- •3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка
- •3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •2) Образовательные цели урока
- •3) Приемы создания мотивации учебной деятельности.
- •4) Тестовые задания для текущего контроля усвоения понятия и способы проверки результатов контроля.
- •2) Выберите правильный ответ:
- •3) Решите задачу
- •5) Фрагмент урока на этапе усвоения понятия
- •Свойства счётных множеств:
- •Основные свойства неопределённого интеграла
- •Свойства определённого интеграла
- •1) Вычисление площади плоских фигур.
- •2) Вычисление объёмов тел вращения.
- •3) Вычисление дуги кривой линии.
- •II. Аксиомы умножения:
- •III. Аксиомы дистрибутивности
- •Простейшие свойства групп, колец, полей
- •Гомоморфизмы групп, колец, полей
- •Свойства гомоморфизмов
- •60. Если : u V и : V w – два гомоморфизма групп или колец, то их композиция ○ : u w будет гомоморфизмом групп или колец.
- •70. Если : V w – изоморфизм групп или колец, то обратное отображение –1 : w V также является изоморфизмом групп или колец. Понятие и идея изоморфизма в современной математике
- •Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»
- •Теорема о поле комплексных чисел
- •Геометрическая интерпретация действий
- •Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры
- •Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры
- •1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,
- •2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.
- •Изоморфизм векторных пространств
- •Примерный план ответа
- •Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)
- •Матричные уравнения
- •1.Решите систему уравнений:
- •Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен Кольцо f[X] многочленов над полем
- •Деление с остатком в кольце f[X]
- •Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
- •Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби
- •Отношение делимости в кольце z и его свойства
- •I. Организационный момент.
- •II. Устный счет.
- •III. Сообщение темы урока
- •IV. Изучение нового материала
- •V. Физкультминутка
- •Алгоритм Евклида
- •Нок целых чисел и его вычисление
- •Вычисление нод и нок целых чисел с помощью канонического разложения
- •Простые и составные числа
- •20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.
- •30. Различные простые числа взаимно просты.
- •50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.
- •II. Урок изучения нового материала.
- •Теоремы Эйлера и Ферма
- •Признаки делимости
- •Учебные задачи для текущего контроля
- •28.Векторное построение геометрии
- •1 Уровень.
- •2 Уровень.
- •3 Уровень.
Отношение делимости в кольце z и его свойства
Определение. 7.1. Целое число а делится на целое число b0, если
qZ а = bq.
Обозначается а b и читается “a делится на b”, а также b | a и читается “b делит а”.
а – делимое, b – делитель, q – частное.
Используется и другое обозначение:
Свойства:
10. Отношение делимости рефлексивно на множестве ненулевых целых чисел (т.е. аZ \ {0} аа), т. к. 1Z: а = а · 1.
20 Отношение делимости транзитивно на множестве целых чисел:
(т.е.а, b, cZ а b b c a c), т.к. (а b)q1Z: а = bq1, кроме того, (b c)q2Z : b= cq2 а =cq2q1 = cq2 (а c).
30 Отношение делимости не антисимметрично на множестве целых чисел, т.к. а, bZ (а b b а) [(a = b) (a = - b)].
40 Отношение делимости антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. а, b N а b b а а = b), т.к. если b = a n, a = b m, то m, n N, и b = (b m) n = = b (m n), т.е. m n = 1, и m = n = 1, а значит, а = b.
Следовательно, отношение делимости не является отношением эквивалентности, а будет отношением частичного порядка на множестве N.
50. Если a b, то для любого ненулевого целого c выполнено aс b.
Действительно, если a b, то b= a q для некоторого целого q, тогда
b c = a (q c), следовательно, aс b
60. Если a b, то (±a) (±b) при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.
Свойство 60 является следствием свойства 50 и определения делимости.
70. Если a b1, … , bn a, то (b1 + … + bn) a.
80. Если b1a, … , bna , то для любых целых r1 , … , rn выполнено a (b1 r1 + …+ bn rn ) a .
Свойство 80 является следствием свойств 60 и 70.
Замечание 1. Запись означает, что а не делится на b.
Определение. 7.2. Целое число а делится на bZ, b 0 с остатком, еслиq, r Z: а = bq + r, где 0 < r < | b |, a – делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток.
Замечание 2. Из определения следует, что остаток всегда число неотрицательное.
Примеры. Разделить с остатком а на b, если: а) при а = 53 на b= 5, получим: 53 = 5 · 10 + 3 (т.е. неполное частное q = 10, остаток r = 3).
б) при а = -53 на b = 5, получим: -53 = 5 · (-11) + 2 (q = -11, r = 2)
в) при а= -53 на b = – 5, получим: -53 = -5 · 11 + 2.
г) при а = 53 на b = – 5, получим: 53 = (-5) · (-10) + 3.
Теорема 7.1 (о делении с остатком). Для любых целых чисел a, b0 однозначно определены частное q и остаток r от деления a на b т.е.
a Z b Z \ {0} ! q, r Z a = bq + r 0 r < |b|).
Доказательство.
I. Покажем возможность деления.
1. Пусть a 0, b > 0. Докажем существование деления с остатком числа a на число b методом математической индукции по числу a.
a) Если a = 0, то 0 = b 0 + 0 (имеем: q = 0, r = 0) и в этой ситуации возможность деления с остатком показано.
б) Пусть а > 0 и bq – наибольшее кратное числа b, которое не превосходит а, тогда bq a< b(q + 1), следовательно, 0a – bq < b или 0 a – bq < | b |.
Положим, что а – bq = r, тогда получим что, а = bq + r, где 0 r | b |.
Итак, для неотрицательных целых чисел a и b существование деления с остатком доказано.
2. Пусть a > 0, b < 0. Тогда |b| > 0 и согласно п.1 существует формула деления с остатком для положительного числа а на положительное число | b | , поэтому a = | b | q + r , где 0 r | b |. Тогда a = b (– q) + r – искомая формула деления с остатком а на b.
3. Пусть a < 0, b > 0, тогда (– а) > 0 и согласно п.1 (– a) = b q + r, где 0 r <| b |. При r = 0 данная формула принимает вид: а = b (– q) + 0. При r > 0 имеем a = b (– q) – r = b (– q – 1) + (b – r), причём 0 < b – r < b, или 0 < b – r <| b | т.е. (– q – 1), (b – r) – искомые частное и остаток соответственно.
4. Пусть a < 0, b < 0. Тогда (–b) > 0 и согласно п.3 существует формула деления с остатком для отрицательного числа а на положительное число (– b), поэтому a = (– b) q′ + r′, где 0 r′ | b | (согласно п. 3 имеем: q′= (– q – 1), r′ = (b – r)) или a = b (– q′ ) + r′,
II. Докажем единственность существования частного и остатка от деления а на b.
Предположим противное.
Пусть a = bq1+ r1, 0 r1<| b| и a = bq2 + r2 , 0 r2< |b|. Тогда
b(q1 – q2) = (r1 – r2) < | b |(r1 – r2) b, а т. к. 0 | r1 – r2 | < | b |
(r1 – r2) = 0 (r2 = r1) b(q1 – q2) = 0 , b0 q1 = q2 .
МЕТОДИКА 17. Тема урока: «Делители и кратные».
Обучающие цели: ввести понятие делителя и кратного натурального числа; отрабатывать умение находить делители и кратные данного натурального числа.
Развивающие цели: развитие мышления, совершенствование устных и письменных вычислительных навыков, развитие математической речи учащихся.
Воспитательные цели: воспитание интереса к математике, воспитание таких качеств личности как аккуратность, последовательность, настойчивость и т.д.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Ход урока