3. Таблиця основних інтегралів

Кожна формула з таблиці похідних має відповідну формулу в таблиці інтегралів.

1. . 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

4. . 10. .

5. . 11. .

6. . 12. .

Додатково варто знати формули

13. . 14..

15. . 16..

Правильність усіх формул перевіряється диференціюванням їх правих частин.

Є три основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод заміни змінної та метод інтегрування за частинами.

Метод розкладу.

Справедливі наступні твердження.

Теорема 1. Якщо функції мають первісні на проміжку(a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:

(1)

Теорема 2. Якщо функція має первісну на проміжку(a,b), то на цьому проміжку має первісну і функція і справедлива рівність:

, k0 (2)

Наслідок. Якщо функції мають первісні на проміжку(a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:

(3)

Метод інтегрування з використанням теорем 1,2 та наслідку називають методом розкладу.

Метод заміни змінної.

Теорема 3. Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на проміжку (a, b) і якщо функція x=(x) диференційована на проміжку (, ), причому складена функція F((t)) визначена на проміжку (, ), то функція f( (t))’(t) на проміжку (, ) має первісну, причому

. (4)

Метод інтегрування за допомогою теореми 3 називається методом інтегрування способом заміни змінної.

Приклад.

Метод інтегрування частинами.

Теорема 4. Якщо функції диференційовні на проміжку (a,b) і на цьому проміжку існує первісна для функції , то на проміжку(a, b) існує первісна і для функції і має місце рівність

. (5)

До правої частини ми не додали довільної сталої С, оскільки така стала міститься в іннтегралі .

Формула (5) називається формулою інтегрування частинами, а метод інтегрування, що грунтується нга ній – методом інтегрування частинами.

Розглянемо приклад.

,

позначивши , отримаємо

.

Деколи цю формулу птрібно застосовувати декілька разів.

.

Попутно зауважимо, що для обчислення більшості інтегралів потрібно, як правило, застосовувати різні методи.

Контрольні запитання

1. Що називається первісною?

2. Які функції мають первісні?

3. Скільки первісних має функція?

4. Як знайти всі первісні?

5. Що називається невизначеним інтегралом?

6. Сформулюйте і доведіть його властивості.

7. Чому рівні інтеграли від основних функцій?

8. У чому полягає інтегрування методом розкладу ?

9. У чому полягає інтегрування методом заміни змінної ?

10. У чому полягає метод інтегрування частинами ?