Основные свойства неопределённого интеграла

1⁰ Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной ф-ции: .

2⁰ Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегр-му выр-нию:

3⁰ Постоянный сомножитель выносится за знак неопред-ного интеграла:

4⁰ Неопределённый интеграл от алгебраической суммы ф-ций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых:

5⁰ Неопределённый интеграл от дифференциала для любой ф-ции равен самой этой ф-ции плюс константа:

Интегрирование по частям - это один из самых распространённых методов интегрирования. Формула интегрирования по частям: .

(п2) Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки) - при этом методе данный интеграл приводится к другому интегралу с другой переменной интегрирования. Замена переменных осуществляется следующим образом:

Пусть дан интеграл у= , который не вычисляется с помощью непосредственного интегрирования и интегрирования по частям и пусть ф-цияx=φ(t) – явл-ся строго монотонной и дифференцируемой.

Найдём , тогда данный интеграл равен следующему интегралу :. Окончательно имеем:.

Замечание: полученный интеграл обязательно д/б проще, чем данный интеграл.

Гораздо чаще встречается подстановка иного типа.

Пусть дан интеграл: , тогда замена переменной будут такой:- часть подынтегральной ф-ции обозначается ч/з новую переменную:

(п2)

Определённый интеграл.Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная ф-ция f(x) и [a,b] разбит на части. В каждом элементарном отрезке [х₀, х₁],…, [х_n-1, х_n] произвольно выберем по одной точке (кси): . Найдём значение ф-ции в выбранных точкахи составим интегральную сумму:. Она зависит от способа разбиения на элементарные части и от выбора точек-тоя. Нижняя и верхняя суммы Дарбу явл-ся частным случаем интегральной суммы

Представим себе, что отрезок [a,b] делится на бесконечное число элементарных частей и длина каждой из них → 0. Если при любых разбиениях [a,b], таких, что максимальное значение и при любом выборе точекна элементарном отрезке, интегральная суммастремится к одному и тому же пределу, то он наз.определённым интегралом ф-ции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается: , обозначим, где а – нижний,b- верхний предел интеграла, f(x)- подынтегральная ф-ция х- переменная интегрирования.

Если предел существует, то ф-ция f(x) наз. интегрированной на отрезке [a,b].

Геометрический смысл: Если f(x)≥0, то определённый интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции сверху ограниченную графиком ф-ции у= f(x), снизу осью Ох, слева прямой х=а и слева х=b.

Свойства определённого интеграла

1⁰ Т: Если ф-ция f(x) на отрезке [a,b], то она на нём интегрирована.

2⁰ Постоянный множитель выносится за знак интеграла: .

3⁰ Определённый интеграл от алгебраической суммы ф-ций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых: .

4⁰Если на отрезке [a,b], где ф-ции f(x), g(x) связаны f(x)≤g(x), то таким же знаком неравенства связаны и их интегралы: .

5⁰ Если на отрезке [a,b] ф-ция f(x) ограничена m≤f(x)≤M, a<b, .

6⁰ Для справедливо неравенство:, где.

7⁰ Если на отрезке [a,b] ф-ция f(x) положительна, то интеграл так же положителен : .

8⁰ Если поменять местами пределы интегрирования, то опред. интеграл меняет знак: .

9⁰ Опред-й интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

10⁰ .

11⁰ Теорема о среднем значении: Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдётся такая (.)с, что справедливо неравенство: , где.

Формула Ньютона-Лейбница. Известно, что если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то одной из её первообразных явл-ся Ф(х). Также известно, что любые две первообразные отличаются на константу, т.е. пустьF(x)- любая первообразная для f(x) на [a,b] - конкретное число. Положим, что в этой формуле х=а,,

, положим, что х=b формула Ньютона-Лейбница.

Приложение определённого интеграла