- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
Определение 3.2. Пусть V = (V, +, {w |F}) – векторное пространство. Непустое подмножество L V называется векторным (линейным) подпространством пространства V над полем F, если L само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных в пространстве V.
Замечание 3. Из определения следует, что 1) подпространство L определяется над тем же полем, что и пространство V. Справедлива теорема:
Теорема 3.2 (критерий подпространства). Непустое подмножество L V является векторным подпространством пространства V над полем F, тогда и только тогда, когда L замкнуто относительно операций (+) и : 1) а, b V а + b V; 2) F аV аV.
Примеры: 1. Пусть дано пространство (V3, +, {| }), его подпространствами будут:
а) (L1, +, {| }) – подпространство одномерных векторов, лежащих на любой прямой, проходящей через начало координат;
б) (L2, +, {| }) – подпространство двумерных векторов, лежащих на плоскости, проходящей через начало координат;
в) (L3 = {a = (), гдеR}, +, {|}) – подпространство в R3;
2. Пусть дано векторное пространство М22(R) – векторное пространство квадратных матриц 2-го порядка над полем R. Множество L = является его подпространством.
Определение 3.3. Конечная система векторов S = (a1 , … , an) называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация её векторов, равная нулевому вектору пространства V . Другими словами, конечная система векторов S линейно зависима, если:
1 , … , n F (1 0 … n 0) (1 a1 + … + n an = ).
Определение 3.4. Конечная система векторов S = (a1 , … , an) называется линейно независимой, если:
1 , … , n F 1 a1+ … +n an = 1 = … = n = 0 .
Примеры: 1. Система векторов S = ((1, 2, 3), (–2, 3, 1), (–1, 5, 4)) в векторном пространстве R3 линейно зависима, т.к. 1 a1 + 1 a2 – 1 a3 = – нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. Эту комбинацию можно найти, записав условие:
1 a1 + 2 a2 + 3 a3 = 1 (1, 2, 3)+2 (–2, 3, 1)+3 (–1, 5, 4) = (0, 0, 0) и решив соответствующую однородную систему уравнений.
2. Любые коллинеарные или компланарные векторы в векторном пространстве геометрических векторов V3 линейно зависимы.
Определение 3.5. Векторное пространство V над полем F называется конечномерным, если существует такая конечная система S ={a1,…, an} V, что любой вектор b V можно представить в виде линейной комбинации b=1 a1 + … + n an . При этом система векторов (a1 , … , an) называется порождающими или образующими векторного пространства V .
Определение 3.5. Конечная система (1) (e1, …, en) векторов пространства V называется базисом векторного пространства V , если одновременно выполнены два условия:
1)система (1)– линейно независима, 2) система (1)– система образующих векторного пространства V.
Теорема 3.3 (о базисе конечномерного векторного пространства).