Контрольные вопросы и задания

1. В чем заключается сущность статистической обработки методом средней величины?

2. Перечислите основные положения теории средних величин.

3. В каких случаях применяется средняя арифметическая простая? В чем ее отличие от средней арифметической взвешенной?

4. Какие свойства средних величин Вы знаете? Для чего они применяются?

5. Назовите виды средних степенных величин и напишите формулу степенной средней.

6. Какая зависимость существует между степенными средними величинами для одного ряда распределения?

7. Являются ли мода и медиана средними величинами и почему?

8. Как определить моду и медиану для дискретного ряда?

9. Что такое модальный и медианный интервалы? Могут ли они совпадать?

5. Изучение вариацИи рядов распределения

5.1. Понятие вариации

Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.

Вариация – это колебание признака в ряде распределения.

Рассмотрим 2 ряда чисел:

1) 75, 90, 78, 82, 93, 86

2) 65, 122, 84, 70, 105, 58

Разности следует освободить от знака для построения показателей вариации. Для этого нужно взять моду или четную степень. На этом принципе основано построение основных показателей вариации.

5.2. Основные показатели вариации. Свойства дисперсии Основные показатели вариации

А. Размах вариации (R) – разность между максимальными и минимальными значениями совокупности.

(5.1)

Б. Среднее линейное отклонение (d) – это средняя арифметическая абсолютная величина отклонений вариантов от средней арифметической величины.

Для несгруппированных данных:

(5.2)

Для сгруппированных данных:

(5.3)

В нашем примере получим следующие средние линейные отклонения:

В. Дисперсия (σ²) – это средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от средней арифметической величины.

–для несгруппированных данных (5.4)

–для сгруппированных данных (5.5)

Свойства дисперсии

1. Если все варианты увеличить или уменьшить в k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k раз.

2. Увеличение или уменьшение вариантов на одну и ту же величину не меняет дисперсию.

3. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то дисперсия не изменится.

4. Дисперсия относительно средней арифметической равна дисперсии относительно произвольной постоянной без квадрата разности между средней арифметической и этой постоянной.

(5.6)

(5.7)

5. Дисперсия равна средней арифметической квадратов вариантов без квадрата средней арифметической.

Если в 4-м свойстве дисперсии с=0, то имеем формулу:

(5.8)

(5.9)

Дисперсию можно рассчитать тремя способами.

Пример: определить дисперсию затрат на 1 руб. реализованных путевок по 30 пансионатам:

Затраты (х) на 1 руб., коп.	Число пансионатов (f)
менее 75	5	70	(70–82)^25=720	500	70^25=24500
75–85	15	80	60	0	96000
85–95	9	90	576	900	72900
95 и выше	1	100	324	400	10000
Итого	30	–	1680	1800	203400

Решить можно тремя способами, используя свойства дисперсии.

Способ 1.

.

Способ 2.

–способ моментов

За число «с» принимается варианта, расположенная в середине ряда распределения, или варианта, имеющая наибольшую частоту (в нашем случае с=80).

.

Способ 3. .

Г. Среднее квадратическое отклонение () – это арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

(5.10)

Отклонение затрат на 1 руб. реализованных путевок от среднего значения составляет 7,48 коп.

Хотелось бы отметить, что отношение среднего квадратического отклонения к среднему линейному приблизительно равно 1,2:

(5.11)

Так, при =7,48 прогнозируемое значение d=6,23, а реальное (рассчитанное по исходным данным) d=6,00.

Д. Коэффициент вариации () – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах:

(5.12)

Он показывает долю колебания признака от средней арифметической. Применяется для сравнения вариаций признака в различных совокупностях и для характеристики колебания различных признаков в одной совокупности.

Коэффициент вариации характеризует также степень однородности совокупности и качества средних величин, т.е. если коэффициент вариации от 0 до 20 %, то совокупность – однородная, если коэффициент вариации – от 20 до 50% – совокупность средней однородности, т.е. необходимо осторожно использовать среднюю, если свыше 50%– совокупность неоднородна, и средней нельзя пользоваться для прогнозирования перспективных показателей признака.

Целесообразно расчет каждой средней величины дополнять расчетом коэффициента вариации для характеристики степени однородности совокупности и оценки качества средней величины. В нашем примере коэффициент вариации составит:

Это означает, что совокупность предприятий по уровню затрат на 1 руб. проданных путевок является однородной. Средней величиной пользоваться можно.

Пример: В течение одного квартала производство продукции в среднем за декаду на заводе № 1 составило 25 млн руб. при =5 млн руб., на заводе № 2 – соответственно 100 млн руб. и 10 млн руб. Определить, какой завод работал ритмичнее, т.е. с меньшей колеблемостью выпуска продукции по дням?

Для решения задачи необходимо найти коэффициенты вариации выпуска продукции по двум заводам в отдельности и сравнить их.

Второе предприятие работало ритмичнее, так как