- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
Цели игры:
проверка знаний учащихся, их сообразительности и находчивости;
формирование и развитие творческого интереса у учащихся к занятиям математикой;
развитие культуры коллективного умственного труда;
развитие мышления, наблюдательности, взаимопомощи, сообразительности, чувства товарищества.
Форма проведения мероприятия: соревнование
Оборудование: заранее подготовленные карточки с заданиями для команд, почетные грамоты для команд, доска оформлена рисунками и плакатами.
В игре принимает участие 2 команды (по 8 человек в каждой).
Билет № 12Поле комплексных чисел
Теорема о поле комплексных чисел
Назовем мнимой единицей символ i, удовлетворяющий единственному свойству: i2 = – 1.
Теорема 2.1. Существует единственное, с точностью до изоморфизма поле (С, +, ), называемое полем комплексных чисел, в котором выполняются следующие условия:
1. Поле действительных чисел (R, +, ) является подполем в (С, +, ),
2. i C i2 = –1.
3. z C ! a, b R z = a + i b.
Запись комплексного числа z в виде a + i b называется его алгебраической формой записи, при этом а называют действительной частью комплексного числа z, i b – мнимой частью, а b – коэффициентом мнимой части.
Обозначение: Re z – действительная часть, I m z – мнимая часть комплексного числа.
При доказательстве этой теоремы устанавливаются следующие правила сложения, умножения и деления в поле комплексных чисел для чисел в алгебраической форме записи:
(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d), (1)
(a + i b) (c + i d) = (a c – b d) + i (a d + b c), (2)
(a + i b) – (c + i d) = (a – c) + i (b –d), (3)
= +i , где на (c + i d) 0 (4)
На практике обычно формулы (3) и (4) не запоминают, а руководствуются такими мнемическими правилами:
а) чтобы перемножить два комплексных числа, нужно перемножить их как два двучлена;
б) чтобы разделить (a + i b) на (c + i d) 0, нужно числитель и знаменатель домножить на комплексное число , сопряженное знаменателю и выполнить указанные действия ((c – i d) называют сопряженным по отношению к (c + i d)).
Примеры. 1. (2 + i · 5) + (3 + i · (-4)) = (2 + 3) + i · (5 – 4) = 5 + i
2. (2 + i (–3)) (1 – i) – = (–1 – i 5) – = (–1 – i 5) – – = + i () .
Так как (z = a + i · b) (C = R × R), то с геометрической точки зрения, любое комплексное число имеет две равноправные геометрические интерпретации (модели).
точка координатной плоскости А (а, b);
радиус-вектор с концом в точке с координатами (а, b).
Тригонометрическая форма записи
Геометрический подход к понятию комплексного числа позволяет записывать его в так называемой тригонометрической форме. Для этого вводится понятие модуля и аргумента.
Определение 2.1. Модулем комплексного числа z называется арифметическое значение корня квадратного из а2 + b2, т. е. | z | = .
Это понятие является обобщением понятия «абсолютная величина действительного числа», так как, еслиz = a + i · 0, то | z | = = |а |.
С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа – это длина радиус-вектора ОА или расстояние от начала координат до точки с координатами (а, b) (рис. 1).
Определение 2.2. Аргументом комплексного числа z называют угол между положительным направлением осии радиус-вектором, отсчитываемым против часовой стрелки.
Из этого определения следует, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до числа, кратного 2. Поэтому на практике, в качестве аргумента, обычно берут наименьший по абсолютной величине угол, который обозначают=arg z и находят из соотношений:
cos= , sin = , 0 2а = | z | · cos,b = | z | · sin,
тогда z = a + i · b = | z | · (cos+i · sin) и мы получилитригонометрическую форму записи комплексного числа.
Определение 2.3. Тригонометрической формой записи комплексного числа z называется представление его в виде z = r (cos+ i sin), где r = | z | – неотрицательное действительное число, [0, 2).
Понятие модуля и аргумента комплексного числа z позволяют записать это число в тригонометрической форме.
Пример. Комплексное число z = – i записать в тригонометрической форме.
1. Изобразим данное комплексное число на координатной плоскости. Это будет радиус-вектор с концом в точке А (, - 1) (рис. 2)
2. Найдем его модуль |z | = | – i | = == 2.
3. Найдем аргумент из соотношений:
cos= = ,sin = = или
Таким образом, z = – i = 2 · [cos +i · sin].
Существование двух форм записи одного и того же комплексного числа z = a + i · b = r (cos+ i sin) позволяет выполнять алгебраические операции на множестве С в той форме, которая наиболее удобна в каждом конкретном случае.
Теорема 2.2. Если z1 = r1 (cos + i sin), z2 = r2 (cos + i sin)), то
1) z1 · z2 = r1 · r2 · [cos + i sin];
2) z1 : z2 = · [cos + i sin], где z2 0;
3) если r 0, то для любого n Z справедлива формула Муавра
zn = rn · [cos( n ·) + i sin (n ·)],
4), k = 0, 1, 2, …, (n-1).
Операции сложения и вычитания в тригонометрической форме на практике не выполняются.
Пример. Найти (1– i)105.
Имеем 1– i = |1 – i| (cos + i sin) , где |1– i| = = ,
, = .
Таким образом, z = (cos + i sin ) и
z105 = ()105 (cos + i sin ) = 250 (cos + i ·sin ) = 250 (cos + i sin ) = 250 (cos + i sin ) = 250(–+i ) = – 250 + i 250.