Математика для економістів Ден.. 2010 ч

Розв'язок. Річна плата за кредит складає 14% від суми кредиту, тобто 14 тис. грн.

Оскільки розраховуються прості відсотки при сталій базі нарахування (100 тис.

грн.), щороку нараховується однакова сума (14 тис. грн.). За три роки плата за кредит складе 14*3=42 (тис. грн.). Кінцева сума боргу включає початкову суму боргу та плату за користування грошима: 100+ 42=142 (тис. грн.).

2. Нарощена сума грошей склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка –

4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

Розв'язок. Початкова сума грошей за простими відсотками дорівнює:

	P0	S	6		3.3	тис. грн.
		1 in	1 20 * 4

Початкова сума грошей за складними відсотками дорівнює:

	P0	S		6		2.7	тис. грн.
		1 i	n	1 0.04 20

Завдання

1. Фірмою взято кредит розміром 100 тис. грн. на рік. За умовою контракту відсотки нараховують щокварталу. Щоквартальна декурсивна відсоткова ставка півроку становить 3%, а кожного наступного кварталу збільшується на 1 пункт.

Яку величину відсоткових грошей та кінцеву суму боргу повинна повернути фірма після завершення строку позики?

2. Нарощена сума склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4%

річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

3.Якою буде реальна купівельна спроможність суми 100 тис. грн. через три роки, якщо нараховується 16% в рік за ставкою складних відсотків, а

прогнозований рівень інфляції 15% щороку.

4.Кредит надано під 24% складних річних. Якою повинна бути еквівалентна ставка простих відсотків, якщо термін кредиту: а) 2 роки; б) півроку?

5.Банк нараховує за позику відсотки за номінальною ставкою 24%. Яка реальна дохідність фінансового зобов'язання, якщо відсотки нараховуються :

а) щомісяця, б) щокварталу, в) півроку?

Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте суть відсотків, відсоткових ставок та назвіть їх види.

2.Розрахунки за простими відсотками . Врахування інфляції.

3.Обчислення складних відсотків та урахування інфляції.

4.Що називається дисконтуванням?

5.Сформулюйте принцип еквівалентності у фінансових обчисленнях.

6.Як розраховується номінальна ставка і ставка ефективності?

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 35 Модульний контроль №2

5. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

ЗАГАЛЬНІ ВИМОГИ ДО ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНОГО ЗАВДАННЯ

1.Варіанти індивідуальних завдань обираються за порядковим номером студента в журналі обліку проведення занять викладача.

2.Під час виконання індивідуального завдання необхідно користуватися „Методичними рекомендаціями до практичних занять” та рекомендованою літературою.

Індивідуальне завдання слід оформити відповідно до наступних вимог: А) Титульний аркуш; Б) Завдання № 1; В) Завдання № 2; Г) Завдання № 3; Д) Завдання № 4; і т.д.

Варіант №1

Iсеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

x	y	z 15,
2x	y	8, .
	z	7.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

4 2 1

1 3 1 .

12 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(1, 2,3),

B(0, 1,2),

C(3, 4,5).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 . А1 (1,3,6),

A2 (2,2,1),

A3 ( 1,0,1),

A4 ( 4,6, 3).

4. Прибуток від продажу 50 одиниць деякого товару становить 50 грн., 100

од. – 200 грн. Визначити прибуток від продажу 500 од. Товару, за умови, що функція прибутку лінійна.

5. Подані координати вершин трикутника АВС :А (- 2,1,2) В (-4,-5,3) С (4,-2,4).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут В у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

	(3	n)2		(3			n)2																			1	n . ; г)
а) lim										.; б)		limn( n2				1				n2		1) ; в) lim			n
			2					2
n	(3	n)		(3			n)					n												n	n	1
					(x3
		lim					2x			1)(x 1)			. ; д) lim				1			2x		3		.
						x	4		4x		2	5
		x		1											x	4				x		2

7. Продиференціювати вказані функції:

x arcsint

1

2

а) f (s)

3

; б)

1

; в) arctgy xy

arcsin x 0 .

s 2

y

1

cos

3 t

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y	x3	4	.
	x2

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin136 ;
	б) 5 .

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z y2 2x2 7x у замкнутій області, обмеженій еліпсом

ІІ семестр

11. Знайти невизначені інтеграли:

	x2
		y 2	1.
	4

а) (4 3x)e 3x dx. ; б)

dx

. ; в)

x3

6x2

13x 9

dx.

x

x 2

1

(x

1)(x

2)3

12. Знайти визначені інтеграли

а)

e2

1

1 ln(x 1)

dx. ; б) a

7

x 3 dx

;

в)

2

dx

.

2

x 1

3

a

2

x

2

x

3

e

1

0

3

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Ох):

y

x 2

5x

6, y

0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона, відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

11

x2 8 dx .

1

15. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:

а) 4xdx	3ydy			3x 2 ydy	2xy 2 dx. ; б)	y	y 2	4	y	2. ;
							x 2		x
в) y	y	x	2	, y(1) 0.	г) 3x 2 e y dx	(x 3 e y		1)dy		0.
	x

16. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y 3y 2 y 1 x2.

17.

Обчислити

(12x2 y 2

16x3 y3 )dxdy; D : x

x2 , y

1, y

x.

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

n 1

1

n

n2

2n 1

а)

; б)

. ; в) ( 1)n 1

.

n 2 2 n (n

3n

1)!

n 1

n

1

n 1

n(n 1)

19.

Знайти область збіжності ряду:

(n

2)3

(x

3)2n .

n 1

2n

3

20. Позичку у 80 тис. грн. надано на півроку під 8% річних. Визначити ставку простих відсотків, що враховує інфляцію, та суму платежу, якщо річний індекс інфляції 110,1%.

Варіант №2

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

3x	5 y	z	17,
y	7	0,
4x	5 y	2z	31.
			2	1	0
2. Знайти власні значення і власні вектори матриці: 1				2	0 .
			1	1	1

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(0, 3,6),

B( 12, 3, 3),

C( 9, 3, 6).

2) Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його висоту,

опущену із вершини A4 на грань A1 A2 A3 .

А1 ( 4,2,6),

A2 (2, 3,0),

A3 ( 10,5,8),

A4 ( 5,2, 4).

4. Витрати виробництва 100 одиниць деякого товару складають 300 грн., а

500 одиниць – 600 грн. Визначити витрати виробництва 400 од. товару за умови,

що функція витрат є лінійною.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (-

4,1,1), В (1,10,2), С

(8,3,4). Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину

висоти АД;

в) внутрішній кут

В у

радіанах

з

точністю

до 0,01; г)

площу

трикутника;

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

6. Обчислити границі:

(3

n)4

(2

n)4

2n

3 n 1

а) lim

. ; б) lim n(

n2

3) ; в)

. ; г)

n(n

2)

lim

4

2n

1

n

(1

n)

(1

n)

4

n

n

x3

3x

2

lim

.; д) lim

1

x

3

.

x2

x

3 x

x

1

x

8

2

7. Продиференціювати вказані функції:

а) f ( x) ( x 1)( x

2)( x

3) ; б)

x

1

cos t

; в)

x 2 y 2

e x y

tgx

0 .

y

ln t 2

7

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

y

x2

x

1

.

x

1

9.Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a)3 1,02 ; б) 120 .

10.Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних:

z x 2 2 y 2 2x 8 y 5 у замкнутім трикутнику, обмеженому осями координат і

прямою x y 4 .

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

1

ln x

dx.; в)

x3

6x2

13x 8

dx.

а) arctg

4x

1dx.; б)

2)3

x

x(x

12. Знайти визначені інтеграли

1

(x

2

1)dx

/ 2

xe x2 dx .

а)

. ; б)

e2 x cos xdx ; в)

(x3

3x 1)2

0

0

0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками функцій (вісь обертання Ох):

2x x2 y 0,

2x2 4x y 0.

14. Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона відрізок [a,b]

поділити на 10 частин

4

x 2 16dx .

2

15. Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

xy

3y3

2 yx2

.

2 y 2

x2

а) x 1 y 2

yy 1 x2

0. ; б)

;

в) y yctgx 2x sin x, y(

/ 2)

0. ; г) (3x 2

2

cos

2x

)dx

2x

cos

2x

dy 0.

y

y

y 2

y

16.

Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

y

6x 2

3x.

17.

Обчислити

(9x2 y 2 48x3 y3 )dxdy; D : x

x2 .

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

4 n

2n

n

n

n

n 4

( 1) n 1

а)

; б)

. ; в)

.;

3n 5

2n 1

n 1 (n)!

n 1

n 1

19.

Знайти область збіжності ряду:

1 n

(x

3)n .

n

1 5n

n 1

20. Річний кредит розміром 200 тис. грн. видано під просту декурсивну ставку 12%. Визначити суму відсоткових грошей і кінцеву суму боргу.

Варіант №3

Ісеместр

1.Розв‟язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:

2x y 4z 21, z 2,

x y 4z 4.

2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

3 1 1

0 2 1 .

01 2

3.1) Знайти косинус кута між векторами AB і AC .

A(3,3, 1),

B(5,5, 2),

C(4,1,1).

2)Обчислити об‟єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2 , A3, A4 і його

висоту, опущену із вершини A4		на грань	A1 A2 A3 .	А1 (7,2,4),
A2	(7, 1,	2),
A3 (3,3,1),
A4	( 4,2,1).

4. Витрати перевезення двома транспортними засобами виражаються

функціями y 150 50x і y 250 25x , де x - відстань перевезення в сотнях кілометрів, а y - транспортні витрати в грошових одиницях. Визначити,

починаючи з якої відстані більш економічним стає другий транспортний засіб.

5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (- 1,5,3), В (2,0,2), С (6,8,1).

Знайти: а) довжину та рівняння медіани СЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої , яка

проходить через т. Е паралельно прямій АС.

6.

Обчислити границі:

(3

n)4

(2

n)4

n 2 1 n4

а) lim

. ; б) lim(n

3 n3

lim

. ; г)

5)n

n)

(1 n)3

(1 n)3

n 2

n

n

; в) n

(x2

2)2

lim

3x

. ; д) lim

x

1

.

x

1 x3

2x2

x 2

x 1 3 x2

1

7.

Продиференціювати вказані функції:

а) f (x) (x 2

x

1)(x 2

x

1) ; б)

x

7t 2

2t

3

; в) x4 y

x sin2 y arctgy 0

5et

y

9t

.

8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

2

y x2 2x .

9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення:

a) sin29 , б) 80 .

10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних: z xy2

у крузі x2 y2 1.

ІІсеместр

11.Знайти невизначені інтеграли:

а) (3x 4)e3x dx. ; б)

dx

. ; в)

x3

6x2

13x 6

dx.

(x

2)(x

2)3

x x 2 1

12. Обчислити визначені інтеграли:

1

dx

1

dx

a)

;

б) xe x dx ;

в)

.

2 (11 5x)3

1 x2

x 1

0

13. Обчислити об‟єм тіла обертання, утвореного обертанням графіками

функцій (вісь обертання Ох):

y

3sin x, y

sin x,

0x .

14.Обчислити інтеграли наближено за формулою Сімпсона відрізок [a,b]

7

поділити на 10 частин

x 2

32dx .

3

15.

Знайти загальний інтеграл (розв‟язок) диференціального рівняння:

x

y

y

. ;

4

y 2 dx ydy

x2 ydy. ; б)

а)

x

y

в)

y

y cos x

1

sin 2x, y(0) 0. ; г) (3x 2

4 y 2 )dx

(8xy

e y )dy 0.

2

16.

Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:

y

y x 2

x.

17.

Обчислити

(36x2 y 2

96x3 y3 )dxdy; D : x

3

x3 .

1, y

x, y

D

18.

Дослідити на збіжність ряд:

2n 1

n3 1

2

.

2n2

1 n

( 1)n 1

(n

1)!

а) n 1

; б)

. ; в)

.

n 1

n2

1

n 2 ln n

1