- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Геометрическая интерпретация действий
Операции над комплексными числами также могут быть осмыслены с геометрической точки зрения. Так, операции сложения z1 + z2 (вычитания z1 – z2 = z1 + (– z2 ) двух комплексных чисел z1 и z2 в алгебраической записи соответствуют операции сложения двух векторов по правилу параллелограмма (рис. 3).
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, чтобы умножить комплексное число z1 на z2 нужно длину вектора z1 изменить в | z2 | раза (растянуть или сжать), а затем полученный вектор повернуть вокруг начала координат на угол arg z2 (рис. 4)
Геометрический смысл операциисостоит в делении окружности радиусанаn равных частей.
Пример. Вычислить и изобразить все его значения геометрически.
Представим комплексное число z = – 4 в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент.
| – 4 | = 4, arg (– 4) = , – 4 = 4 (cos + i · sin )
Тогда ,k = 0, 1, 2, 3.
Придавая параметру k значения 0, 1, 2, 3, получаем четыре значения корня четвертой степени из 4.
z0 =,
z1 =,
z2 =,
z3 =.
Изобразим найденные корни на комплексной плоскости, они делят окружность радиуса на четыре равные части. Кроме того, мы вписали в эту окружность правильный четырехугольник (квадрат) (рис. 5).
Замечание. Часто при решении задач используется геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, как расстояния между двумя точками на плоскости. | z1 – z2 | = ( z1, z2).
Пример. Найти геометрическое место точек, для которых
| z – (2 + i) | 3
Г
y
МЕТОДИКА 12.
Билет № 13. Векторные пространства
Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
Пусть V – непустое множество, состоящее из элементов произвольной природы. Будем обозначать его элементы малыми буквами латинского алфавита, и называть векторами. Пусть дано произвольное поле F = (F, +, ·), элементы которого будем обозначать малыми буквами греческого алфавита, и называть скалярами.
Зададим на множестве V бинарную операцию +: V×VV, +: (а, b) с, где а, b, c V и назовем ее сложением векторов (а, b V а + b V).
Определим также внешнюю композицию w: F × V V , w: (, а) а
и назовем ее умножением скаляра на вектор (F аV аV).
Определение. 3.1. Алгебра V = (V, +, {w |F}) называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия (аксиомы):
1 – 4. (V, +) – абелева группа.
5. аV 1 ∙ аV.
6. F аV () ∙ а = ( ∙а) (умножение на скаляр ассоциативно).
7. F аV () ∙ а= а + ∙ а (умножение на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению векторов).
8. F а, b V ∙ (а + b) = а + ∙ b (умножение вектора на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению скаляров).
Замечание 1. Если F = R, то V над R называют вещественным векторным пространством, если F = C, то V над C называют комплексным векторным пространством.
Примеры. 1. Rn – арифметическое векторное пространство, в котором любой вектор аRn представляет собой упорядоченный набор из n действительных чисел, то есть а = (), гдеR (i = 1, 2, … , n); в Rn операция сложения векторов и умножение на скаляр задается правилами:
а) a + b = () + () = ();
б)·а = · () = ().
2. Мnn(R) – векторное пространство квадратных матриц n-го порядка над полем R. Любой вектор в этом пространстве представляет собой квадратную матрицу вида:
А + B = || aij || + || bij || = || aij + bij || , i, j = 0, 1, 2,…, n; · || aij || = ||аij ||.
3. V2 – векторное пространство геометрических векторов плоскости.
4. V3 – векторное пространство геометрических векторов трехмерного пространства.
Замечание 2. Из определения следует, что любое векторное пространство V над F прежде всего является аддитивной абелевой группой, поэтому все свойства абелевых групп справедливы и для векторных пространств.
В след. теореме сформулируем простейшие свойства (следствия из определения V над полем F).
Теорема 3.1. Если V векторное пространство над полем F, то а, bV, F:
10. (a + b = a) (b = )
20. (a + b = )(b = – a)
30. (a =b0) (a = b)
40. (a =a a) ()
50. (a = ) ( = 0 a = )
60. 0∙ a =
70. ∙ = .
Для доказательства всех этих утверждений используются свойства аддитивной группы векторного пространства и другие аксиомы.
10. Действительно, (a + b = a) (b = ), так как (V, +) – абелева группа, в которой существует единственный V : аV a + = а.
20. Аналогично в группе (V, +) аV !(-а )V : а + (- а) = (- а) + а = , следовательно, b = - a.
30. (a =b 0) (a = b) так как F , а F – поле, то в нем F ( 0) F ·= ·= 1 и тогда ·(а) = ·( b) (·) а = (·) b (a = b).
60. 0 ∙ a = . Действительно, 0 · а = (0 + 0) · а = 0 · а + 0 · а, отсюда по свойству 10 следует, что 0 · а = .
Аналогично можно доказать остальные свойства.