Контрольні запитання

1. Як використовують визначений інтеграл для обчислення площ плоских фігур

• у декартовій системі координат,

• у полярній системі координат,

• заданій параметрично?

2. Як обрахувати довжину дуги кривої

• у декартовій системі координат,

• у полярній системі координат,

• заданій параметрично?

3. Як обчислити об”єм тіла обертання?

4. Як обчислити площу поверхні обертання?

5. Що таке статичний момент точки, лінії, фігури, як вони обчислюються?

4. Як обчислити моменти інерції фігури?

5. Як обчислити координати центра тяжіння фігури?

6. Як знайти шлях, пройдений матеріальною точкою за відомою швидкістю?

7. Як обчислити роботу сили?

Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння

Тема 19. Поняття про диференціальні рівняння, рівняння з відокремлюваними змінними

Мета. Розглянути поняття диференціального рівняння, означити основні поняття та характеристики. Навчитись розв’язувати найпростіші лінійні дифрівняння та рівняння з відокремлюваними змінними.

План.

1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Поняття диференціального рівняння.

2. Диференціальні рівняння першого порядку. Поняття про задачу Коші.

3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

1. Вивчаючи явища природи, розв”язуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки, не завжди можна безпосередньо встановити прямий зв”язок між величинами, що описують той чи інший еволюційний процес. Здебільшого можна встановити зв”язок між цими величинами (функціями) та швидкостями їхньої зміни відносно інших (незалежних) змінних величин. При цьому виникають рівняння, в яких невідомі функції містяться під знаком похідної. Ці рівняння називаються диференціальними.

Прикладом найпростішого диференціального рівняння є рівняння

де f(x) – відома, а у=у(х) – шукана функція незалежної змінної х. Розв’язки цього рівняння називають первісними функціями для функції f(x).

Наприклад, розв”язками диференціального рівняння

є функції

де С – довільна стала, причому інших розв”язків це рівняння не має.

Мати безліч розв’язків – характерна властивість диференціальних рівнянь. У цьому розумінні наведений приклад типовий. Тому, розв”язавши диференціальне рівняння, яке описує перебіг певного процесу, не можна одночасно знайти залежність між величинами, що характеризують цей процес. Щоб вибрати з нескінченної множини залежностей ту одну, яка притаманна саме цьому процесу, треба мати додаткову інформацію, наприклад знати початковий стан процесу. Без цієї додаткової умови задача недовизначена.

Розглянемо задачу, що приводить до диференціальних рівнянь.

Задача 1. У сприятливих для розмноження умовах перебуває певна кількість бактерій. Через який час кількість бактерій подвоється?

Розв’язання. Нехай у початковий момент було m₀ бактерій. Позначимо через m (t) кількість бактерій у момент часу t (m(0)=m₀). Із експерименту відомо, що швидкість розмноження бактерій за сприятливих умов пропорційна їхній кількості. Цей біологічний експериментальний закон дає змогу написати диференціальне рівняння розмноження бактерій:

m^/ (t) = km (t), k0. (1)

Коефіцієнт пропорційності k залежить від виду бактерій та умов, в яких вони перебувають. Його можна визначити експериментально.

Вихідна задача звелась до чисто математичної задачі: знайти розв”язок m=m (t) рівняння (1), для якого m (0)=m₀, і з рівняння m (t)=2m₀ визначити час подвоєння початкової кількості бактерій.

Оскільки m (t)0, то поділивши обидві частини рівняння (1) на m (t), дістанемо

(ln m (t))^/=k

Звідси

ln m (t)=kt+С₁, (2)

де С₁ – будь-яка стала, яку для зручносі позначимо так: С₁= ln С, С0. З рівняння (2) маємо

m (t)=Се^kl.

Щоб з цієї множини функцій виділити ту, яка описує процес розмноження бактерій, скористаємося рівністю m(0)=m₀. Остаточно матимемо:

m (t)=

Час t, за який кількість бактерій подвоїться, визначається з рівняння

2 m₀ =m₀^kl.

Звідси . Зауважимо, що цей час не залежить від початкової кількості бактерій.

Диференціальне рівняння

y^/ (x)=ky(x), (3)

що утворилося в процесі розв”язання попередньої задачі, описує багато різноманітних процесів і залежностей між величинами, в яких шукані функції у(х) можуть бути не тільки додатні.

У різних сферах діяльності людини виникає багато задач, розв”язування яких аналогічне розв”язуванню задач, які було вже розглянуто. Про такі задачі кажуть, що вони зводяться до диференціальних рівнянь. Характер цих задач і методику розв”язання їх можна схематично описати так.

Відбувається деякий процес – фізичний, хімічний, біологічний, економічний та ін. При цьому інтерес становить певна функціональна характеристика процесу, наприклад зміна з часом температури чи тиску, маси, положення в просторі. Якщо маємо достатньо повну інформацію про хід цього процесу, то можна спробувати побудувати його математичну модель. У багатьох випадках такою моделлю є диференціальне рівняння, одним з розв”язків якого і є шукана функціональна характеристика процесу. Диференціальне рівняння моделює процес у тому розумінні, що воно описує еволюцію процесу, характер змін матеріальної системи, можливі варіанти цих змін залежить від початкового стану системи.

Досвід показує, що різні за змістом задачі зводяться до однакових або аналогічних диференціальних рівнянь. Про це й свідчать розглянуті вище задачі. Тому необхідно розробити прийоми розв”язування таких класів рівнянь для тих задач, які зведені або можуть зводитися до них. Ці всі питання вивчає математична наука, яка називається теорією диференціальних рівнянь.

Диференціальним рівнянням називається таке рівняння, яке містить похідну від шуканої функції і може містити первісну функцію і незалежну змінну. Будем вважати, що незалежна змінна завжди є дійсним числом.

В теорії диференціальних рівнянь вивчаються і такі рівняння, які містять декілька незалежних змінних, шукану функцію і часткові похідні від шуканої функції по незалежних змінних, наприклад:

.

Такі рівняння називаються рівняннями з частковими похідними. На відміну від них рівняння, в яких шукана функція є функцією тільки від однієї незалежної змінної, називаються звичайними диференціальними рівняннями. В подальшому всюди будем розглядати тільки звичайні диференціальні рівняння.

Найвищий порядок похідної, яка входить до складу диференціального рівняння, називається порядком цього рівняння. Рівняння

є відповідно рівняннями другого, третього і четвертого порядків. Рівняння n-го порядку завжди можна, переносячи всі члени у лівий бік, записати у вигляді:

(4)

Тут F – деяка відома функція від своїх аргументів, яку будем вважати завжди дійсною. Похідна n-го порядку обов’язково входить в рівняння. Ми будем розглядати головним чином, рівняння розв’язані відносно найвищої похідної, тобто рівняння виду:

. (5)

Відносно такого рівняння будем казати, що воно задано в нормальній формі.

Усяка функція y=y(x), визначена і неперервна на інтервалі (a,b) разом зі своїми похідними до порядку, рівного порядку даного диференціального рівняння, яка перетворює це рівняння в тотожність, справедливу при всіх значеннях х із інтервалу (a,b), називається розв’язком цього рівняння на інтервалі (a,b). Так, функція:

буде розв’язком рівняння (1) на інтервалі (a,b), якщо

Деколи розв’язок одержують в неявному вигляді

,

чи в параметричній формі

(t – параметр)

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Часто заради стислості інтегральну криву називають розв’язком.