- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Алгоритм Евклида
1-й шаг. Делим а на b 0. Если а b, то (а, b) = b по лемме 8.2. Если а = bq0 + r1, то (а, b) = (b, r1).
2-й шаг. Делим b на r1. Если b r1 , то (b, r1) = r1. Если b = r1q1 + r2, то (b, r1) = (r1, r2).
3-й шаг. Делим r1 на r2 b и т.д.
Лемма 8.4. Алгоритм Евклида состоит из конечного числа шагов.
Действительно, остатки, получаемые в процессе деления убывают и являются натуральными числами | b | < r1 < r2 < …, поэтому не более, чем за | b | шагов получим остаток равный нулю, т.е. (rn-1, rn) = rn и тогда (rn-1, rn) = rn.
Теорема 8.5 (о нахождении НОД(а, b) с помощью алгоритма Евклида). Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида является наибольшим общим делителем целых чисел а и b (а0,b0).
Доказательство. Применим к числам a и b алгоритм Евклида:
а = bq0 + r1, 0 r1 < b
b = r1q + r2, 0 r2 < r1
………………………….
rn-2 = rn-1 ∙ qn-1 + rn, 0 rn < rn-1
rn-1 = rn ∙ qn + 0
Из первого равенства по лемме 8.3 будем иметь (а, b) = (b, r1). Из второго равенства алгоритма Евклида по лемме 8.3 будем иметь: (b, r1) = (r1, r2) и т.д.
Из последнего равенства (rn-1, rn) = rn.
Итак, (а, b) = rn.
Пример. Вычислим НОД (154, 48) с помощью алгоритма Евклида.
_ 154 | 48
144 3
_ 48 | 10
40 4
_10 | 8
8 1
_ 8 | 2
8 4
0
Процесс деления можно записывать в виде последовательности равенств деления с остатком, называемой последовательностью Евклида.
154 = 48 ∙ 3 + 10
48 = 10 ∙ 4 +8
10 = 8 ∙ 1 + 2
8 = 2 ∙ 4
Итак, НОД (154, 48) = 2.
Следствие 1 (о линейном разложении НОД(a, b)). Наибольший общий делитель НОД(a, b) любых целых чисел a0, b0 можно представить в виде линейной комбинации чисел a и b c целыми коэффициентами u и v: НОД(a, b) = u ∙ a + v ∙ b (1)
Определение 8.3. Представление (1) называется линейным разложением наибольшего общего делителя чисел a и b.
Пример. Найдем линейное представление НОД(154, 48). Воспользуемся последовательностью Евклида из предыдущего примера, выразим остатки: 2 = 10 + 8 ∙ (-1), 8 = 48 + 10 ∙ (-4), 10 = 154 + 48 ∙ (-3). Подставим в первое равенство выражение 8 из второго, затем для 10 из третьего, получаем: 2 = 10 + [48 + 10∙ (-4)] ∙ (-1) = 48 ∙ (-1) + 10 ∙ 5 = 48 ∙ (-1) + [154 + 48 ∙ (-3)] ∙ 5 = 154 ∙ 5 + 48 ∙ (-16).
Итак, 154 ∙ 5 + 48 ∙ (-16) = 2 – линейное разложение (154, 48).
Нок целых чисел и его вычисление
Определение 8.4. Общим кратным конечного множества целых чисел a1, a2,…, ak, отличных от нуля, называют целое число m, которое делится на все числа аi (i = 1, 2, … , k).
Определение 8.5. Целое число m называется наименьшим общим кратным чисел a1, a2, …, аk , отличных от нуля, если:
1. m – является их общим кратным;
2. m делит любое другое общее кратное этих чисел.
Обозначение: m = НОК(a1, a2, …, аk) или m = [a1, a2, …, аk].
Теорема 8.6. Наименьшее общее кратное целых чисел а и b определяется однозначно с точностью до знака.
Действительно, если предположить, что m1 = [a, b] m2 = [a, b], то m1 m2 m2 m1, поэтому m1 = m2 m2 = - m1.
Замечание. Обычно берется положительное значение [a, b] .
Пример. Даны числа 3, 4, 6, 8. Числа 24, 48, 96 являются общими кратными чисел 3, 4, 6, 8. Наименьшим общим кратным будет число 24. [24, 48, 96] = 24.
Между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух целых чисел существует зависимость, которая выражается формулой:
[a, b] =
Эта связь позволяет утверждать, что для любой пары целых чисел, отличных от нуля, существует наименьшее общее кратное.
Пример. 1. Вычислим НОК [154, 48] = = 3696.
2. Наиболее просто НОД двух целых чисел вычисляется в том случае, когда (а, b) = 1, тогда [a, b] = = |a ∙ b |. Например,
[21, 5] = = 105.