Контрольні запитання

1. Що називається еліпсом, його фокусами, осями, ексцентриситетом та директрисою?

2. Дослідіть форму еліпса і побудуйте його.

3. Що називається гіперболою, її фокусами, осями, ексцентриситетом та директрисою?

4. Дослідіть форму гіперболи і побудуйте її.

5. Вкажіть, які прямі є асимптотами гіперболи і доведіть це.

6. Що називається параболою, її фокусом та директрисою?

7. Дослідіть форму параболи і побудуйте її.

Тема 7. Площина та її рівняння

Мета. Дати уявлення про рівняння поверхні в тривимірному просторі, розглянути рівняння площини, заданої різними способами.

План.

1. Поняття про рівняння поверхні в просторі.

2. Загальне рівняння площини.

3. Різні види рівняння площини:

4. Деякі задачі для площини в просторі.

1. В аналітичній геометрії всі об’єкти (точки, лінії, поверхні) вивчаємо за допомогою методів алгебри. Це вдається робити, використовуючи метод координат, запрропонований Декартом. Довільний геометричний об’єкт розглядаємо як множину точок, що задовільняють леякі, тільки їм присущі властивості. При переході точок від одного об’єкта до другого їх властивості міняються. З допомогою методів аналітичної геометрії ця закономірність може бути виражена у вигляді рівнянь, нерівностей, систем, тощо.

Рівнянням, що відповідає заданій множині точок називається рівність, якій задовільняють всі точки, що належать множині і не задовільняє ні одна точка, що множині не належить. З відомостей, одержаних в попередніх курсах, вам відоме, наприклад, рівняння сфери, прямої в просторі.

Таким чином, рівнянням поверхні в просторі у вибраній системі координат, називається рівняння F(x,y,z)=0, яке задовільняє кожна точка, що належить поверхні і не задовільняє ні одна точка, що не лежить на заданій поверхні.

2. Розглянемо рівняння площини, що проходить через задану точку, перпендикулярно до деякого вектора. Нехай це точка M₀ (x_0і y₀, z₀) i вектор . Заданий вектор, як і у випадку з прямою на площині, назвемо нормальним. Якщо деяка точка М належить площині, то зрозуміло, щоперпендикулярний до, тобто їх скалярний добуток рівний нулю.

. Отже, .

Тут А,В,С –координати вектора, перпендикулярного до площини.

Таке рівняння називається загальним рівнянням площини.

Теорема: Кожна площина визначається рівнянням І степеня відносно декартових координат x;y;z : Ах+Вy+Cz+D=0

Обернено: Кожне рівняння І степеня відносно x;y;z визначає в просторі площину:

Розглянемо кілька окремих випадків.

1. Якщо D=0 Þ Ax+By+Cz=0 – площина проходить через О(0;0;0)

2. Якщо А=0 Þ By+Cz+D=0

Видно, що ,( тобто площина паралельна до осіOx.

3. Якщо А=0; D=0 Þ By+Cz=0 – площина проходить через Ох;

4. При А=0; В=0 Þ Cz+D=0 площина паралельна до площини хОy.(C¹0; z=-D/C ).

5. А=0; В=0; D=0 Þ Cz=0; C¹0 ® z=0 – координатна площина xOy.

3. Рівняння площини, яка проходить через дані три точки.

Нехай задано три точки ,,. Виберемо довільну точку. Тоді вектори- компланарні і їх мішаний добуток рівний нулеві.

=0.

Остання рівність розписується за елементами першого рядка і зводиться до загального рівняння площини.

Рівняння площини у відрізках.

Нехай площина перетинає координатні осі відповідно в точках P(a;0;0), Q(0;b;0), R(0;0;c)

Складаємо рівняння площини, використовуючи рівняння (3) і підставляючи координати точок Р, Q, R знайдем визначник.

(4)

Нормальне рівняння площини.

Нехай відомо, що вектор p=OP, що відповідає деякій точці Р, яка належить заданій площині, утворює з координатними осями кути a, b, g відповідно. Складемо рівняння такої площини.

Виберемо довільну точку М(x,y,z). Тоді (x,y,z) .

Очевидно, що і для

. Тобто

.

Таке рівняння називається рівнянням площини в нормальному вигляді. До загального воно зводиться так: