Контрольні запитання

1. Що таке система лінійних рівнянь?

2. Що називається розв’язком системи рівнянь?

3. Яка система називається сумісною, несумісною?

4. У чому полягає матричний метод розв’язування систем рівнянь?

5. У чому полягає метод Крамера розв’язування систем рівнянь?

6. У чому полягає метод Гаусса розв’язування систем рівнянь?

7. Які випадки можливі при розв’язуванні систем методом Гаусса?

Тема 3. Довільні системи лінійних рівнянь

Мета. Розглянути довільні системи лінійних рівнянь та їх властивості. Вказати шлях розв’язання систем лінійних рівнянь. Навчитись визначати власні значення та власні вектори.

План

1. Довільні системи довільних алгебраїчних рівнянь та їх розв’язання. Теорема Кронекера- Капеллі. Фундаментальна система розв’язків.

2. Однорідна система лінійних рівнянь.

1. Нехай задано систему лінійних рівнянь

(1)

з n невідомими. Розглянемо дві матриці, які можна отримати з цієї системи

А=та- розширена матриця системи, складена з звичайної за допомогою додавання стовпця вільних членів.

Справедливе наступне твердження Теорема Кронекера-Капеллі.

Для того, щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи А дорівнював рангу розширеної матриці:

.

(Без доведення).

Базисними рядками і стовпцями матриці А, називаєм ті її рядки і стовпці, на перетині яких розміщений базисний мінор.

Базисними невідомими системи (1) називають ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюють базисний мінор, всі інші невідомі називають вільними.

При розв’язуванні сумісної системи (1) можливі такі випадки:

1. =n, де n – число невідомих .

(число базисних невідомих рівне числу невідомих)

У цьому випадку система має єдиний розв’язок, який визначається за формулами Крамера.

.У цьому випадку систему (1) замінюють рівносильною, яка складається з r рівнянь, в які входять елементи базисного мінора. В лівих частинах цих рівнянь залишають r базисних невідомих, а інші невідомі (вільні) переносяться в праві (їх буде (n-r) ).

Базисні невідомі визначають через вільні невідомі. Система в цьому випадку має безліч розвязків, так як вільні невідомі можуть набувати будь-яких значень.

Наприклад.

Проведемо ряд елементарних перетворень.

®®.

=2

Система сумісна, r<n, то система має безліч розв’язків.

;

.

Довільна система з (n-r) лінійно незалежних розв’язків називається фундаментальною системою розв’язків. Наприклад, у вище наведеному прикладі x₃ та х₄ можуть бути оголошенні як фундаментальні розв’язки системи, а розв’язки х₁, х₂- залежними від них.

2. Система (1) називається однорідною, якщо .

(2)

Однорідна система завжди сумісна, бо . Крім того система (2) завжди має нульовий розвязок. Дійсно, очевидно, щобуде розв’язком системи (2).

Теорема 1. Для того, щоб однорідна система (2) мала ненульові розв’язки, необхідно і достатньо, щоб r(A)<n.

Нехай кількість рівнянь однорідної системи співпадає з кількістю невідомих, тобто n=m.

Тоді визначник матриці має вигляд D=.

Теорема 2. Для того, щоб однорідна система (3) n рівнянь з n невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно і достатньо, щоб визначник цієї системи дорівнював нулю.