- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f(x)Q[x] (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f(x)Z[x] (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.
Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.
Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если –рациональный корень многочлена f(x) = an xn+ + …+ a1 x + a0 с целыми коэффициентами, причем (p, q) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а0, а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а0.
Теорема 6.2. Если Q (где (p, q) = 1) является рациональным корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то –целые числа.
Пример. Найти все рациональные корни многочлена
f(x) = 6 x4 + x3 + 2 x2 – 4 х+ 1.
1. По теореме 6.1: если –рациональный корень многочлена f(x), (где (p, q) = 1), то a0 = 1 p, an = 6 q. Поэтому p { 1}, q{1, 2, 3, 6}, значит,
.
2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится на (х – а).
Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f(x) можно воспользоваться схемой Горнера:
|
6 |
1 |
2 |
– 4 |
1 |
1 |
6 |
7 |
9 |
5 |
6 |
– 1 |
6 |
– 5 |
7 |
–11 |
12 |
f(1) = 60,f(–1) = 120, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочленаf(x).
3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел , воспользуемся теоремой 6.2. Если выраженияилипринимает целые значения для соответствующих значений числителяp и знаменателя q, то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.
= |
ц |
ц |
ц |
др |
др |
др |
= |
ц |
ц |
ц |
ц |
др |
др |
4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа корнямиf(x). Вначале разделим f(x) на (х – ).
|
6 |
1 |
2 |
– 4 |
1 |
|
6 |
4 |
4 |
–2 |
0 |
В результате имеем: f(x) = (х – )(6 x3 + 4 x2 + 4 х – 2) и – кореньf(x). Частное q(x) = 6 x3 + 4 x2 + 4 х – 2 разделим на (х + ).
|
6 |
1 |
2 |
– 4 |
1 |
– |
6 |
–2 |
3 |
–5 |
3 |
Так как q (–) = 30, то (–) не является корнем многочленаq(x), а значит и многочлена f(x).
Наконец, разделим многочлен q(x) = 6 x3 + 4 x2 + + 4 х – 2 на (х – ).
|
6 |
1 |
2 |
– 4 |
1 |
|
6 |
3 |
3 |
–3 |
0 |
Получили: q () = 0, т.е.– кореньq(x), а значит, – кореньf (x). Таким образом, многочлен f (x) имеет два рациональных корня: и.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
В школьном курсе при решении некоторых типов задач на освобождение от иррациональности в знаменателе дроби достаточно домножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю.
Примеры. 1. t = .
Здесь в знаменателе срабатывает формула сокращенного умножения (разность квадратов), что позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе.
2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
t = . Выражение – неполный квадрат разности чисела = иb = 1. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения а3 – b3= (а + b) · (a2 – ab + b2), можно определить множитель m = (а + b) = + 1, на который следует домножать числитель и знаменатель дробиt, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби t. Таким образом,
t = .
В ситуациях, где формулы сокращенного умножения не работают, можно использовать другие приемы. Ниже будет сформулирована теорема, доказательство которой, в частности, позволяет найти алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби в более сложных ситуациях.
Определение 6.1. Число z называется алгебраическим над полем F, если существует многочлен f(x) F[x], корнем которого является z, в противном случае число z называется трансцендентным над полем F.
Определение 6.2. Степенью алгебраического над полем F числа z называется степень неприводимого над полем F многочлена p(x)F[x], корнем которого является число z.
Пример. Покажем, что число z = является алгебраическим над полемQ и найдем его степень.
Найдем неприводимый над полем Q многочлен p(х), корнем которого является x = . Возведем обе части равенстваx = в четвертую степень, получимх4 = 2 или х4 – 2 = 0. Итак, p(х) = х4 – 2, а степень числа z равна deg p(х) = 4.
Теорема 6.3 (об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби). Пусть z – алгебраическое число над полем F степени n. Выражение вида t = ,где f(x), (x)F[x], (z)0
единственным образом может быть представлено в виде:
t = сn-1 zn-1 + cn-2 zn-2 + … + c1 z + c0, ci F.
Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби продемонстрируем на конкретном примере.
Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
t =
1. Знаменателем дроби является значение многочлена (х) = х2 – х +1 при х = . В предыдущем примере показано, что– алгебраическое число над полемQ степени 4, так как оно является корнем неприводимого над Q многочлена p(х) = х4 – 2.
2. Найдем линейное разложение НОД ((х), p(x)) с помощью алгоритма Евклида.
_ x4 – 2 | x2 – x + 1
x4– x3+ x2 x2 + x = q1(x)
_ x3– x2 – 2
x3– x2+ x
x2 – x + 1 | – x –2 = r1 (x)
x2 + 2x – x + 3 = q2(x)
_–3x + 1
–3x – 6
_ – x –2 |7 = r2
– x –2 -x - =q3(x)
0
Итак, НОД ((х), p(x)) = r2 = 7. Найдем его линейное разложение.
Запишем последовательность Евклида, пользуясь обозначениями многочленов.
p(x) = (x) · q1(x) + r1(x) r1(x) = p(x) – (x) · q1(x)
(x) = r1(x) · q2(x) + r2(x) r2(x) = (x) – r1(x) · q2(x)
r1(x) = r2(x) · q2(x).
Подставим в равенство 7= r2(x) = (x) – r1(x) · q2(x) значение остатка r1(x) = p(x) – (x) · q1(x), после преобразований получим линейное разложение НОД((х), p(x)): 7 = p(x) · (– q2(x)) + (x) · [1 + q1(x) · q2(x)]. Если подставить в последнее равенство вместо обозначений соответствующие многочлены и учесть, что p() = 0, то имеем:
(1 – +) · (–+ 2+ 3+ 1)] = 7 (1)
3. Из равенства (1) следует, что если знаменатель дроби t умножить на число m = [1 + (– + 2+ 3+ 1)], то получим 7. Таким образом,
t = =.
МЕТОДИКА 16. Тема урока: Стандартный вид многочлена
Класс: 7
Тип урока: урок проверки и контроля знаний и умений
Цели урока:
- проверить умения приводить многочлен к стандартному виду
- развивать у учащихся логическое мышление, внимание
- воспитывать самостоятельность
Структура урока:
Организационный момент
Инструктаж
Самостоятельная работа.
Задания:
1. Дополните предложения:
а) Выражение, содержащее сумму одночленов называют …(многочленом).
б) Многочлен состоящий из стандартных одночленов и не содержащий подобных слагаемых называется … (стандартным многочленом).
в) Наибольшую из степеней одночленов входящих в многочлен стандартного вида называют … (степенью многочлена).
г) Прежде чем определить степень многочлена, нужно … (привести его к стандартному виду).
д) Для нахождения значения многочлена нужно сделать первое…(представить многочлен в стандартном виде), второе …(подставить значение переменной в данное выражение).
2. Найти значение многочлена:
а) 2a4-ab+2b2приa=-1, b=-0,5
б) x2+2xy+y2приx=1,2, y=-1,2
3. Привести многочлен к стандартному виду:
а) -5ах2 + 7а2х + 2а2х + 9ах2 – 4ах2 – 8а2х;
б) (5х2 – 7х – 13) – (3х2 – 8х + 17);
в) 2а – (1,4ав + 2а2 – 1) + (3а + 6,4ав);
г) (2с2 – 1,6с + 4) – ((10,6с2 + 4,4с – 0,3) – (3,6с2 – 7с – 0,7));
4. Привести многочлен к стандартному виду и выяснить при каких значениях хего значение равно 1:
а) 2x2-3x-x2-5+2x-x2+10;
б) 0,3x3-x2+x-x3+3x2+0,7x3-2x2+0,07
Билет № 17. Делимость целых чисел