Математика для економістів Ден.. 2010 ч

y 2 x 2, y 0, y x3 , y 1.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

	4,5 ln 3		x2
				dx .
	3,5	x	3

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а)

3 y 2

1 x2 yy 0. ; б) xy 2 3x2

y 2

y. ;

в) y 2xy

xe x2

sin x, y(0)

1.; г) (x 2

4xy

2 y 2 )dx

( y 2

4xy

2x 2 )dy 0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V

y

x.

17.

Обчислити:

176x3 y3 )dxdy; D : x

x3 .

(4xy

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

3

5

7 ...

2n

1

. ; б)

1 2n

3n

( 1)n

а) n 1 2

5 8 ...

3n

1

n

.; в)

.

4n

2

1 n cos 2 n

4

n 1

n

19.

Знайти область збіжності ряду:

2n

(x

1)3n .

3n

1

3

n 1

20. Нарощена сума склала 10 тис. грн. , відсоткова ставка -5% річних. Строк зберігання грошей – 36 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими і складними відсотками.

Варіант №25

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	3y	4z	14,
	y	z 3,
4x	5y	2z	2.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 0 0

1 2 1 .

1 1 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(7,0,2),

B(7,1,3),

C(8, 1,2).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4		і його висоту,
опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .
А1 (0,	3,1),
A2 ( 4,1,2),
A3 (2,	1,5),
A4 (3,1,	4).
4. Прибуток від продажу 50 одиниць деякого товару становить 50 грн., 100
од. – 200 грн. Визначити прибуток від продажу 500 од. Товару,		за умови, що

функція прибутку лінійна.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (3,5,4), В (8,7,4), С (5,10,5).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут С у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

(n

1)3

(n

1)3

а)

lim

.; б)

lim n3 (3

n2 (n6

4)

3 (n8

1)) ;

2

n

(n

1)

(n

1)

2

n

7n2

n 2

в) lim

18n

15

. ; г) lim

2x2 x

1

. ; д)

lim

1

2x

3x 2

(1

x)

.

7n2

2x2

n

11n 15

x 1 x3

x 2

x 0

3 x

7.

Продиференціювати вказані функції:

x

1

t 2

а)

y

ln ctg10x

esin 2 x ; б)

y

1

;

в)

y sin e x

xy2

x cos2

y

0 .

t

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

x

2

y

.

x

2

9.

Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі

значення:

a) arcctg1,03 ,

б)

48 .

10. Знайти сторони прямокутного трикутника, що має найменший периметр,

якщо його площа дорівнює 64 см 2 .

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (4x

3) sin 5xdx. ; б)

x

1/ x

dx. ; в)

x3

6x2

14x 4

dx.

x 2 1

(x

2)(x 2)3

12. Знайти визначені інтеграли

e

2

1/

2 (arccosx)3

1

ln2 xdx ; в)

dx

а)

dx. ; б)

.

0

1 x2

1

1

x

ln x

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Оу):

y

x3 , y

x 2 .

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,2 ln x2 7

dx .

3,2 x 4

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

xy2 dx. ; б) 4 y

y 2

10

y

5. ;

xdx

ydy

yx2 dy

а)

x2

x

1

x

x

x

1

e y

dx 1

e y

dy 0.

y 2

в)

y

2 y

(x 1)3 , y(0)

1

. ; г)

y

x 1

2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

3y 2 y

x 2

2x

3.

17. Обчислити:

6x 2 y 2

25

x3 y3

x 2 , y

dxdy; D : x

1, y

x.

3

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

1

4 7 ...

3n

2

. ; б)

2n

n2

.; в)

(

1)n sin .

а) n 1 7

9 11 ...

2n

5

n 1

4n

3

n

1

2n

19. Знайти область збіжності ряду:

n3

(x

4)2n

1.

n 1

n

3 !

20. Якою буде реальна купівельна спроможність суми 150000 грн. через 5

років, якщо нараховуються 20% складних відсотків, а прогнозований рівень інфляції становить 15% щороку?

Варіант №26

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	2 y	z	8,
y	2z		9,
2х	у	4z	19.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

5 0 0

1 4 1 .

11 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2,3,2),

B( 1, 3, 1),

C( 3, 7, 3).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 (1,3,0),

A2 (4, 1,2),

A3 (3,0,1),

A4 ( 4,3,5).

4. Витрати виробництва 20 одиниць деякого товару складають 100 грн., а 300

одиниць – 500 грн. Визначити витрати виробництва 100 од. товару за умови, що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (10,6,6), В(-2,8,2), С (6,8,9).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани ВЕ; б) довжину висоти ВД; в) внутрішній кут А у радіанах з точністю до 0,01;г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій ВС.

6. Обчислити границі:

(n

1)3

(n

1)3

2n

1 n 1

а)

lim

.; б) lim(n n

n(n

1)(n

2)) ; в)

lim

. ;

(n

1)

2

(n

1)

2

2n

1

n

n

n

x2

2x

3

г)

lim

. ; д) lim

9

2x

5

.

x

3 x3 4x2

3x

x 8

3 x 2

7.

Продиференціювати вказані функції:

а) y

x 2 cos x

x

; б)

x

3t 5 t

; в) esin x

ecos y exy

11

0 .

1

x 2

y

2 ln t

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x3

32

.

x2

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)sin 92 , б) 365 .

10.Розв‟язати задачу: подати додатне число a у виді добутку трьох додатних співмножників так, щоб сума їхніх обернених величин була найменшою.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (7x

10) sin 4xdx. ; б)

x

1/ x

dx. ; в)

x3

6x2

15x 2

dx.

(x

2)(x

2)3

x 2

1

12. Знайти визначені інтеграли

2

1

cos x

1

0

а)

dx. ; б) ln xdx ; в)

arccosxdx .

(x

sin x)2

0

1

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Оу):

y arccos

x

, y

arccos

x

, y

0.

5

3

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,3ln x 2

5

dx .

3,5

x

3

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

xy

3y3

14yx

2

. ;

а)

5 y 2 dx 4(x2 y y)dy 0. ; б)

2 y 2

7x2

в) y y cosx sin2x, y(0)

3.; г) (3x3

6x 2 y

3xy2 )dx

(2x3

3x 2 y)dy 0.

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

3y

2 y

x 2

2x 3.

17. Обчислити: (9x2 y 2

25x4 y 4 )dxdy; D : x

x2 .

1, y

x, y

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

2n !

.

n

2

n

а)

n 1 2

n

3 ; б)

. ; в)

( 1)n sinn

.

n 1 (2n2

1)n 2

n 1

2n

19. Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

2)n .

n 1

4n

1 2n

20. Позичено 60 тис. грн. під 21% річних простих на 12 місяців. Відсотки нараховуються щомісяця. Розрахуйте кінцеву суму боргу.

Варіант № 27

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x	z	21,
x y	2z	25,
y	z	12.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

6 1 1

2 5 2 .

11 4

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(2,2,7),

B(0,0,6),

C( 2,5,7).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 2, 1, 1),

A2 (0,3,2),

A3 (3,1, 4),

A4 ( 4,7,3).

4. Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються

функціями y 100 50x і y 150 25x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів, а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити,

починаючи з якої відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,8,2), В (5,2,6), С (5,7,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній

кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

(n

2)3 (n 2)3

а)

lim

. ; б)

lim3 n(3 n2

3

n(n

1)) ;

n

n

4

2n

2

1

n

n3

2n2

x3

4

n 1

2x 1

x 2

в) lim

. ; г) lim

.

; д)

lim

.

n3 2

n

x

1 x4

2x 1

x 16 3

(

x 4)

2

7.

Продиференціювати вказані функції:

x

tgt

а) y

arctgx2

x

3 ln x ; б)

y

1

;

в) x3 x 2 y y 3 5 0 .

sin3 t

8.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

4(x 1)2

.

x2

2x

4

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) lg1002 , б) 3 65 .
10. Знайти найбільше значення функції		z	sin x sin y sin( x y) у
трикутнику, обмеженому осями Ох, Оу і прямою x		y	3 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

				arctgx x	dx. ; в)	2x3	6x2	7x 4	dx.
	а) ( 2 8x) sin 3xdx.; б)
								1)3
				1 x2		(x	2)(x

12. Знайти визначені інтеграли

/ 4		5			5dx		1
а)	sin x	cos x	dx. ; б)					; в) x2x dx .
0	(x	sin x)2			25 x	2	1
		0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Оу):

yarcsin x, y arccosx, y 0.

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,6 ln x 2		7		dx .
3,6	x	4

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

x2

xy

5y 2

y

.

1

а) (1

e x ) yy

e x .

; б)

x2 6xy

; в) y

4xy

4x3 , y(0)

. ;

2

(x

y)dx

(x

y)dy

0.

г)

x2

y 2

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

5 y

6 y

(x 1)2 .

50

17. Обчислити:

3x 2 y 2

x 4 y 4 dxdy; D : x

1, y

3 x , y x3 .

3

D

18. Дослідити на збіжність ряд:

3n 2 !

2n

а) n 1

10n n2

. ; б)

n

; в)

(

1)n

sin3n

.

n

.

n 1

3n

1

n

1

3n

19. Знайти область збіжності ряду:

n

(x

4)3n .

4n

1

3

n 1

20. Якою є поточна вартість акції з щорічним девідентом 10 грн., якщо дисконтна відсоткова ставка для подібних акцій складає 10%?

Варіант № 28

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	2 y	3z	4,
2x	y	z	0,
х	у	2z	7.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

9 6 6

2 5

2 .

2 2 13

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

	A( 1,2, 3),
	B(0,1, 2),
	C( 3,4, 5).
2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,
опущену із вершини A4	на грань A1 A2 A3 .
	А1 ( 3, 5,6),
	A2 (2,1, 4),
	A3 (0, 3, 1),
	A4 ( 5,2, 8).
4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається
функціями y 10 15x	і y 15 16x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y -

прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (6,6,5), В (4,9,5), С (4,6,11).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут СА радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(n 1)3

(n

1)2

а) lim

. ; б) lim n

2( n 3

n

4) ;

n

3

3n

n

n

n

3

(1 x)3

13n 3

(1 3x)

3 x 6 2

в) lim

. ; г) lim

. ; д) lim

.

13n 10

x2

x5

n

x 0

x

2 3 x3

8

7. Продиференціювати вказані функції:

1

x

1

sin2 x

tg 3 x2 ;

в) x3 yx 3cos y 0 .

а) y

б)

cost ;

x2

y

tgt

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y	3x	2	.
	x3
9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі
значення:
a) log5 126 ,		б) 4 257 .
10. Знайти найбільше й найменше	значення функції z 2x 2 y 2 на колі
x 2 y 2 4 .

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

а)	xdx	.; б)	x (arctgx)4	dx.; в)	2x	3	6x2	7x	dx.
	cos2 x		1 x2		(x		2)(x	1)3

12. Знайти визначені інтеграли

	/ 2	x cos x sin x		2		1 arcsin x
	а)		dx.; б) x 1 cosxdx ; в)								dx .
		(x sin x)2
						0 1 x			2
	/ 4		0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Оу):

y x 2 2x 1, x 2, y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4,7 ln 2 9

3,7 x 5

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

а) 3(x2 y y)dy				2 y 2 dx 0. ; б) xy 4 x2	y 2 y. ;
в) y	y		ln x	, y(1) 1. ; г) 2(3xy2 2x3 )dx	3(2x 2 y y 2 )dy 0.
	x		x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y|V 6 y 9 y 3x 1.

17. Обчислити: (9x2 y 2 25x4 y 4 )dxdy; D : x 1, y x3 , y 3 x.

D

18. Дослідити на збіжність ряд: