- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Геометрический смысл производной и дифференциала
Возьмём две точки на кривой у=f(x): М0(х0,у0) и М(х0+,f(x0)+). Пусть (.)М движется к фиксированной точке, тогда секущая ММ0поворачивается вокруг М0стараясь занять предельное положение касательной.
Предельное положение секущей ММ0при М→М0наз.касательной к данной кривой в (.) М0, гдеMD-,M0D-,M0Т – касательная.- приращение ординаты кривой.
Т.е. производная в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в точке.
Дифференциал: найдёмADизAM0D.
Геометрический смысл дифференциала – приращение ординаты касательной.
Механический (физический) смысл производной
Пусть материальная (.) движется прямолинейно и неравномерно S=S(t). Пусть к моменту времениt0точка прошла путь ч/з время. Пройдём путьS1, S=S1-S0=,, .Т.е. скорость есть производная пути по времени.
Основные правила вычисление производной
1.) Постоянный сомножитель можно выносить за знак производной и дифференциала:
и
2.) Если ф-цииuиv дифференцируемы в (.) х0, то их алгебраическая суммадифференцируема в (.) х0, причём её производная, а её дифференциал.
3.) Если ф-цииuиv дифференцируемы в (.) х0, то их произведениедифференцируемо в (.) х0, причём производная произведения находится по формуле:, а дифференциал.
Док-во:
Дадим х0приращение, тогда обе ф-цииuиv получат приращение, а ф-ция получит приращение=
Разделим полученное равенство на :.
Перейдём к пределу при
, т.к.правая часть, то:
.
Найдём дифференциал: ч.т.д.
4.) Если ф-цииuиv дифференцируемы в (.) х0, то их частноедифференцируемо в (.) х0, причём производная частного находится по формуле:, а дифференциал
Ф-ция fставит в соответствие числу х число у, а ф-ция φ – числу у числоz. Говорят, что ф-цияhестьсложная ф-ция, составленная из ф-ций φ иf, и пишут:h(х)=φ(f(x)).
Пусть дана ф-ция у=φ(t), гдеt=f(x). Если ф-цияt=f(x) дифференцируема в (.) х0, а ф-ция у=φ(t) - дифференцируема в (.)t0=f(х0), то сложная ф-ция у=φ(f(x)) дифференцируема в (.) х0, причём её производная,t- промежуточная переменная, х- независимая переменная.
Пр: y=cost, где t=x2-3x
Неявной ф-цией у от х наз. ф-ция, представленная уравнением:F(x,y)=0.
Т:ПустьF(x,y) и обе её частные производныеи- непрерывные ф-ции, причём≠0, тогда ф-ция имеет производную :
Задание ф-ции системой: наз.параметрическим заданием ф-ции.
Пусть ф-ция задана параметрически, тогда выполняются 2 условия:
1] х=φ(t)- непрерывна на [a,b]дифференцируема внутри него;
2] у=ψ(t)- непрерывна на [a,b]дифференцируема внутри него, тогда.
МЕТОДИКА 7.Тема: «Правила вычисления производных»
Данная тема изучается в 10 классе (по учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» под ред. Алимова Ш.А.) и в 11 классе (по учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» под ред. Колмогорова А.Н.). На изучение данной темы отводится 2-3 часа.
Ранее изученный материал, необходимый для изучения данной темы: приращение функции, понятие производной. Применение: исследование функций с помощью производной для построения графиков, производная сложной функции, в физике и т.д.
Материал темы. Правила дифференцирования:
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (C·f(x))'=C·f'(x)
3. Производная произведения: (f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)
4. Производная частного:
В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых формул, но к каждой формуле есть по 1-2 примера.
В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции (гл 2, §16):
f(g(x))' = f '(g(x))·g'(x)
Сначала автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай – линейную замену аргумента:
(f(kx + b))' = kf '(kx + b)
Эта формула гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.
Цели изучения:
Обучающие: научить уметь обосновывать и применять правила вычисления производных.
Развивающие: развивать самостоятельность учащихся, способность к самоорганизации, готовность к сотрудничеству.
Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, культуру общения.
Виды самостоятельных работ с точки зрения организации процесса обучения:
фронтальная – учащиеся выполняют одно и то же задание;
групповая – для выполнения учебных заданий учащиеся разбиваются на группы (3-6 человек);
парная – 2 человека;
индивидуальная – каждый ученик выполняет отдельное задание.
Дидактические материалы
Вариант 1
Найдите производную функции:
а) f(x)=2x7+4; б) f(x)= .
2. Вычислите производную функции f(x)=2x2+x3в точках2; 4; х; х-3.
3. Решите неравенство f'(x)≤0, еслиf(x)=4x+2x2.
4. Найдите производную функции f(x)=50x5+5x50в точкаххи-1.
5. Решите уравнение f'(x)=0и неравенстваf'(x)>0иf'(x)<0для функции:
а) f(x)=x2+3x-3; б)f(x)=.
Вариант 2
Найдите производную функции:
а) f(x)=x5-2; б)f(x)= .
2. Вычислите производную функции f(x)=3x+4x3в точках1; 1,5; х; х+2.
3. Решите неравенство f'(x)>0, еслиf(x)=6x-3x2.
4. Найдите производную функции f(x)=100x10-10x100в точкаххи1.
5. Решите уравнение f'(x)=0и неравенстваf'(x)>0иf'(x)<0для функции:
а) f(x)=x2-3x+1; б)f(x)=.
Тема урока «Правила вычисления производных»
Цели урока:
Обучающие: формировать умение применять правила вычисления производных при решении задач.
Развивающие: развивать самостоятельность учащихся, способность к самоорганизации, готовность к сотрудничеству.
Воспитательные: содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность, содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Работа в группах.
Все учащиеся класса разбиваются на 3 группы по своим учебным способностям. Группа № 1 получает карточки с I вариантом; № 2 – со II вариантом; № 3 – с III вариантом.
В классе стоят столы. За стол № 1 садятся ученики, у которых будут все 3 варианта. И так за каждый собирается группа из 3 человек с разными вариантами с I по III. Каждый ученик в течение 15 минут работает самостоятельно с карточкой своего варианта. После выполнения работы ученики перемещаются так, чтобы за столом №1 собрались ученики, у которых был I вариант, за столом № 2 – II вариант и т.д.
На каждый стол выдается конверт, в котором находятся ответы к данному варианту и контрольный лист с критериями оценок. Учащимся отводится время (5-7 минут) для проверки своего решения, разбора в группе своих ошибок и их исправления, выставления оценок.
Примеры карточек по вариантам
Вариант №1 |
1. Найдите f'(x), если f(x)=(1+2x)(2x-1).
|
1. Вычислите производную функции f(x)=2x2+x3в точках2; 4; х; х-3. |
1. Решите неравенство f'(x)≤0, еслиf(x)=4x+2x2. |
Вариант №2 |
2. Найдите производную функции: а) f(x)=2x7+4; б)f(x)= .
|
2. Найдите g'(-1), еслиg(x)=(x-1). |
2. Решите уравнение f'(x)=0, еслиf(x)=2x3-3x2+1.
|
Вариант №3 |
3. Найдите производную функции: а) f(x)=x7+2x5--1; б) f(x)=. |
3. Найдите производную функции f(x)=в точкахx и t4. |
3. Решите уравнение f'(x)=0и неравенстваf'(x)>0иf'(x)<0, если: а) f(x)=3x3-x; б) f(x)=. |
Билет № 8. «Ряды».
Возьмём бесконечную числовую послед-ть х1, х2, …, xn,…. Члены данной послед-ти соединим знаком «+», тогда получим выражение (*) х1+х2+ …+xn+…. =, которое наз.числовым рядом.
Составим послед-ть частичных сумм ряда:
Суммой ряда наз. конечный предел послед-тей частичных сумм : , тогда равенство (*) наз.сходящимся, в противном случаи ряд (*) расходящийся (если предел не или равен)
(Необходимый признак сходимости) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.- сх-сяили.
Док-во:
Т.к. ряд сх-ся, то конечный предел.
ч.т.д.
Следствие: если общий член не стремится к нулю, то ряд -расходится.
Признаки сравнения числовых рядов (достаточные признаки):
Т1:Пусть даны два ряда: (1)и (2), тогда из сходимости ряда (2)сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1)расходимость ряда (2).
Т2:Пусть даны два ряда: (1)и (2), тогда если, то оба ряда ведут себя одинаково: сходятся или расходятся.
Т3: (признак Д’Аламбера) Пусть дан ряд, если предел отношения последнего члена к предыдущему есть числоq, то приq<1 – ряд сходится,q>1 – расходится,q=1 – ряд ответа не даёт.
Док-во: Н/р, рассмотрим приq>1начиная с некоторого номераn0все члены послед-ти. Члены ряда возрастают,ряд расходится.
Т4: (радикальный признак Коши) Пусть дан ряд, если предел, тоc<1 – ряд сходится,c>1- расходится,c=1 – признак ответа не имеет.
Т5: (интегральный признак Коши) Пусть дан ряд,и ф-цияf(x) - такова, что для неё выполняются следующие условия:1)f(x)>0;2)f(x) – строго убывает для;3)f(x) – непрерывна для;4)f(n)=an, тогда поведение ряда совпадает с поведением несобственного интеграла.
Пусть дан знакочередующийся ряд(1), т.е. такой, в котором два соседних члена имеют противоположные знаки:.
Т Лейбница:Пусть в ряде (1) члены по модулю убываюти предел общего члена равен нулю , то ряд (1) будет сходится (S>0,S<a1). (эту теор. м/о использовать для приближённых вычислений)
Док-во:Рассмотрим суммы ряда (1) с чётными индексами:
- ограничена сверху.
Докажем, что послед-ть частичных сумм - монотонно возрастает:
монотонно возрастает, а на основании теор. (если послед-ть монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет верхний предел):.
Докажем, что послед-ть частичных сумм с нечётными индексами имеет тот же самый предел:
+ряд (1) сходится.
Пр: , т.е.- гармонический ряд.сходимость по Лейб
Ряд(2)наз.знакопеременным, если среди его членов имеются «+» и «-», а знакочередующийся ряд явл-ся для него частным случаем.
Т:Если знакопеременный ряд (2) таков, что ряд(3)составлен из модулей его членов – сходится, то и ряд (2) тоже сходится.
Знакопеременный ряд (2) наз. абсолютно сходящимся, если он сходится, и ряд по модулю (3) тоже сходится, и обратно, если сходится ряд (3), то ряд (2) наз.абсолютно сходящимся.
Знакопеременный ряд (2) наз. условно сходящимся, если он сходится, а ряд по модулю (3) расходится.
Пр: ,- знакопеременный ряд,=сравним его с- сходящийся, по Т-1 сравнения:данный ряд абсолютно сх-ся.
(п3) сх-ся, составим ряд из модулей членов этого ряда- расх-сядан. ряд условно сх-ся.
МЕТОДИКА 8. 1) Логико-математический анализ темы
Логико-математический анализ темы: Геометрическая прогрессия (по учебнику Алгебра 9 класс под ред. Ш.А Алимова, Ю.М.Колягина)
Основные математические понятия.
Числовая последовательность b1,b2, … ,bn, … называетсягеометрической прогрессией, если для всех натуральныхnвыполняется равенствоbn+1 =bnq,
где bn≠ 0,q– некоторое число, не равное нулю.
Число qназываетсязнаменателем геометрической прогрессии.
Если все члены прогрессии положительны, то bn= √bn-1 bn+1, т.е. каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название«геометрическая прогрессия».
bn = b1qn-1– формулаn– члена геометрической прогрессии.
Сумма nпервых членов геометрической прогрессии со знаменателемq≠1 равна
Sn = b1(1- qn)
1-q
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессииназывается число, к которому стремится сумма ее первыхnчленов приn→∞.
S = b1
1-q
Основные предложения темы:
1) определение геометрической прогрессии.
2) Сумма nпервых членов геометрической прогрессии.
3)Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Ранее изученный материал |
Теоретический материал темы |
Применение изученного материала |
- арифметическая прогрессия; - Числовая последовательность; - Степень с рациональным показателем.
|
Сумма nпервых членов геометрической прогрессии ↑ Основные понятия геометрической прогрессии ↑ Геометрическая прогрессия ↓ Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия |
- в алгебре; в физике; - в математическом анализе. |