4.5. Средняя геометрическая

Средняя геометрическая чаще всего применяется для определения средних темпов роста в единицу времени.

Пример: определить среднегодовой темп роста продукции предприятия.

Таблица 4.9 – Выпуск продукции предприятием в 2008-2012 гг.

Показатели	Годы
	2008	2009	2010	2011	2012
Выпуск продукции, млн руб.	20,0 Y1	22,0 Y2	26,4 Y3	50,1 Y4	100,2 Y5
Коэффициент роста выпуска продукции	–	1,1 k1	1,2 k2	1,9 k3	2,0 k4

(4.10)

где n – число коэффициентов роста.

В среднем за каждый год объем продукции возрастает в 1,497 раза (или на 149,7%).

(4.11)

(4.12)

где p – число дат.

4.6. Средняя квадратическая. Взаимосвязь степенных срених величин

Средняя квадратическая – простая и взвешенная.

(4.13)

(4.14)

Пример: имеются 3 земельных участка в форме квадрата со сторонами:

X₁ = 100 м;

Х₂ = 200 м;

Х₃ = 300 м.

Определить среднюю величину стороны земельных участков. Если примем формулу средней арифметической, то получим, что общая площадь всех участков составляет 120 000 м², что не соответствует действительности (реальная площадь 3-х участков равна 140 000 м²:

,

т.к :

Для правильного расчета следует использовать формулу средней квадратической простой:

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей общей формулы:

(4.15)

где при: k = –1 – получается средняя гармоническая;

k = 0 – средняя геометрическая;

k = 1 – средняя арифметическая;

k = 2 – средняя квадратическая;

k = 3 – средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место следующая зависимость (для одного ряда распределения):

(4.16)

4.7. Мода и медиана

Мода – это наиболее часто встречающаяся варианта распределения или варианта, имеющая наибольшую частоту.

Для дискретных радов мода определяется визуально.

Пример: определить моду следующего ряда распределения.

Таблица 4.10 – Данные о проданных парах обуви, ед.

Размер обуви (х)	Число проданных пар (f)	Накопленные частоты (cum f)
34	2	2
35	10	12 (2 + 10)
36	20	32 (12 + 20)
37	88	120 (32 + 88)
38	19	139 (120 + 19)
39	9	148 (139 + 9)
40	2	150 (148 + 2)
Итого	150	–

Модой является размер 37, т.е. наибольшее число проданной обуви было 37-го размера.

Мода интервального ряда определяется по следующей формуле:

(4.17)

где: х₀ – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

f_m0– частота модального интервала;

f_m0-1– частота интервала, предшествующего модальному;

f_m0+1– частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

Пример: определить моду следующего ряда распределения:

Таблица 4.12 Распределение работников предприятия по стажу в 2012 г.

Стаж работы, лет (x)	Число работников (f)	Накопленные частоты (cum f)
до 2 2–4 4–6 6–8 8–10 свыше 10	4 23 20 35 11 7	4 27 47 82 93 100
Итого	100	–

Ответ: наибольшее число работников имеет стаж работы 6,76 лет.

Медиана (М_e) – это варианта, которая приходится на середину ряда распределения, расположенного в порядке возрастания признаков. Она делит ряд распределения на 2 равные части.

Определение медианы для дискретного ряда распределения.

Медианой дискретного ряда является варианта, которая приходится на полусумму накопленных частот:

(4.18)

В нашем примере размер обуви 37 является также и медианой, т.е. половина проданной обуви меньше 37-го размера, другая половина – 37-го размера и больше.

Для интервального ряда Ме определяется по формуле:

(4.19)

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

–полусумма накопленных частот;

–сумма накопленных частот, интервалов, предшествующих медианному;

–частота медианного интервала.

Медианный – это интервал, на который приходится полусумма накопленных частот. В нашем примере «6–8 лет» – медианный интервал.

Это означает, что половина работников имеет стаж работы меньше 6,2 года, а другая половина больше.