Теоремы Эйлера и Ферма

Теорема 10. 2 (теорема Эйлера). Для любого целого числа a, взаимно простого с натуральным модулем m, выполняется сравнение

1 (mod m) .

Доказательство.Пустьr₁, …, r_k– какая-нибудь приведенная система вычетов по модулюm. Тогдаk=(m). Согласно свойства приведенной системы множество чиселаr₁, …, аr_kтакже составляет приведенную систему вычетов. Это значит, что каждое число второй системы лежит в одном классе с каким-либо единственным числом первой системы вычетов. Поэтому справедливы сравнения

аr₁∙ …· аr_k r₁ · …∙ r_k(mod m) (1)

Так как каждое из чисел r_jвзаимно просто с модулем, то сравнение (1) можно сократить на каждое из чиселr_j. В результате получаем сравнениеа^k 1(mod m) или 1 (mod m).

Пример. а= 5,m= 9. (5, 9) = 1 1(mod 9), т.к.(9) =(3²) = = 3 · (3 – 1) = 6. Итак, 5⁶1(mod 9).

Рассмотрим частный случай теоремы Эйлера, в котором m = pесть простое число. Тогда(p) =p– 1 и получается следующее утверждение.

Теорема 10.3 (малая теорема Ферма). Если целое число а не делится на простое число p, то

1 (mod p).

Теорема 10.4 (следствие малой теоремы Ферма). Для любого простого числа p и целого a выполняется сравнение

(mod p).

Доказательствоследует из малой теоремы Ферма:

a ^p – a  a (a ^p–1 – 1)0 (mod p) как для целого числаa, делящегося наp, так и для целого числаавзаимно простого сp.

Рассмотрим теперь некоторые применения доказанных теорем. Примеры: 1. Найти остаток от деления 5²⁴⁷ на 7.

Так как (5, 7) = 1, то по теореме Эйлера, 5^(7) 1 (mod7) или 5⁶1 (mod 7), поскольку (7) = 6. Значит, 5²⁴⁷ = (5⁶)⁴¹ 51⁴¹ 55 (mod 7). Итак, искомый остаток равен 5.

2. Определим последние три цифры в десятичной записи числа 3²⁰⁰⁷. Для этого достаточно сосчитать остаток от деления 3²⁰⁰⁷на 1000. Так как(1000) =(8) ·(125) = 4 · 100 = 400 и (3, 1000) = 1, то по теореме Эйлера выполняется сравнение 3⁴⁰⁰ 1 (mod 1000). Отсюда следует

3²⁰⁰⁷= (3⁴⁰⁰)⁵ · 3⁷3⁷(mod 1000).

Это сравнение означает, что 3²⁰⁰⁷и 3⁷= 2187 имеют одинаковые три последние цифры, и десятичная запись числа 3²⁰⁰⁷оканчивается цифрами 187.

Признаки делимости

Признаки делимости служат для того, чтобы при их помощи можно было определить делимость данного числа nна заданное числоd, не выполняя деления. Признаки делимости, естественно, должны быть достаточно простыми, чтобы можно было определить делимость сравнительно быстро.

В школьном курсе рассматривались лишь простейшие из них: признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Другие признаки лежат за пределами школьного курса.

Рассмотрим признаки делимости целых чисел, записанных в десятичной системе счисления на 3, 9, 11.

Пусть а_k,a_k-1, …, а₁,а₀– цифры десятичной записи натурального числаn = ).

Теорема 10.5 (признаки делимости на 3 и 9). Натуральное число n, записанное в десятичной системе счисления, делится на d такое, чтоd {3, 9}тогда и только тогда, когда сумма цифр числа n делится наd.

Доказательство.Заметим, что 10¹1 (modd), 10²1 (modd), … ,

10^k1 (modd). Тогда, используя свойства сравнений, получим:

n=a_k · 10^k+a_k-1· 10^k-1 + … +а₁· 10 +а₀a_k +a_k-1+ … +а₁+а₀(modd)

Теорема 10.6 (признак делимости на 11). Натуральное число n, записанное в десятичной системе счисления, делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма цифр числа n делится на11 т.е.

n = (a_k · 10^k+a_k-1· 10^k-1 +…+а₁· 10 +а₀)11(а₀–а₁+а₂ – …+(–1)^k·a_k)11

Доказательство.Заметим, что 10¹-1 (mod 11), 10²1 (mod 11), … ,

10^k(-1)^k(mod 11). Тогда, используя свойства сравнений, получим:

n = a_k · (-1)^k + a_k-1 · (-1)^k-1 + … + а₁ · (-1) + а₀  a₀ – a₁ +…+ (–1)^k·a_k(mod11)

Примеры: 1)2457 делится на 3 и на 9,т.к. 2 + 4 + 5 + 7=18 делится и на 3 и на 9.

2) 234712 не делится на 11, т.к. 2 – 1 + 7 – 4 + 3 – 2 = 5, а 5 не делится на 11.

3) 2132438 делится на 11, т.к. 8 – 3 + 4 – 2 + 3 – 1 + 2 = 11 делится на 11.

Теорема10.7 (общий признак делимости Паскаля).

Для того, чтобы число n, записанное в произвольной q – ичной системе счисления в виде: n=a_k q^k+a_k-1 q^k-1+ …+ a₁ q + a₀делилось наm,где1a_k q-1, 0a_i q-1,i {0, 1, … ,n}необходимо и достаточно, чтобы числоQ=a_k r_k+a_k-1 r_k-1+ …+ a₁ r₁ + a₀r₀ делилось на m.

(а_k,a_k-1, …, а₁,а₀–цифры q - ичной записи натурального числа n = , аr_i–наименьшие по абсолютной величине вычеты степенейqⁱ приi {0, 1,…,n}).

МЕТОДИКА 20.

Учебник математики 6кл. Н. Веленкин и др.

1. Основные математические понятия: четные и нечетные числа

2. Основные предложения темы: признаки делимости натурального числа на 2, 3, 5, 10.

3. Ранее изученный материал: натуральное число, деление числа с остатком и без остатка, делитель и частное.

Теоретический материал темы: четные и нечетные числа, признаки делимости натурального числа на 2, 3, 5, 10 без остатка.

Применение изученного материала: ближайшая перспектива (простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД, взаимнопростые числа, НОК), дальнейшая перспектива (отношения и пропорции).

4. Цели изучения темы:

Обучающие: сформулировать понятие четного и нечетного числа, сформулировать признаки делимости, научить правильно воспроизводить термины, правила, приводить примеры; сформировать умение применять изученный материал при решении поставленных задач.

Развивающие: развитие познавательных процессов, памяти, внимания, математического мышления, восприятия; развитие устной и письменной речи.

Воспитательные: воспитание интереса к математике и учебной деятельности; воспитание отдельных качеств личности: усидчивости, трудолюбия, аккуратности и упорства.

5. Типы учебных задач:

Типы учебных задач для достижения развивающих целей.

На развитие внимания.

1. Найдите среди чисел 154, 161, 174, 178, 191, 315, 320, 346, 425, 475 числа:

А) кратные 2; б) кратные 5; в) кратные 10; г) нечетные.

2. Какие из чисел 241, 242, 244, 246, 248, 250, 252 на 3?

3. Ученики условливаются о каком-то однозначном числе, например, 3. Ученики считают попорядку натуральные числа: 1, 2, 3, 4, … . Ученик, которому по очереди досталось сказать три, а также числа, которые начинаются с цифры три, или оканчиваются цифрой три, или делятся на три, должен вместо этого сказать «гоп».

Типы задач для достижения воспитательных целей.

На воспитание интереса к математике.

1. Какие из чисел 200, 320, 3000, 50000, 861, 76540 делятся на 100? Какие из них делятся на 100? Сформулируйте признаки делимости на 100, на 1000.

2. Любое ли число, которое оканчивается цифрой 3, делится на 3?

3. Подумайте, каким числом (четным или нечетным) является:

А) квадрат четного числа;

Б) квадрат нечетного числа;

В) куб четного числа.

4. Как быстро узнать , делятся ли на 3:

А) 37843+54321; 48345+75634; 37244+52486;

Б) 87338-56893; 153847-112353; 84537-26237?

5. найдите пропущенные цифры:

Курс математики обладает большим гуманитарным потенциалом: история математики, исторические и занимательные задачи, текстовые математические задачи самого разного содержания. Это дает возможность ставить цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности в целом.

Средства формирования познавательно интереса.

• Занимательные задачи.

Примеры задач с историческим содержанием.

1. Рассказывают, что в начальной школе, где учился мальчик Карл Гаусс, ставший потом знаменитым математиком, учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям задание – вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Но маленький Гаусс это задание выполнил почти моментально. Попробуйте и вы быстро выполнить это задание.

2. У известного русского художника Богдана – Бельскогоесть картина, изображающая занятия устным счетом. В классе возле доски сидит учитель, а около него стоят ученики, занятые устном решением трудного примера. Ученики сосредоточены и увлечены работой, так как пример действительно труден и интересен.

Вот он:. Решите этот пример устно.

[Указание. Искомое число равно.]

• Задачи с историческим содержанием.

• Задачи Пифагора.

• Дидактические игры.

Лабиринт сомножителей. В воротах лабиринта стоят делители числа 432 (рис. 5). Поочередно члену каждой команды надо войти в лабиринт и дойти до центра, получив в произведении число 432. Движение можно выполнить и в обратном направлении. Побеждает та команда, у которой будет наибольшее число правильных ответов.

Фрагмент урока изучения новой темы: «Признаки делимости на 2, 3, 5, 10».

Образовательные:

Обучающие:

обеспечить в ходе урока усвоения признаков делимости на 2, 3, 5, 10, формировать умение правильно воспроизводить термины, признаки, приводить примеры, формировать умение применять изученный материал при решении поставленных задач.

Развивающие: способствовать развитию мышления, восприятия, памяти, внимания, диалектического мировоззрения.

Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: настойчивость, трудолюбие, усидчивость, упорство.

Тип урока: изучение нового материала

Структура урока:

• организационный момент

• постановка целей урока

• проверка домашнего задания

• подготовка к изучению нового материала

• изучение нового материала

• первичное закрепление и осмысление нового материала

• постановка домашнего задания

• подведение итогов урока.

Действия учителя

Действия учеников

Здравствуйте, ребята. На прошлом уроке мы узнали какие числа называются делителями, а какие кратными. Давайте сейчас вспомним какое число называется делителем данного натурального числа? Какое число является делителем любого числа? Какое число называется кратным натуральному числу а? Какое число и кратно n, и является его делителем n? Но для того, чтобы определить является ли число делителем заданного натурального числа или кратным ему не всегда нужно выполнять арифметические действия. Как это сделать мы и узнаем сегодня на уроке. Запишите тему урока: признаки делимости на 2, 3, 5, 10.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Само число n

Билет № 21.

Скалярное произведение векторов.

Пусть даны два вектораa , b  V₃ . Если один из векторов нулевой, то считаем, по определению, что угол между ними равен 0 (радиан). Если же оба вектора не нулевые, то отло­жив их от произвольной точки А пространства Е₃ , получим  АВС, величину угла при ве­ршине А которого и будем считать углом между векторами a и b и обозначать через .

Это определение нуждается в проверке корректности: необходимо убедиться, что угол не зависит от выбора точки A  E₃ . Это легко следует из того, что при откладывании векторов a, b от другой точки А  Е₃ (см. рис.) получаются параллелограммы АВВА и АССА (т.к. ~ и~ ), а следовательно BAC =  BAC как углы с соответственно параллельными сторонами.

Величину |a||b|cos R назовём скалярным произведением векторов а и b и будем обозначать через аb.

Свойства скалярного произведения

1⁰. Скалярный квадрат а² = аа вектора а равен квадрату длины вектора: а² = |a|².

Непосредственно следует из определения: а² = аа = |a||а|cos = |a|²cos 0 = |a|² .

2⁰. Вектор нулевой тогда и только тогда, когда его скалярный квадрат равен нулю: а = 0  а² = 0.

В самом деле, а = 0  |a| = 0  |a|² = 0  а² = 0.

3⁰. Скалярное произведение векторов не зависит от порядка перемножаемых векторов: аb = ba .

Непосредственно следует из определения: аb = |a||b|cos= |b||a|cos = ba .

4⁰. Если a(x; y; z) и b(u; v; w) – векторы, координаты которых вычислены относительно некоторой декартовой системы координат, то аb = xu+yv+zw.

По теореме косинусов для АВС (см. рис.) имеем: |b–a|² = |a|²+|b|²–2|a||b|cos, т.е. ab = {|a|²+|b|²–|b–a|²}. Если бы уже была доказана формула |c| = для вычисле­ния длины вектора c(p; q; r) по его декартовым ко­ор­динатам p, q, r, то учтя, что b–a(u–x; v–y; w–z), сразу получили бы

ab = {x²+y²+z²+u²+v²+w²– –(u–x)²–(v–y)²–(w–z)²} = {2(xu+yv+zw)} =xu+yv+zw , что и

требовалось.

Таким образом, остаётся обосновать использованную формулу для длины вектора в декартовых координатах.

Лемма (о вычислении длины вектора в декартовых координатах). Пусть c(p; q; r) – вектор, координаты которого вычислены в некоторой декартовой системе координат. Тогда |c| = .

Доказательство. Отложив вектор c = от начала координат, получим по теореме Пифагора: |c|² = OM² = OM ²+MM ² = OA ²+OB ²+ MM ² = (pOA)²+(qOB)²+(rOC)² = = p²1²+q²1²+r²1² = p²+q²+r², что и требовалось. Лемма доказана.

5⁰. Скалярное произведение векторов линейно по обоим аргументам: (a+b)с = ac+bc, a(b+c) = ab+ac.

В самом деле, записав векторы в координатах a(x; y; z), b(u; v; w), c(p; q; r) в некоторой декартовой системе координат, получим (a+b)(x+u; y+v; z+w), (b+c)(u+p; v+q; w+r) и по 4⁰ (a+b)с =(x+u)p+(y+v)q+(z+w)r = (xp+yq+zr)+(up+vq+wr) = ac+bc, a(b+c) = x(u+p)+ +y(v+q)+z(w+r) = (xu+yv+zw)+(xp+yq+zr) = ab+ac, что и требовалось.

6⁰. Скалярное произведение однородно по обоим аргументам: (a)b = (ab) = a(b).

Следует из определения: например, (a)b = |a||b|cos = |||a||b|sg()cos= = (ab), где sg() – знак числа  (почему cos = sg()cos?!?).

7⁰. Если известны декартовы координаты векторов a(x; y; z) и b(u; v; w), то угол между ними можно вычислить по формуле = arccos =arc cos.

8⁰. Два вектора a(x; y; z) и b(u; v; w), координаты которых заданы в декартовой системе координат ортогональны тогда и только тогда, когда xu+yv+zw = 0.

Действительно a  b  ab = 0  xu+yv+zw = 0.

Задача. Докажите, что прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом тогда и только тогда, когда углы между его длинная диагональ AC₁ образует равные углы с рёбрами АА₁ , АВ и AD.

Решение. Рассмотрим декартову систему координат, начало которой совпадает с вершиной А , а оси направлены по прилегающим к А рёбрам параллелепипеда. Если длины этих рёбер a, b, c, то A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A₁(0; 0; c), C₁(a; b; c), (a; b; c), и условия равенства углов с осями записываются в виде равенства косинусов углов между и базисными векторами i, j, k : = = = . Ясно, что эти равенства равносильны равенству длин всех рёбер параллелепипеда.

МЕТОДИКА 21. « Действия с векторами»

Структура урока:

1. Организационный момент

2. Ознакомление с целью урока

3. Проверка знаний фактического материала ( формул, правил, умений)

4. Проверка умений сам-но применять знания в стандартных и измененных условиях

5. Коррекция и проверка

6. Подведение итогов.

Цели:

Уч. цели	1 уровень			2 уровень	3 уровень
Знание	Ученик знает
	Термины: вектор, начало и конец вектора, нулевой вектор, длина (модуль) вектора, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные векторы, равные векторы, координаты вектора, сложение, вычитание, умножение вектора на число, скалярное и векторное умножение векторов.		Определения понятий сложение, вычитание, умножение вектора на число, скалярное и векторное умножение векторов, преобразование векторных равенств и их замена алгебраическими, разложение вектора по координатам, отыскание величин, связанных с векторами – длин отрезков, углов, правила треугольника, параллелограмма и многоугольника.		Основные понятия и свойства действий с векторами, формулы для суммы, разности векторов, произведения вектора на число, скалярного произведения векторов, доказательство отдельных теорем, обобщенные приемы для вычисления суммы, разности и скалярного произведения векторов, произведение вектора на число
Понимание	Ученик понимает
	Узнает и воспроизводит изученные термины, выполняет чертежи к простейшим задачам, краткую запись условий задачи, приводит примеры и выполняет простейшие доказательства.	Интерпретирует словесный и графический материал, используя специальные символы, приводит контрпримеры для коллинеарных векторов, выделяет частные и специальные приемы решения задач на вычисление, доказательство и построение			Преобразует словесный и графический материал в математические выражения и обратно относительно определения векторов и действий с ними, выводит следствия, перестраивает известные и находит новые приемы учебной деятельности
Умения и навыки	Ученик умеет
	Решает простейшие задачи на вычисление и доказательство по образцу, используя частные приемы, решает задачи на вычисление неизвестной величины, используя формулу, находит ответы на вопросы по учебнику с помощью учителя	Решает типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях по данным формулам, используя частные приемы решения задач на вычисление, выделяет главное в учебном тексте, самостоятельно отвечает на вопросы, использует дополнительную литературу для образования, составляет задачи по образцу			Решает типовые и прикладные задачи в нестандартных ситуациях, самостоятельно использует обобщенные приемы решения задач, приводит несложные исследования средствами математики, использует для самообразования различные источники информации

Организация коррекционной работы.

Возможные ошибки.

• вычислительные

• логические

• неправильное нахождение координат вектора

• ошибки при нахождении модуля вектора

• неправильная символическая запись вектора

• в преобразованиях разложения вектора

• в доказательствах

Задачи для коррекции

1. Даны точки А(0,1), В(1,0), С(1,2), Д(2,1). Доказать равенство векторов и.

2. Даны точки А( 1,1), В(-1,0), С(0,1). Найти такую точку Д (х,у), чтобы векторы,были равны.

3. Модуль вектора (3,h) равен 5. Найдите число h.

4.Верно ли а) А(2,1), В(3,2), вектор (1,1); б)С(0,1), Д(0,-1), вектор (0,-1).