Контрольні запитання

1. Сформулювати і довести теорему про виведення основних формул похідних функцій.

2. Пояснити суть методу логарифмічного диференціювання.

3. Що таке диференціал? Дати означення, пояснити геометричний зміст.

4. Що називається похідною другого, третього,n-го порядку?

5. Що називається диференціалом другого, третього,n-го порядку?

6. Як шукають похідну та диференціал вищих порядків?

7. Сформулюйте перше правило Лопіталя. Коли його зручно застосовувати?

8. Сформулюйте друге правило Лопіталя. Коли його зручно застосовувати?

9. Як розкрити невизначеності типу ,, .

Тема 13. Дослідження функцій за допомогою похідної

Мета. Вивчити основні застосування похідної функції для її дослідження.

План.

1. Умови монотонності функції. Найбільше та найменше значення функції.

2. Опуклість та вгнутість графіка функції.

3. Асимптоти графіків функцій.

4. Загальна схема дослідження функції.

1. Теорема 1. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку <a;b> і диференційовна на інтервалі (a;b). Для того, щоб функція була сталою необхідно і досить, щоб для всіхx(a;b).

Теорема 2. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку <a;b> і диференційовна в інтервалі (a;b). Для того, щоб функція f(x) не спадала (не зростала) на проміжку <a;b> необхідно і досить, щоб () для всіхx(a;b).

Теорема 3. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку <a;b> і диференційована в інтервалі (a;b). Для того, щоб функція f(x) була зростаючою (спадною) на проміжку <a;b> необхідно і досить, щоб () для всіхx(a;b), причому ті точки, де не складали ніякого відрізка.

Вважають, що функція f(x) має максимум (мінімум) в точці x₀, якщо існує окіл цієї точки (x₀-; x₀+), такий, що для всіх x(x₀-; x₀+) правильна нерівність f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)).

Максимуми та мінімуми функції називаються її екстремумами. Екстремум деколи називають локальним, щоб підкреслити, що це максимум чи мінімум на якомусь невеликому проміжку, а не для всієї області визначення функції.

Теорема 4 (необхідна ознака екстремуму функції). Якщо функція має в точці екстремум і якщо в цій точці існує похідна, то ця похідна рівна нулю.

Точки, в яких похідна рівна нулю називаються стаціонарними. Остання теорема дає можливість шукати точки екстремуму серед стаціонарних точок. Тобто, спочатку знайдемо похідну функції, прирівняємо її до нуля і перевіримо на максимум чи мінімум, розглянувши поведінку функції в околі точки.

Теорема 5. Нехай функція f(x) диференційовна в околі точки x₀, можливо за винятком самої точки, в якій функція неперервна. Якщо при переході через точку x₀ похідна функції міняє знак з плюса на мінус, то функція має в цій точці максимум, а якщо з мінуса на плюс, то – мінімум.

Про наявність екстремуму функції можна судити і по другій похідній в стаціонарній точці.

Теорема 6. Нехай функція f(x) диференційовна в околі своєї стаціонарної точки x₀, а в самій стаціонарній точці має другу похідну. Тоді, якщо то функція має в цій точці макасимум, а якщо, то – мінімум.

В багатьох задач вимагають знайти максимум чи мінімум функції на відрізку. В таких випадках користуємось наступним правилом:

1. шукаємо стаціонарні точки на інтервалі, що відповідає заданому відрізкові;

2. досліджуємо їх на екстремуми;

3. шукаємо значення функції в крайніх точках відрізка;

4. порівнюємо значення функції в крайніх точках та екстремуми і визначаємо з них найменше- це буде мінімум, та найбільше- це буде максимум.

2. Нехай функція f(x) диференційовна в інтервалі (a;b). Тоді в кожній точці цього інтервалу існує дотична до кривої і ця дотична не паралельна осі Oy.

Вважають, що криваy=f(x) обернена опуклістю вгору (вниз) в інтервалі (a;b), якщо вона лежить нижче (вище), ніж будь- яка дотична, проведена в довільній точці цієї кривої (зрозуміло, виключаючи саму точку дотику, яка лежить на кривій). Часто кажуть, що крива, обернена опуклістю вгору називається опуклою, крива, обернена опуклістю вниз- вгнутою.

Теорема 1. Нехай функція f(x) в інтервалі (a;b) має похідну другого порядку. Якщо для всіхx(a;b), то крива y=f(x) в інтервалі(a;b) обернена опуклістю вниз (вгору).

Ця теорема дає достатню умову для того, щоб крива була обернена опуклістю вгору (вниз) в інтервалі (a;b).

Наслідок 1. Нехай в окoлі точки c функція f(x) має другу похідну, неперервну в точці c. Якщо(), то в досить малому околі точки c крива обернена опуклістю вниз (вгору).

Інтервал, в якому крива обернена опуклістю вниз (вгору) називається інтервалом опуклості вниз (вгору) цієї кривої.

Нехай функція f(x) диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо точки c(a;b), в якій неперервна, і нехай у точці c існує дотична. Точка c називається точкою перегину кривої , якщо існує такий окіл точки c, що в лівій половині цього околу крива обернена опуклістю вниз (вгору), а в правій вгору (вниз).

Дамо необхідну умову для точки перегину.

Теорема 2. Нехай функція f(x) в околі точки c має похідну другого порядку, неперервну в точці c. Якщо точка c є точкою перегину кривої y=f(x), то .

Теорема 3. Нехай функція f(x) має похідну другого порядку , причому. Якщопри переході точкиx через точку c змінює знак, то точка (c; f(c)) є точкою перегину.

З вищедоведених теорем маємо правило знаходження інтервалів опуклості та вгнутості:

Щоб знайти інтервали опуклості (вгнутості) і точки перегину кривої , треба знайти похідну другого порядку від функції f(x). Після цього розв’язати рівняння . Корені цього рівняння, а також точки в яких друга похідна не існує є точками, що можуть бути точками перегину. Після цього, користуючись теоремою перевіряємо поведінкупри проходженні через ці точки. Якщозмінює знак, то ця точка буде точкою перегину, а інтервали, що лежать між точками перегину будуть інтервалами опуклості чи вгнутості.

3. Нехай функція f(x) визначена в інтервалі (a; +) (в інтервалі (-; а)). Пряма

y=kx+b (1)

називається асимптотою кривої y=f(x), якщо відстань точки P(x; f(x)), яка лежить на кривій, до цієї прямої прямує до нуля при (при).

Теорема. Нехай функція f(x) визначена в інтервалі (a; +) (в інтервалі (-;а)). Для того, щоб пряма (1) була асимптотою кривої y=f(x), необхідно і досить, щоб

, (2)

Асимптоти кривої, які записані у вигляді (1) називають похилими асимптотами.

Нехай функція f(x) визначена в околі точки x₀ і нехай

або ,

або і те, і друге. Тоді пряма x=x₀ називається вертикальною асимптотою.

4. Повне дослідження функції рекомендується проводити за такою схемою:

1. Визначити область існування функції. Встановити точки розриву і інтервали неперервності функції. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

2. Знайти точки максимуму та мінімуму функції, обчислити значення функції в цих точках. Встановити інтервали монотонності функції.

3. Знайти точки перегину графіка функції, обчислити значення функції в цих точках.

4. Встановити інтервали опуклості графіка функції.

5. Знайти асимптоти графіка функції. Обчислити граничні значення функції в точках, межових для області його існування.

6. Побудувати графік функції.

Зауважимо, що зручно після кожного пункту схеми наносити точки та їх значення на координатній площині, для того, щоб накреслення графіка функції йшло паралельно до дослідження.