Контрольні запитання

1. Що називається вектором? Які його основні характеристики?

2. Які вектори називаються колінеарними, компланарними?

3. Сформулюйте і доведіть ознаку колінеарності векторів.

4. Що називається сумою, різницею векторів, добутком вектора на число?

5. Які вектори називаються лінійно залежними, лінійно незалежними? Які їх основні властивості?

6. Сформулюйте правила для дій над векторами, заданими координатами.

Розділ 2. Основи аналітичної геометрії

Тема 5. Пряма лінія на площині

Мета: дати загальне означення рівняння лінії на площині, розглянути рівняння прямої на площині, задане різними способами; ознайомитись з прикладами застосування рівняння прямої при розв’язуванні задач

План.

1. Поняття рівняння лінії.

2. Різні види рівняння прямої на площині.

3. Загальне рівняння прямої.

4. Деякі застосування рівняння прямої на площині.

1. Нехай задано деяке рівняння з двома невідомими. Розв’язком цього рівняння є деяка впорядкована пара значень змінних, що перетворює це рівняння в тотожність.

Наприклад, впорядкована пара (2; 3) є розв’язком рівняння х-2y+4=0, бо 2-2^.3+4=0. Пара чисел (1; 8) не є розв’язком цього рівняння, бо 1-16+4¹0.

Якщо довільним чином вибирати значення х і знаходити з рівняння відповідні їм y, то можна отримати множину пар чисел таких, які будуть розв’язками цього рівняння. Такі пари значень можна розглядати як координати точок на декартовій координатній площині. Множина точок, побудованих за цими координатами називається графіком даного рівняння. Таким чином, графіком рівняння з двома змінними буде множина всіх точок, координати яких є розв’язками цього рівняння. Наприклад, виразивши y через х в вищерозглянутому рівнянні маємо

.

Відомо, що графіком цієї лінії є пряма, отже, графіком лінії х-2y+4=0 також є пряма.

2. Положення прямої на площині можна задати наступним чином:

1. пряма l проходить через точку M₀, паралельно до вектора ; точкуM₀ в цьому випадку ще називають початковою точкою;

2. пряма l проходить через точку M₁ і М₂;

3. пряма l проходить через точку M₀, перпендикулярно до вектора ;

4. пряма l проходить через точку M₀, утворюючи з вектором деякий кутj.

Довільний вектор ¹0 , що паралельний прямій l, називається напрямним вектором цієї прямої. З цього означення слідує, що кожна пряма має як завгодно багато напрямних векторів і всі вони колінеарні між собою.

Довільний вектор ¹0, перепендикулярний до прямої l, називається нормальним вектором цієї прямої. З цього означення слідує, що кожна пряма має як завгодно багато нормальних векторів і всі вони колінеарні між собою.

Якщо на прямій l взяти дві довільні точки M₁ і М₂, то вектор є напрямним вектором для прямої, так само і векторє напрямним, бо він колінеарний векторуі, взагалі, довільний вектор kбуде напрямним вектором для прямої l.

Розглянемо всі випадки задання прямої на площині:

1. Нехай пряма l задана початковою точкою M₀ і напрямним вектором . НехайМ- довільна точка, її радіус-вектор позначимо через . Векторпаралельний прямій тоді і тільки тоді, коли точкаМ належить цій прямій. У цьому випадку вектор колінеарний вектору. Тобто, існує таке числоt, що

. (1)

Змінна t, задана в формулі називається параметром, а рівняння (1) - векторно- параметричним рівнянням прямої l.

Якщо координати точок позначити через М(x; y) , M₀(x₀; y₀), а координати вектора , то рівняння (1) перепишеться у вигляді

або

.

Звідси

. (2)

Рівняння (2) називаються параметричними рівняннями прямої.

Виключимо параметр t з рівняння. Це можливо, оскільки напрямний вектор не нульовий, отже, хоч одна з його кординат не рівна нулеві.

Припустимо, що . Тоді

і, значить,

. (3)

Рівняння (3) називають канонічним рівнянням прямої з напрямним вектором .

Якщо , то рівняння прийме вигляд

.

Очевидно, що така пряма паралельна до осі Oy, а її канонічне рівняння матиме вигляд x=x₀.

Якщо , то рівняння прийме вигляд

.

Очевидно, що така пряма паралельна до осі Oх, а її канонічне рівняння матиме вигляд y=y₀.

2. Нехай дані дві точки М₁ і М₂, задані своїми координатами (x₁; y₁) , (x₂; y₂). Щоб скласти рівняння прямої, що проходить через точки М₁ і М₂, будемо вважати вектор =напрямним вектором прямої. Тоді канонічне рівняння прямої з попереднього пункту, враховуючи, що координати вектораМ₁М₂=будуть мати координати, перпишеться у вигляді

(4)

Це рівняння називається рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки.

Якщо в рівнянні (4) один з знаменників перетворюється в нуль, то для написання рівняння варто прирівняти до нуля відповідний чисельник. Наприклад, якщо , то шуканим рівнянням буде рівнянняx=x₁. В цьому випадку точки знаходяться на однаковій відстанні від осі Oy і пряма буде паралельна цій осі.

Часто потрібно написати рівняння прямої, що проходить через точки, що лежать на координатних осях. Нехай це будуть точки A(a; 0) i B(0; b). Вважаючи в формулі (4), що x₁=a, y₁=0, x₂=0, y₂=b, маємо

або .

Це рівняння називається рівнянням прямої у відрізках, так як числа a i b показують, які відрізки відсікає пряма від осей.

3.  Нехай дана деяка точка М₀ і вектор . Проведемо через точкуМ₀ пряму l, перпендикулярно до вектора . НехайМ- довільна точка. Тоді М лежить на прямій l тоді і тільки тоді, коли вектори і перпендикулярні між собою, а для перепендикулярності векторів досить, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

0. (5)

Нехай М(x; y) , М₀ (x₀; y₀). Тоді вектор (x-x₀ ; y- y₀). Позначимо координати нормального вектора (A; B). Тоді (5) перепишеться у вигляді

. (6)

Рівняння (6) - рівняння прямої l, що проходить через точку М₀(х₀; y₀), перпендикулярно до вектора (A; B).

4. Нехай на площині , де є прямокутна система координат, пряма l проходить через точку М₀ паралельно напрямному вектору . Якщо пряма перетинає вісьOx в точці N, то під кутом між прямою і віссю будемо розуміти кут між прямою і віссю, менший 180⁰. Цей кут називають кутом нахилу прямої до осі. Якщо пряма паралельна осі Ox, то кутом між ними приймаємо кут рівний нулю.

Тангенс кута нахилу прямої до осі називається кутовим коефіцієнтом прямої і позначається буквою k.

Кутовий коефіцієнт прямої можна обчислити, якщо відомі координати довільних двох точок, що належать прямій.

;

. (7)

Формула (7) не має смислу, якщо х₂=х₁, тоді пряма паралельна осі Oy і кутовий коевіцієнт не існує.

Складемо рівняння прямої, заданої кутовим коефіцієнтом та деякою точкою. За початкову точку візьмемо М₀(x₀;y₀), а за довільну М(x;y). Тоді (7) перепишеться як

. (8)

Якщо ж точка М не належить прямій l, то (8) не виконується. Це рівняння записують, як правило, у вигляді

Якщо пряма перетинає вісь Oy в деякій точці (0: b), то рівняння набуде вигляду y=kx+b.

Це рівняння називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k і початковою ординатою b.

3. Нехай дано довільну пряму. Виберемо на ній деяку точку М₀(x₀;y₀) і нормальний вектор (A; B).Тоді рівнянням прямої буде вираз

Перепишемо його у вигляді

.

Позначивши через С, отримаємо

(1)

Таким чином, довільна пряма площини визначається рівнянням (1), тобто лінійним рівнянням з двома невідомими.

Покажемо тепер, що довільне лінійне рівняння обов’язково визначає деяку пряму. Дійсно, в рівнянні (1) принаймі один з коефіцієнтів відмінний від нуля. Припустимо, що це коефіцієнт В. Тоді (1) перепишеться як

. (2)

З пункту 3 попереднього питання маємо, що (2), а значить і (1) визначає пряму, що проходить через точку (0; -C/B) і перпендикулярну вектору (A; B ).

Рівняння називаютьзагальним рівнянням прямої.

Якщо А=0, то рівняння набуде виду y=-C / B. Тобто всі точки мають одну ординату і пряма паралельна осі Ox.

Якщо А=0, С=0, то y=0, - пряма є рівнянням осі Ox.

Аналогічно (покажіть це самостійно), якщо В=0, то пряма паралельна осі Oy.

Якщо В=0, С=0, то пряма є віссю Oy.

4. Нехай маємо дві прямі

l₁: A₁x+B₁y+C₁=0;

l₂: A₂x+B₂y+C₂=0.

Позначимо через j - кут між цими прямими. Зрозуміло, що цей кут рівний кутові між нормальними векторами двох заданих прямих.

За формулою кута між двома векторами маємо:

(1)

Переписавши формулу (1) через координати отримаєм:

Це формула обрахування кута між двома прямими, заданими напрямними векторами.

Звідси: прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні, тобто

.

прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток векторів рівний нулю, тобто

.

Без доведення приймемо до розгляду наступні твердження:

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами y=k₁x+b₁; y=k₂x+b₂, то

або

.

Якщо дві прямі задані через фіксовану точку та напрямний вектор, то косинус кута між ними визначається через координати напрямних векторів наступним чином.

.

Відстань від точки до прямої дорівнює модулю числа, отриманого в результаті підстановки координат точки в рівняння прямої виду

0.

Тут вираз називаютьнормованим множником.