Контрольні запитання

1. Сформулювати ознаку сталості функції.

2. Сформулювати ознаку монотонності функції.

3. Що називається максимумом, мінімумом,екстремумом функції?

4. Сформулювати необхідну умову існування екстремуму функції.

5. Сформулювати достатню умову існування екстремуму функції.

6. Як знайти макимум та мінімум функції на відрізку?

7. Сформулювати достатню умову опуклості (вгнутості) графіка функції.

8. Як визначити інтервали опуклості (вгнутості) функції.

9. Як знайти точки перегину графіка функції?

10. Як знайти асимптоти графіка функції (вертикальні та похилі)?

11. Наведіть повну схему дослідження функції.

Розділ 5. Функції багатьох змінних

Тема 14. Границя функції багатьох змінних

Мета. Дати поняття функції багатьох змінних та її основних характеристик. Дати означення границі та неперервності функції двох змінних.

План.

1. Функція багатьох змінних. Функції двох змінних. Область визначення, графік, лінії та поверхні рівня.

2. Границя функції. Неперервність функції двох змінних в точці й на області.

3. Частинні похідні та повний диференціал.

1. На попередніх лекціях ми розглянули найпростіші види функцій: функції від однієї змінної. Проте в багатьох випадках доводиться мати справу з функціями, залежними від двох і більше змінних. Наприклад, площа прямокутника обраховується за формулою S=ab, тут змінна S залежить від двох величин, незалежних між собою, a i b. Тобто можливе представлення S=f(a; b). Відповідно об’єм прямокутного паралелепіпеда, обраховується за формулою V=xyz, іншими словами ми маємо функцію V=f(x,y,z)- функцію від трьох змінних.

Основні означення для функції декількох змінних є узагальненням відповідних означень для функції однієї змінної.

Для простоти викладу зупинимось на функції двох змінних.

Якщо кожній парі значень x, y з множини D ставиться у відповідність одне конкретне значення z з множини E, то z називаємо функцією двох незалежних одне від одного змінних x i y і позначаємо z=f(x,y).

Множина D називається областю визначення функції z, а множина E- множиною значень даної функції. Змінні x i y називаються аргументами.

Якщо функція задається аналітично, то областю визначення z=f(x,y) називається множина значень (x;y) при яких f(x,y) має зміст.

В загальному випадку область визначення функції двох змінних геометрично може бути представлена деякою множиною точок на площині xOy.

Ставлячи у відповідність кожній точці (x;y)D деяку аплікату z=f(x;y) ми отримаємо деяку множину точок (x; y; z) трьохвимірного простору- найчастіше деяку поверхню. Тому рівняння z=f(x; y) часто називають рівнянням поверхні.

При кожному конкретному z=c ми отримаємо рівняння f(x; y)=c, яке в загальному випадку визначає деяку лінію. Цю лінію називають лінією рівня для числа с і функції f(x; y). Геометрично її можна уявити як лінію перетину площини z=c i f(x; y).

2. Розглянемо функцію двох змінних. Нехай задано деяку точку

М₀(х₀, y₀). -околом точки М₀(х₀, y₀) називається множина точок М(х, y), координати яких задовільняють рівності .

Означення. Нехай функція z=f(x,y) визначена в околі точки М₀(х₀, y₀), крім можливо самої цієї точки. Число А називається границею функції z=f(x,y) при , якщо для будь-якого як завгодно малого >0 знайдеться таке число >0, що для всіх точок М(х, y) з -околу точки М₀(х₀,,y₀) виконується нерівність . Позначаємо

.

Всі теореми про границю функції однієї змінної переносяться на границю функції кількох змінних.

(Див. лекцію про границю функції однієї змінної).

Розглянемо приклад.

= (зробимо заміну ) =

==.

Означення. Функція z=f(x,y) називається неперервною в точці М₀(х₀, y₀), якщо вона визначена в околі точки М₀(х₀, y₀), існує і

.

Введемо позначення . Тоді

.

Назвемо цю величину повним приростом функції в М₀.

Нехай М₀(х₀+x , y₀+y). Позначимо , при – .

З геометричної точки зору функція називається неперервною в точці М₀ , якщо в деякому околі цієї точки нескінченно малим приростам відповідає нескінченно малий приріст

Наприклад.

Функція має точки розриву при , тобто . Таким чином всі точки розриву функції лежать на лінії .

Функція називається неперервною на області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

3.Нехай задано функцію z=f(x,y) і деяка точка (x,y)D. Якщо змінна функції z проходить тільки по одній змінній, наприклад x, при фіксованому значенні другого аргумента y, то функція отримає приріст

Цей приріст називають частинним приростом функції f(x,y) по аргументу x.

Розглядаючи зміну функції z за одним аргументом при фіксованому іншому ми фактично переходимо до функції однієї змінної.

Якщо існує скінченна границя

,

то вона називається частинною похідною функції f(x,y) по аргументові x і позначається одним із символів і т.д.

Аналогічно визначаємо частковий приріст z по y:

і частина похідна по y має вигляд:

.

За означенням кожна частина похідна є фактично похідною функції від одної змінної, тому при їх обрахування можна користуватися правилами, знайомими нам з теорії диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому другу змінну постійною.

Приклад.

Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання.

Маємо (y- фіксоване), (x - фіксоване).

Аналогічно вводимо поняття частинних похідних для функції трьох і більшої кількості змінних.

Частинні похідні функції декількох змінних обраховуються за припущенням, що змінюється лише одна змінна, а всі інші залишаються фіксованими.

Приклад. Знайдемо частинні похідні функції .

Розв’язання.

Маємо (y, z -фіксовані),

( х, z -фіксовані),

( х, y -фіксовані).

Вияснимо геометричний зміст частинної похідної функції кількох змінних. Графіком функції від двох змінних є деяка поверхня . Розглянемо точкуна цій поверхні та відповідну їй точкуна площиніOxy. Проведемо через точку М₀ дотичну до лінії перетину поверхні з площиноюy=y₀. Значення частинної похідної в точціР₀ дорівнює тангенсу кута, утвореного з віссю Ox побудованою дотичною. Цілком аналогічно виясняється геометричний зміст і іншої частинної похідної.

Частна похідна функції кількох змінних має той самий механічний зміст, що й похідна функції однієї змінної. Це - швидкість зміни функції відносно зміни одного з аргументів.

При знаходженні частинних похідних розглядалися частинні прирости функції декількох змінних, коли один з аргументів мінявся, а всі інші залишалися незмінними (сталими). Розглянемо повний приріст, який отримує функція при змінні всіх її аргументів. Нехай задана функція від двох змінних і її аргументи отримують приріст. Тоді функція отримує повний приріст, який визначається формулою

.

Геометрично повний приріст функції рівний приросту аплікати графіка функції при переході від точки до точки.

Приріст функції можна представити у вигляді двох доданків, лінійного відносно і нелінійного, причому нелінійна чатсина прямує до нуля швидше, ніж лінійна, тому її можна вважати основною. Такою властивістю володіють різні функції. Їх називаютьдиференційовними.

Означення. Функція називається диференційовною в точці, якщо її приріст можна представити у вигляді:

.

Головна частина приросту функції називається повним диференціалом цієї функції і позначається . Справедливе наступне твердження:

Теорема. Якщо функція диференційовна в точці, то вона має перші частинні похідні в цій точці і

. (1)

Добуток частинної похідної на приріст відповідної незалежної змінної називається частинним диференціалом. Частинні диференціали позначаються так:

, .

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Розв’язок. Знайшовши частинні похідні і застосувавши вищевказану формулу, маємо

.

Функція, яка має повний диференціал в заданій точці називається диференційовною в цій точці. Функція, яка має повний диференціал в кожній точці області називається диференційовною в цій області.

Так як і у випадку функції однієї змінної, з диференційовнності функції слідує її неперервність, але не навпаки.

Сформулюємо достатню умову диференційовності функції.

Теорема. Якщо функція z=f(x,y) має неперервні частинні похідні по незалежних змінних в данній області, то вона диференційована в цій області і її диференціал виражається формулою (1).

Для функції більшої кількості змінних поняття диференціалу вводиться аналогічно.

Покажемо, як застосувати повний диференціал до наближених обчислень.

,

Наприклад, обчислимо .

, ,.

, ,

,.

=+.