II. Урок изучения нового материала.

Структура урока:

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Изучение нового материала (15 мин.)

3. Закрепление изученного материала (20 мин.)

4. Задание д/з (1 мин.).

Цели изучения:

Обучающие: рассмотреть понятия простого и составного числа, разложения числа на множители. При этом показать значимость темы при изучении последующих тем и понятий: например, НОК и НОД.

Развивающие: развитие логического мышления (работа с определениями), развитие операционного мышления (умения анализировать, обобщать).

Воспитательные цели: воспитание интереса к предмету, воспитание таких качеств личности как аккуратность, последовательность, настойчивость и т.д.

Фрагмент урока на этапе ознакомления с новым материалом:

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1,2,3,6,9 и 18. Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, - простыми числами. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Первыми десятью простыми числами являются 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78 : 2 = 39, то 78 = 2*39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители разложить нельзя. Теперь решим устно: (спрашивает с места кого-нибудь из учеников). № 88: Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31,25, 100? № 91: Может ли произведение двух простых чисел быть: а) простым числом; б) составным числом? № 93: Известно, что число mделится на 9. Простым или составным является числоm?

Внимательно слушают учителя. Записывают определения в тетрадях. Число 31 имеет два делителя: 1 и 31 (оно простое). Число 25- 3 делителя: 1, 5 и 25. Число 100 – 6 делителей: 1, 4,5, 10, 25 и 100. Произведение не может быть простым, так как оно будет иметь 4 делителя (или 3, если числа одинаковые): 1, эти два простых числа и само произведение. Произведение будет составным. Число mв любом случае будет составным, так как если оно равно 9, то оно имеет 3 делителя. Если числоmне равно 9, то оно имеет как минимум 4 делителя.

6 кл 5-6 кл.- млад. подраст. возраст. Предмет мат., завершается изуч числвой линии М-ды обуч: наглядные(…), практические(реш-ие зазл упр-ий), словесные, дидак-ие игры(игр ситуации); по логике изложения – индуктивные м-ды; по степени сам-ти -с/р под руководством уч-ля.При изуч нов мат-ла д/достиж мот-ции м/создать проблем сит-ию. М-ды мотив:1.разнооб виды деят-ти 2.яркость эмоц-ть излож мат 3.подбор посильных зад,созд-ие усл для выбора зад разного ур-ня слож и возм-ть скоррек-ть этот выбор в сл неудачи или успеха 4.оперир-ие ранее изуч мат-ом 5. Индивид оцен-ие

Билет №20. Арифметические приложения теории сравнений

Определение 10.1. Функцией Эйлераназывается функция: N  N, где (m) (mN) равно количеству взаимно простых сmнатуральных чисел, не превосходящихm.

Иначе, (m) (mN) есть количество натуральных чиселk, удовлетворяющих условиям:

1k m, (k,m) = 1.

Примеры. (1) = 1. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 взаимно простыми с 8 являются лишь 1, 5, 7. Поэтому(8) = 3.

Замечание.Функция Эйлерамультипликативна, т.е. для любых двух натуральных взаимно простых чиселаиbимеем(a∙b) =(a) ∙(b).

Например, (6) =(2∙3) =(2) ∙(3) = 1 ∙ 2 = 2.

Свойства функции Эйлера описываются следующей теоремой.

Теорема 10.1. Еслиp– простое, то

1) (p) =p– 1; 2)(p) =p^-1(p– 1).

3) Для любого натурального m2 выполняется равенство

(m) =m∙

Иначе, если m= , то(m) =m∙.

Доказательство.1) Для каждого простого числаpлишь одно из чисел среди 1, 2, …,pне взаимно просто сp, а именно само числоp. Поэтому(p) =p– 1.

2) Если m=pесть степень простого числа, то нетривиальный общий делитель сmмогут иметь лишь числа, делящиеся наp, т.е. числа видаpk. Неравенство 1pk pвыполняется лишь для натуральных чиселk p^-1и только для них. Поэтому

(p) =p – p^-1.

3) Пусть m= . В силу мультипликативности функции Эйлера имеем:(m) =∙∙ … ∙=∙ (p₁ - 1) ∙ ∙∙ (p₂ - 1) ∙ … ∙∙ (p_n - 1) =m∙.

Примеры. Вычислить:

1) (7). 7 – простое число, поэтому(7) = 7 – 1 = 6.

2) (125). 125 = 5³, потому(125) =(5³) = 5^3-1∙(5 – 1) = 100.

3) (84). Найдем каноническое разложение 84. 84 = 2²∙ 3 ∙ 7.

(84) =(2²∙ 3 ∙ 7) = 84 ∙= 24.