Гомоморфизмы групп, колец, полей

Определение 1.7. Пусть (A, ) и (B, ) – группы. Отображение  : A  B называется гомоморфизмом групп, если оно сохраняет операцию, т.е.  x, y  A (x  y) =  (x) (y).

Определение 1.8. Если (A, +, ) и (B, , ) – кольца, то отображение  : A  B называется гомоморфизмом колец, если оно сохраняет обе операции, т.е.

 x, y  A  (x + y) = (x)  (y),  x, y  A  (x  y) =  (x)   (y).

Определение 1.9. Инъективные гомоморфизмы называют мономорфизмами или вложениями, сюръективные гомоморфизмы – эпиморфизмами или наложениями, а биективные – изоморфизмами.

Определение 1.10. Если существует гомоморфизм групп или колец  : А  B, то группы или кольца А, В называют изоморфными.

Смысл изоморфизма состоит в том, что он устанавливает такое соответствие между элементами изоморфных объектов, которое показывает, что с точки зрения сохраняемых алгебраических операций изоморфные объекты неразличимы.

Примеры: 1. Тождественный изоморфизм I: A  A , x  A I (x) = x. (A – группа или кольцо).

2. Единичный или нулевой эпиморфизм: если E = {e} – одноэлементный объект (единичная группа или нулевое кольцо), то для любой группы (A, ) или кольца определён эпиморфизм О: A  E,  x  A О (x) = e.

3. Естественные вложения групп и колец: Z  Q  R  C.

Свойства гомоморфизмов

Если  : (A, )  (B, ) – гомоморфизм групп, то

1⁰.  (e_A) = e_B , т.е.  переводит единичный элемент в единичный.

2⁰.  a  A  (a^–1) =  (a) ^–1, т.е.  переводит обратный элемент к а в обратный к  (а).

3⁰. В случае гомоморфизма колец  : (A, +,  )  (B, ,  ) получаем  (0_А) = 0_В ,  (– a) = –  (a).

4⁰. Для гомоморфизма колец  : (A, +,  )  (B, , ) верно:

 x, y  A  (x – y) =  (x) –  ( y).

5⁰. Гомоморфизм полей  : (A, +, )  (B, ,  ) либо нулевой, либо вложение.

60. Если  : u  V и  : V  w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция  ○  : u  w будет гомоморфизмом групп или колец.

70. Если  : V  w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение  –1 : w  V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике

Изоморфизм (или изоморфность) – одно из основополагающих понятий современной математики. Два однотипных математических объекта (или структуры) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение одного из них на другой, такое, что оно и обратное к нему сохраняют строение объектов, т.е. элементы, находящиеся в некотором отношении, переводятся в элементы, находящиеся в соответствующем отношении.

Изоморфные объекты могут иметь различную природу элементов и отношений между ними, но они совершенно одинаково абстрактно устроены, служат копиями друг друга. Изоморфизм представляет собой «абстрактное равенство» однотипных объектов. Например, аддитивная группа классов вычетов по модулю n изоморфна мультипликативной группе комплексных корней n-ой степени из 1.

Отношение изоморфности на любом классе однотипных математических объектов, будучи отношением эквивалентности, разбивает исходный класс объектов на классы изоморфности – классы попарно изоморфных объектов. Выбирая в каждом классе изоморфности по одному объекту, мы получаем полный абстрактный обзор данного класса математических объектов. Идея изоморфизма заключается в представлении или описании объектов данного класса с точностью до изоморфизма.

Для каждого данного класса объектов существует проблема изоморфизма. Изоморфны ли два произвольных объекта из данного класса? Как это выясняется? Для доказательства изоморфности двух объектов, как правило, строится конкретный изоморфизм между ними. Или устанавливается, что оба объекта изоморфны некоторому третьему объекту. Для проверки неизоморфности двух объектов достаточно указать абстрактное свойство, которым обладает один из объектов, но не обладает другой.

МЕТОДИКА 11.Ю.М.Колягин различает два вида внеклассной работы по математике.

1. Работа с учащимися отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике.

1. Работа с учащимися проявляющими интерес к математике.

Но можно выделить ещё и третий вид работы.

3. Работа с учащимися по развитию интереса в изучении математики.

Существуют следующие формы внеклассной работы:

1. Математический кружок.

1. Факультатив.

1. Олимпиады конкурсы, викторины.

1. Математические олимпиады.

1. Математические дискуссии.

1. Неделя математики.

1. Школьная и классная математическая печать.

1. Изготовление математических моделей.

1. Математические экскурсии.

Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д.

Этапы организации.

Подготовительный

• организационный

возбудить интерес к внеурочным занятиям;

привлечь к участию в массовых мероприятиях и отдельных состязаниях;

• дидактический

помочь в преодолении трудностей;

поддерживать возникающий интерес к дополнительным занятиям;

желание заниматься математическим самообразованием

Основной

создать базу каждому ученику для дальнейших личных успехов;

помочь учащимся осознать социальную, практическую и личностную значимость внеклассных занятий;

формировать положительную мотивацию участия во внеклассных мероприятиях

Заключительный

провести диагностику и рефлексию, проводимых внеклассных занятий;

провести рейтинг участия учащихся во внеклассных занятиях;

подвести итоги и поощрить учащихся принявших активное участие