Деление с остатком в кольце f[X]

Теорема 5.2 (о делении с остатком многочленов над полем).

f(x), (x)F[x], (x)  0, q(x),r(x)F [x] : (1) f(x) = (x) q(x)+ r(x), причем deg(r(x)) < deg((х))илиr(x) = 0.

Замечание. Равенство (1) называется равенством деления с остатком,f(x) называют делимым, (x) – делителем,q(x) – неполным частным,r(x) – остатком.

Следствие 5.3 (о делении на двучлен). Любой многочлен f(x)F[x] однозначно делится с остатком на двучлен x – а, где а F :

f(x) = (x – а) q(x) + r, где r  F.

Определение 5.4. ЭлементаFназываюткорнем многочленаf(x), еслиf(а) = 0.

Следствие 5.4. f(а) = 0 f(x)(х – а).

Доказательство.

Необходимость. Пусть f(а) = 0. Докажем, чтоf(x) делится на (х – а). Разделимf(x) на (х – а) с остатком, получим) f(x) = (x - а) q(x) + r, та какf(a) = 0 по условию, то 0 = 0 +r, Следовательно,r= 0, т.е.f(x) (x - а).

Достаточность. Пусть f(x) (x - а), докажем, чтоf(а) = 0. Разделим f(x) на (x - а), получим:f(x) = (x - а) q(x) + 0, подставима, получим:

f(а) = (а - а) q(а) + 0f(а) = 0.

Замечание. Еслиf(x) делится на (х – а)^k , ноf(x) не делится на (х – а)^k+1, тогдааназываюткорнем кратностиk.

Следствие 5.5 (теорема Безу) Остаток r от деления многочленаf(x)F[x] на двучлен(х – а), (аF)равен значению многочлена в точке а,т.е.r = f(а)F.

Доказательство.

Действительно: f(x) = (x – а) q(x) + r, тогдаf(а) =r.

Схема Горнера и её применения

Существует алгоритм деления многочлена f(x) на (x – a), который называется схемой Горнера.

Пусть f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ , deg f(x) = n, a_n 0. Разделимf(x) на (x – a), получим: (*)f(x) = (x – а) q(x) + r, где r  F, deg q(x) =n – 1.

Запишем q(x) = b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + … + b₁ x + b₀. Тогда подставив в равенство (*) вместоf(x) иq(x) их выражения, получим:

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ = (х – а) (b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + … + b₁ x + b₀) + r

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны.

r – ab₀ = a₀ r = a₀ + ab₀

b₀ – ab₁ = a₁ b₀ = a₁ + ab₁

…………….. ……………

b_n-1 = a_n a_n = a_n-1

Вычисление коэффициентов многочлена q(x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).

an	an-1	…	a1	a0
bn-1 = an	bn-2 = abn-1 + an-1	…	b0 = ab1 +a1	r = a0 + ab0

a

С помощью схемы Горнера можно решать такие типы задач:

1. Найти q(x)иrпри деленииf(x) на (х – а);

2. Вычислить значение многочлена f(x) приx = a;

3. Выяснить, будет ли х = акорнем многочленаf(x),аF;

4. Определить кратность корня;

5. Разложить многочлен по степеням (х – а).

6. Вычислить значение многочлена f(x) и всех его производных прих = а.

Пример. Пустьf(x) =x⁵– 15x⁴+ 76x³– 140x²+ 75x– 125 иа = 5.

Составим схему Горнера:

	1	-15	76	-140	75	-125
5	1	-10	26	-10	25	0 = с0
5	1	-5	1	-5	0 = с1
5	1	0	1	0 =с2
5	1	5	26 = с3
5	1	10 = с4
5	1 = с5

1. Вычислим неполное частное q(x) и остатокrпри деленииf(x) на (х – 5). Во второй строке таблицы видим, что коэффициенты частногоq(x) равны: 1, – 10, 26, – 10, 25, поэтомуq(x) = 1х⁴ – 10х³ + 26х² – 10х + 25, а остатокrравен 0.

2. Вычислим значение многочлена f(x) приx = 5. Воспользуемся теоремой Безу:f(5) =r= 0.

3. Выясним, будет ли х = 5 корнем многочленаf(x). По определениюа– кореньf(x), еслиf(а) = 0. Так какf(5) =r= 0, то 5 – кореньf(x).

4. Из второй, третьей и четвертой строк таблицы мы видим, что f(x) делится на (х – 5)³, ноf(x) не делится на (х – 5)⁴. Следовательно, число корень 5 имеет кратность 3.

5. Разложим многочлен f(x) по степеням (х – 5), коэффициенты разложения с₀, с₁, с₂, с₃, с₄, с₅получаются в последних клетках второй, третьей, четвертой, пятой, шестой и седьмой строки схемы Горнера:

f (x) = с₀+ с₁(х –5)+ с₂(х – 5)²+ с₃(х – 5)³+ с₄(х – 5)⁴+ с₅(х – 5)⁵или

f (x) = 26 (х – 5)³+ 10 (х – 5)⁴+ (х – 5)⁵.

6. Вычислим значение многочлена f(x) и всех его производных прих = 5.

с₀=f(5) = 0, с₁=f ′(5) = 0, с₂== 0f ′′(5) = 0,

с₃== 26f ^′′′(5) = 26 ∙ 3! = 156, с₄== 10f ′ ^v(5) = 10 ∙ 4! = 240,

с₅== 1f ^v(5) = 1 ∙ 5! = 120.

МЕТОДИКА 15. «Логарифмическая функция».

1. Логико – математический анализ темы.

Данная тема изучается в 10 классе.

Основные понятия:

Функцию, заданную формулой у=log_ах, где а>0, а≠0 называют логарифмической функцией с основанием а.

Термин – логарифмическая функция.

Род – функция.

Видовые отличия: 1) а>0, а≠0; 2) функция задана формулой у=log_ах.

Основные предложения:

Свойства логарифмической функции.

1°. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R₊, т.е.D(log)=R₊.

2°. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3°. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Справедливо следующее утверждение: графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х.

Основные идеи и методы изучения:

Определения понятий явные, через ближайший род и видовые отличия – конструктивные.

Методы доказательства:

Дедуктивные (на основе определения) с использованием математических методов: логарифмирование степени, основные свойства степени, метод от противного.

Например, свойство о том, что при а>1 функция возрастает, доказывается с помощью определения возрастающей функции, при этом применяется метод от противного.

Ранее изученный материал	Теоретический материал темы	Применение изученного материала
- показательная функция; - показательные уравнения и неравенства; - логарифмы и их свойства; - убывающая и возрастающая функции; - график функции.	Область определения функции Множество значений функции График функции Логарифм числа Десятичный и натуральный логарифмы Основные логарифмические тождества Логарифмическая функция Свойства логарифма Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства	- при решении логарифмических уравнений и неравенств; - в астрономии (оценка яркости звезд); - в физике; - в высшей математике (математическая логика, математический анализ).

1. Основные типы математических задач по теме

- найти область определения функции;

- построить график функции;

- найти область значения функции;

- найти промежутки знакопостоянства функции;

- исследовать функцию и построить ее график;

- найти наибольшее и наименьшее значение функции;

- найти значение выражения.

Типичные ошибки и затруднения изучения темы

Математические ошибки:

• вычислительные ошибки: при решении уравнений и неравенств, при нахождении значений функции, при действиях со степенями;

• логические ошибки: в выполнении тождественных преобразований, в использовании свойств логарифмов, при определении понятий, при выводе формул;

• графические ошибки: при построении графиков функций (не учитывают свойства функций); неправильно применяют преобразование графиков.

3. методы и приемы работы учащихся с учебником математики в соответствии с возрастными особенностями учащихся.

В 5-6 классах используют следующие методы работы с учебником:

1. чтение правил, определений, формулировок теорем учащимися после объяснения учителя

2. чтение вслух учителя ученикам с выделением главного и существенного

3. работа с формулами и иллюстрациями на обложке учебника

4. чтение учебника учащимися и ответы на вопросы учителя

В 7-8 классах добавляются следующие методы работы с учебником:

1. чтение текстов после их объяснения учителем

2. чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы

3. чтение текста из учебника учащимися и запись основных предложений темы по плану, предложенному учителем

В 9 – 11 классах ко всему предложенному добавляется:

1. разбор примеров учащимися в учебнике, после объяснения темы учителем

2. чтение текста учащимися и запись опорного конспекта по данному тексту

3. чтение текста учебника и самостоятельное составление учащимися плана по данному тексту.

4. чтение текста учебника и ответ учащегося по самостоятельно составленному плану

2. Фрагмент урока изучения новой темы: «Логарифмическая функция».

Цели урока:

Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоения понятия логарифмическая функция, формировать умения определять свойства логарифмических функций, формировать умение изображать графики логарифмической функции.

Развивающие: способствовать развитию мышления, восприятия, памяти, воображению, внимания.

Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: аккуратность, настойчивость, трудолюбие.

Тип урока: изучение нового материала

Структура урока:

1.организационный момент; 2. постановка целей урока; 3.проверка домашнего задания; 4. подготовка к изучению нового материала; 5. изучение нового материала; 6.первичное закрепление и осмысление нового материала; 7.постановка домашнего задания; 8.подведение итогов урока.;

Действия учителя

Действия учеников

ответьте на вопрос

1. что называется функцией?

2. какие функции вы узнали в этом году?

3. какие свойства функций вы знаете?

4. что называется графиком функции?

Сегодня мы изучим новую функцию логарифмическую. Когда мы изучали показательную функцию, мы оформляли ее свойства в таблицу. Сейчас я предлагаю открыть вам страницу 98 в ваших учебниках прочитать параграф 18 и записать в тетрадях опорный конспект по плану предложенному на доске. Опорный конспект вы будите оформлять так же, как оформляли при изучении показательной функции.

План опорного конспекта.

3. определение логарифмической функции

4. свойства логарифмической функции оформите в таблицу.

0 < a< 1	a> 1
Область определения
Область значений
Непрерывность
Возрастание и убывание функции

А теперь к доске я приглашаю одного человека который оформит правильно конспект на доске.

5. Числовой функцией с областью определении Dназывается соответствие, при котором каждому числу х из множестваDсопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

6. степенная, показательная.

7. Область определения, область значений, непрерывность, возрастание, убывание функции.

8. Графиком функции fназывают множество всех точек (х; у) координатной плоскости, гдеy=f(x), а х «пробегает» всю область определения функцииf.

Ответы:

Функцию, заданную формулой у=log_ах, где а>0, а≠0 называют логарифмической функцией с основанием а.

0 < a < 1	a > 1
Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R+, т.е.D(log)=R+.
Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел
Непрерывна на все области определения
убывает (при 0<а<1).	возрастает

Билет № 16. Многочлены с рациональными коэффициентами