x z 21, y z 12,

x y 2z 25.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 6 6

2 3 2 .

2 2 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(6,2, 3),

B(6,3, 2),

C(7,3, 3).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 1,2, 3),

A2 (4, 1,0),

A3 (2,1, 2),

A4 (3,4,5).

4.Прибуток від продажу 10 одиниць деякого товару становить 10 грн., 20 од.

–25 грн. Визначити прибуток від продажу 100 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5.Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,6,6), В (6,- 2,2),С (- 3, -

4,4). Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ;б) довжину висоти АД;

в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6. Обчислити границі:

а)

lim

(2n

3)3

(n

5)3

. ; б) lim

n(n5 9)

(n4

1)(n2 5)

;

(3n

1)

3

(2n

3)

3

n

n

n

n 3 n 4

x3

6x

2

12x 8

3

в)

lim

. ; г)

. ; д)

x 6 2

lim

lim

.

n

5

x

3

3x

2

4

x

2

n

x 2

x

2

7. Продиференціювати вказані функції:

x

t 5

4

в) xy5 e x2 y 10x 0 .

а) y

x2

1)

3 x3

1 ; б)

y

1

;

t

2

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

3x4

1

.

x3

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)sin1810 ; б) 290.

10.Розв‟язати задачу: розділити число 12 на такі три частини, щоб їхній добуток був найбільшим.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (5x 6) cos2xdx. ; б)

(x2

1)dx

. ; в)

2x3

6x2

7x

4

dx.

(x3

3x

1)5

(x

2)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

2

8

dx

(x 2

1)3 xdx ; в)

dx

а)

. ; б)

.

0 x 2

x x 2

1

x 2

3

1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Оу):

y

arccos

x

, y

arccosx, y

0.

3

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

10

поділити на 10 частин

x 2

36dx .

0

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

yx2 dy 3xy2 dx. ; б) 2 y

y 2

8

y

8.;

а)

6xdx

ydy

x2

x

в)

y

2xy

1

x2 , y(1)

3. ;

1

x2

10xy

1

dx

5x2

x cos y

y 2 sin y3

dy

0.

sin2

y

г)

sin y

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

3y

3y

y

x 3.

17. Обчислити:

48x3 y3 )dxdy; D : x

x2 , y

(24xy

1, y

x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n! 2

.

2

n

1

(

1)

n 1

n

а) n 1 3 1 2n ! ; б)

. ; в)

.

n 1 nn

3 2 n

n 1

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

(x

6)n

.

1 n

3 2n

n

20. На внески банк нараховує 20% річних. Інфляція складає 10% в рік.

Процентні суми нараховуються один раз у рік за формулою складних відсотків.Яка реальна сума буде нагромаджена за 8 років, якщо розмір внеску дорівнює 120 тис.

грн.

Варіант №18

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x y z 2, 2x 3y z 5,

х у z 7.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

13 2 2

6 9 6 .

22 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0,0,4),

B( 3, 6,1),

C( 5, 10, 1).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (4, 1,3),

A2 ( 2,1,0),

A3 (0, 5,1),

A4 (3,2, 6).

4. Витрати виробництва 40 одиниць деякого товару складають 120 грн., а 400

одиниць – 560 грн. Визначити витрати виробництва 160 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (2,2,2), В (1,7,6), С (- 4,-

2,2). Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД;

в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

а)

lim

(2n

3)3

(n

5)

3

. ; б) lim

n(n5 9)

(n4

1)(n2

5)

;

(3n

1)

3

(2n

3)

3

n

n

n

n 3 n 4

x3

6x2

в)

lim

. ; г)

lim

12x 8

. ; д)

lim

3 16x 4

.

n

5

x

3

3x

2

4

n

x

2

x 4

4 x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

			1						x	ln cost	; в) x3 ln y y 4 ln x e xy 10 0 .
а)	y					55 x3 1 ; б)
										1 sin2
			x2
				1					y		t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

4x

y (x 1)2 .

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі

значення: a) ln2,7;	б) 360.

10.Розв‟язати задачу: з усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають суму довжин ребер 48 м знайти паралелепіпед з найбільшим об'ємом.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (3x 2) cos5xdx. ; б)

4arctgx

x

dx.; в)

2x3

6x2

5x

dx.

1 x2

(x

2)(x

1)3

12. Знайти визначені інтеграли

e 1

ln x

3 3 / 4

dx

dx

а)

dx. ; б)

; в)

.

x

1 x2

/ 2 3 2x2

1

3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Оу):

yarcsin 5x , y arcsin x, y 2 .

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

6

x 2 40dx .

4

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

3y3 10yx2

xy

. ; в)

1

2x

а) y ln y xy 0.; б)

2 y 2

5x2

y

y 1, y(1) 1. ;

x2

y

e x

dx

xdy

dy 0.

г)

x2

y 2

x2

y 2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 2 y

y 12x 2 6x.

17.

Обчислити: (6xy 24x3 y3 )dxdy; D : x 1, y

x2 .

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

а) n 1 n!sin

. ; б)

2n 1

2n

n2 sinn

. ; в)

( 1)n

.

n

1

2n

n 1

3n

19.

Знайти область збіжності ряду:

n5

(x

5)2n

1.

n 1 n

1 !

20. Обчислити суму, яку потрібно внести на рахунок в банку, щоб виплачувати протягом 4 років наприкінці року додаткову пенсію в сумі 1000 грн.

Банк нараховує відсотки в кінці року в розмірі 8% складних річних.

Варіант №19

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x 2 y z 14, 2x y 5z 2, 2 y 3z 24.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

7 2 2

4 5 2 .

0 0 3

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2, 8, 1),

B(4, 6,0),

C( 2, 5, 1).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4			і його
висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .
А1 (1,	1,1),
A2 ( 2,0,3),
A3 (2,1,	1),
A4 (2,	2,	4).
4. Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються
функціями y 180 60x і y 190 30x , де	x	- відстань перевезення в	сотнях

кілометрів,

а

y

-

транспортні

витрати

в

грошових

одиницях.

Визначити,

починаючи з якої відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5.

Подані координати вершин трикутника АВС: А (-1,3,0), В (2,0,0), С (4,-

1,2). Знайти: а) довжину та

рівняння

медіани СЕ; б)

довжину

висоти АД;

в) внутрішній

кут

С

у радіанах

з

точністю

до 0,01;

г) площу трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

а) lim

(n

10)2

(3n

1)2

. ; б)

n) ; в) lim

n3

1 2n n3

.;

lim(

n(n

5)

3

(n

6)

3

(n

1)

3

n

1

n

n

n

x3

5x2

г)

lim

8x

4

.; д)

lim

9

2x

5

.

x3

7x2

16x 12

3 x2

x

2

x 8

4

7.

Продиференціювати вказані функції:

x

3cos3 t ;

а) y

ln x

1

x3

ctg

17x2

; б)

в) x3 y 2 y

arctgy 0 .

y

6sint

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

8(x 1)

.

(x

1)2

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)lg9 , б) 37 .

10.Розв‟язати задачу: визначити розміри прямокутного басейну обсягом

32м2 , щоб на його облицювання (дна та стін) потрібно було б витратити найменшу кількість матеріалу.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

			x3			2x	3	6x2	7x	dx.
а) (x 2 3) cos2xdx.; б)					dx.; в)
			x2	4		(x		2)(x	1)3

12. Знайти визначені інтеграли

	2			dx					xdx
а)						. ; б) x sin xdx ; в)				.
			x					x4	x2 1
				x2 1
		2					0
				0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Оу):

y x 2 , x 2, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

2,1ln 1		x 2
			dx .
1,1 2x		1

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

	y		x2 3xy y 2	.
			3x2 2xy		3y	2
а)	(1 e x ) y yex . ; б)			; в) y				, y(1) 1. ;
					x		x3
г)	e y dx (cos y xe y )dy	0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y 4 y 32 384x 2 .

17. Обчислити: (4xy 16x3 y3 )dxdy; D : x

3

x3 .

1, y

x, y

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

n

1 !

.

n3

n 3 !

nn

n

а) n 1

; б)

. ; в)

( 1)

.

2 ln n n

2n

n

n 1

19. Знайти область збіжності ряду:

3n

2

(x 3)n .

n

1

2

2

n

n 1

20. Визначте поточну вартість ренти, нагромаджену в результаті щорічних внесків у розмірі 5 тис. грн. протягом 4 років. Процентна ставка – 25%.

Варіант №20

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	y	3z	2,
x	2 y	3z	3,
х	у	2z	1.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

9 0 0

2 7 4 .

22 5

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(3,	6,9),
B(0,	3,6),
C(9,	12,15).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,2,0),

A2 (1, 1,2),

A3 (0,1, 1),

A4 ( 3,0,1).

4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y 15 18x і y 20 20x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш

вигідним становиться продаж у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (6,1,5), В (5,1,0), С (-4,1,-

2). Знайти: а) довжину

та рівняння

медіани

АЕ; б)

довжину

висоти

АД;

в) внутрішній

кут

В у

радіанах

з точністю

до 0,01;

г) площу трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

2n 1

(n 7)3

(n 2)3

n3

1 n2

3

n n4 2

2n2

21n 7

а)

lim

.; б)

lim

; в) lim

. ;

(3n

2)

2

(4n

1)

2

2n

2

18n 9

n

n

2

n

n

x3

3

г) lim

3x 2

; д)

x / 9 1/ 3

.

lim

.

x 2

x 2

x 1/ 3 1/ 3 x

2x

7. Продиференціювати вказані функції:

а) y

x

arcsin x2 ; б)

x

3et

t 3

; в) x 2 cos y

y 2 arcsin x

xy 15 0 .

2t 3

t 2

x3

1

y

1

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y1 2x3 . x2