Контрольні запитання

1. Як шукати частинні похідні вищих порядків?

2. Яка властивість неперервних частинних похідних?

3. Що називається диференціалом 2-го , 3-го, n-го порядку.

9. Що називається максимумом, мінімумом, екстремумом функції кількох змінних?

4. Сформулюйте алогоритм знаходження екстремумів функції.

5. Що називається умовним екстремумом?

6. Сформулюйте алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення в замкнутій області.

Розділ 6. Інтегрування функції однієї змінної

Тема 16. Первісна функція та неозначений інтеграл

Мета. Розглянути поняття первісної та її зв’язок з неозначеним інтегралом, вивчити основні методи інтегрування.

План.

1. Поняття первісної.

2. Неозначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.Основні методи інтегрування.

1. У математиці поряд з прямими операціями часто доводиться розглядати оберненні до них. Наприклад, поряд з операцією додавання існує операція віднімання, поряд з множенням – ділення, поряд з показниковою функцією –логарифмічна і т.д. Зазначимо, що оберненні операції не завжди здійсненні в тій множині, що й прямі. Найпростішим прикладом є множення цілих чисел, дія ділення двох цілих чисел вже не обов’язково ціле число: наприклад, 3:2=1,5 (не ціле число). Проте на множинні дійсних чисел і пряма, і обернена операції визначенні.

Ми знайомі з операцією диференціювання функції: за даною функцією знаходимо похідну або диференціал. Припустимо, що дано деяку функцію f(x), визначену на проміжку (a,b), скінченному чи нескінченному і треба знайти функцію F(x), похідна якої рівна f(x), тобто, .

Означення. Функція F(x), визначена на проміжку (a,b), похідна якої дорівнює f(x) на цьому проміжку називається первісною або примітивною функцією до даної, або просто первісною.

Наприклад, функції в інтервалахвідповідно є первісними для.

З введенням первісної виникають наступні питання.

1. Які функції мають первісні?

Без доведення приймемо наступне твердження: функція неперервна на деякому проміжку має первісну на цьому проміжку.

2. Якщо первісна для функції існує, то чи є вона єдиною?

Неважко бачити, що коли функція F(x) є первісною для f(x) на проміжку (a,b), то і будь-яка функція (x)=F(x)+c, де с – довільна стала є первісною для f(x) на проміжку (a,b).

Дійсно, .

3. Як знайти всі первісні, якщо відома одна з них на деякому проміжку?

Теорема. Якщо функція F(x) є деякою первісною для f(x) на проміжку (a,b), то множина всіх первісних міститься у формулі

(x)=F(x)+c, (1)

де с – довільна стала.

2. Множина всіх первісних функцій f(x), визначених на проміжку (a,b), називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається

.

Якщо F(x) – яка- небуть первісна для функції f(х) на проміжку (a,b), то, внаслідок теореми, множину всіх її первісних на цьому проміжку, тобто невизначений інтеграл від функції f(x), запишемо у вигляді,

.

Знак називається знаком невизначеного інтеграла,f(x) – підінтегральною функцією, f(x)dx – підінтегральним виразом.

Властивості невизначеного інтеграла.

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Дійсно,

.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

Дійсно,

.

Таким чином, знаки диференціалу і інтегралу, розміщенні поруч взаємно знищуються.