Матричные уравнения
Рассмотрим матричные уравнения вида:
(1) A X = B и (2) Y C = D, где A, C Mn n(F), B Mn k(F), D Mk n(F), причём A, C обратимы, X Mn k(F), Y Mk n(F) – неизвестные матрицы.
Теорема 4.4. (о матричных уравнениях). Матричное уравнение (1) при |A| 0 имеет единственное решение X = A–1B.
Матричное уравнение (2) при |C| 0 имеет единственное решение
Y = D C –1.
Примеры.
1. Решить уравнение: A
X
= B,
где А
=
,B
=
.
|A| 0, поэтому решением уравнения будет матрица X = A–1 B. Вычислим A–1 с помощью элементарных преобразований:
~
~
~
Следовательно,
А-1
=
.Х
=
·
=
.
Проверка:
·
=
.
Ответ: Х
=
.
2. Решить уравнение:
Y
C
= D,
где С =
,
D
=
.
|С| 0, поэтому решением уравнения будет матрица Y = D C –1.
Вычислим С
–1
=
||Сij||t
=
=
,
Y
= D
C
–1
= =
=
.Проверка:
·
=
.Ответ:
Y
=
.
МЕТОДИКА 14. Тема урока: Решение систем линейных уравнений
Цели урока: знакомство с определением системы линейных уравнений; с определением решения системы; с основными способами решения систем уравнений; развитие навыка применения аналогии при решении задач;
Структура урока:
1. Организационный момент; 2. Повторение ранее изученного материала; 3. Изучение новой темы; 4. Домашнее задание; 5. Подведение итогов;
Фрагмент урока:Приветствие учащихся.
Повторение ранее изученного материала: (учащиеся сами определили круг вопросов, задавали друг другу)
Что называется уравнением? (Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных)
-
линейное уравнение с 1 переменной.Что называется линейным уравнением с 2 переменными? (
)Приведите примеры линейных уравнений с 2 переменными.
Что является решение линейного уравнения с 2 переменными?
Задача 1:
Разность двух чисел равна 6. Найдите эти
числа. (
)
Какие свойства уравнений вы знаете?
Свойства уравнений:- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Задания на усвоение материала:
1.Решите систему уравнений:
2. Построить график линейного уравнения 3x – 2y = 6
3. Известно, что график функции 2x + 3y = 2 проходит через точку А, ордината которой равна 4. Найдите абсциссу этой точки.
Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
Определение 5.1.Пусть дано произвольное
полеF,x – переменная. Многочленом n
- й степени от одной переменнойназывают
выражение вида:an
xn + …+ a1
x + a0, гдеai
F(i= 0, 1, 2, …,n),an
0 ,n
N {0}.
Замечание.ai
хiназывают
членом многочлена;i– степенью этого члена (еслиai
0);ai– коэффициент соответствующего члена.
Еслиai= 0, то членуai
xiне приписывается никакой степени,a0
x0
– член нулевой степени, еслиai
0 – элемент поляF.
Многочлены от одной переменной обозначают так: f(x),g(x),h(x) и т.п.
Определение 5.2. Степенью многочленаf(x) называют наивысшую из степеней его членов (и обозначаютdegf(x)).
Многочлен f(x) = 0 ·хn+ 0 ·xn-1+ … + 0 называютнуль-многочленом. Его степень не определяется.
Множество многочленов F[x] = {f(x)|f(x) =an xn + …+ a1 x + a0} можно разбить на три класса:
1) нуль-многочлен f(x) = 0 ·хn+ 0 ·xn-1+ … + 0;
2) многочлены нулевой степени (ai
F);
3) многочлены степени выше нулевой f(x) иg(x), …
Если даны два многочлена f(x) иg(x), то всегда можно считать, что они содержат одинаковое число членов, т.к. недостающие члены всегда можно приписать с нулевыми коэффициентами.
Определение 5.3.
f(x),g(x)
F
[x], если
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 и
g(x) = bn xn + bn-1 xn-1 + …+ b1 x+ b0, то
f(x)
= g(x)
(an
= bn
)
(an-1
= bn-1)
…
(a0=b0).
Определим на множестве F[x] три операции:
1.
f(x),g(x)
F
[x],f(x)
+g(x)
= (an
+bn)
xn
+( an-1
+bn-1
)xn-1
+ …+ (a1
+b1)
x+ +(a0
+ b0);
2.
f(x)
F
[x],
F ,
f(x)
=
an
xn
+
an-1
xn-1
+ … +
a1
x +
a0;
3.
f(x),
g(x)
F
[x],
f(x)
· g(x)
= a0
b0
+ (a0
b1
+ a1
b0)
х + …+ (a0
bi
+…+a1 bi-1
+ + … + ai
b0 ) xi
+ … + an
bm
)xn+m;
Теорема 5.1 (о кольце многочленов от одного переменного).
Алгебра (F[x], + , ) является коммутативным кольцом с единицей без делителей нуля, содержащим в качестве подкольца, поле F.