II. Аксиомы умножения:
(А 5) a, b, c K (a b) c = a (b c) (ассоциативность умножения)
III. Аксиомы дистрибутивности
(А 6 ) a, b, c K a (b + c) = a b + a c (дистрибутивность
(А 7) a, b, c K (a + b) c = a c + b c сложения и умножения)
Примеры: 1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – числовые кольца.
2. (Mnn( F), +, ) – кольцо квадратных матриц порядка n.
3. (F[x], +, ) – кольцо многочленов от одного переменного x над полем F.
4. (Zn , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n.
5. (N, +, ) – не кольцо.
Определение 1.4. Кольцо (K, +, ∙) называется коммутативным, если выполняется аксиома коммутативности умножения.
(А8): a, b G a · b = b · a
Определение 1.5. Кольцо (K, +, ∙) называется кольцом с единицей, если выполняется аксиома существования единицы по умножению:
(А 9): 1 G a G a · 1 = a = 1 · a (существование единицы)
Примеры: 1. Все перечисленные кольца являются кольцами с единицами (в кольце матриц единицей будет единичная матрица Еn).
2. Кольцо матриц (Mnn(F), +, ) при n 2 некоммутативно, остальные перечисленные кольца коммутативны.
3. Кольцо (2Z , +, ) чётных целых чисел является коммутативным кольцом без единицы.
4. Кольцо
матриц вида
({
| a,
b,
c
F},
+, )
является
некоммутативным кольцом без единицы.
Определение 1.6. Коммутативное кольцо (F, +, ) с единицей 1 называется полем, если выполняются следующие аксиомы:
(А10):
a
F
(а
0)
a–1
F
a
a–1
= 1 = a–1
a
(обратимость
всех ненулевых элементов)
(А11): 1 0 (нейтральные элементы относительно сложения и умножения различны)
Примеры: 1. Среди перечисленных колец полями будут числовые поля (Q,+,), (R , +, ), (C , +, ) и поле классов вычетов (Zn ,+, ) по модулю простого числа n = p.
2. Кольцо (Z , +, ) полем не является, т.к. не выполнено (А10).
Простейшие свойства групп, колец, полей
10. Единичный элемент в группе единственен.
20. Обратный элемент к любому элементу группы определён однозначно.
30. В любой группе выполняется следующий обобщённый закон ассоциативности: k N a1 , … , ak G произведение a1 … ak не зависит от расстановки скобок.
40. В любой группе (G, ) выполняются законы сокращения слева и справа:
f,
g,
h
G f
g = f
h
g = h,
f,
g,
h
G f
h = g
h
f = g .
50. В любой группе однозначно разрешимы уравнения a x = b и y a = b, где а, b – произвольные элементы.
60.
k
N
g1
,
… ,
gk
G (g1
… gk)–1
= gk–1
… g1–1.
70. Аддитивная группа (K, +) любого кольца удовлетворяет 10–60.
80. В любом кольце выполняется обобщённый закон ассоциативности умножения.
90. a, b K (– a) b = a ( – b)
100. Для кольца с единицей: a K – a = (–1) a
В любом кольце определяется операция вычитания: a – b = a + (– b)
110. a, b, c K a (b – c) = a b – a c, a, b, c K (a – b) c = a c – b c
120. a1 , … , an , b K (a1 ± a2 ± …± an ) b = a1 b ± a2 b ± …± an b, b (a1 ± a2 ± … ± an ) = b a1 ± b a2 ± … ± b an
130. Любое поле удовлетворяет всем свойствам колец.
140. Если (F, +, ) – поле и F = F \ {0} то (F , ) – группа, называемая мультипликативной группой поля.
В любом поле определяется операция деления на ненулевые элементы:
= a
b–1.
150.
Свойства дробей в поле:
=
a
d
= b
c,
= 1,
=a,
=
,
±
=
,
=
,
=
.