Свойства средних величин

1. Если все варианты увеличить или уменьшить в несколько раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз.

2. Если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число, то средняя увеличится или уменьшится на то же число.

3. Средняя арифметическая суммы нескольких величин равна сумме средних арифметических этих величин.

4. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то средняя не изменится.

5. Алгебраическая сумма отклонений значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

Пример: имеется ряд распределения: 5, 10, 15, 20, 15.

Отклонения составят следующие значения: –8, –3, 2, 7, 2.

Сумма отклонений от средней величины равна нулю:

Свойства средней арифметической применяются для упрощения ее расчетов.

Пример: определить средний размер вклада.

Таблица 4.5 – Вспомогательная таблица для расчета среднего размера вклада способом моментов

Размер вклада р. (х)	Число вкладов, (f)		x'–A* (A = 450)	= x" i = 100**	f'=
200–300	50	250	–200	–2	5	–10
300–400	60	350	–100	–1	6	–6
400–500	40	450	0	0	4	0
500–600	30	550	100	1	3	3
600–700	50	650	200	2	5	10
Итого	230	–	–	–	23	–3

Данный способ расчета средней арифметической взвешенной называется способом моментов (или способом расчета от условного нуля).

4.3. Средняя гармоническая простая и взвешенная

В ряде случаев бывают известны варианты (х) и произведение варианты на частоту (х*f), в то время как сами частоты неизвестны. В этих случаях применяется средняя гармоническая, которая бывает взвешенной и простой.

1. Средняя гармоническая взвешенная:

–средняя арифметическая взвешенная.

(4.5)

Пример: определить среднюю заработную плату работников по 3 корпусам пансионата.

Таблица 4.6 – Фонд оплаты труда по корпусам пансионата

2. Средняя гармоническая простая

Если произведение f*x=M равно 1, то для расчета средней величины применяется средняя гармоническая простая.

(4.6)

(4.7)

Пример: в бригаде работает 3 человека, которые оказывают одни и те же услуги

Таблица 4.7 – Выработка сотрудников в бригаде

Затраты времени на 1 услугу, ч, (х)	Число услуг в 1 ч	хf=М
1/2	2	1
1/3	3	1
1/4	4	1

Затраты времени на оказание одной услуги:

для 1-го работника = 1/2 ч;

для 2-го работника = 1/3 ч;

для 3-го работника = 1/4 ч.

Определить средние затраты времени на оказание услуги.

4.4. Средняя хронологическая

Средняя хронологическая применяется для расчета средней величины, если исходные данные представлены на определенные даты, моменты времени.

Пример: определить среднюю стоимость имущества пансионата за 1-й квартал по следующим данным:

Таблица 4.8 Стоимость имущества в 1 квартале

Дата	01.01	01.02	01.03	01.04
Стоимость имущества, тыс. руб.	200	220	240	220

(4.8)

(4.9)